1、4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式2014高考会这样考1.考查同角三角函数基本关系式和诱导公式；2.利用公式进行三角函数的化简与求值复习备考要这样做1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式，特别要对诱导公式的口诀理解透彻；2.通过训练加强公式运用能力的培养，寻找化简求值中的规律1 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .2下列各角的终边与角的终边的关系角2k(kZ)图示与角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角图示与角终边的关系关于y轴对称关于直线yx对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin_sin_sin_sin_co
2、s_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限难点正本疑点清源1 同角三角函数关系式(1)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定(2)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法2 诱导公式诱导公式可概括为k(kZ)的各三角函数值的化简公式记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化意思是当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数
3、时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时，原函数值的符号1 (2011大纲全国)已知，tan 2，则cos _.答案解析tan 2，2，sin 2cos .又sin2cos21，(2cos )2cos21，cos2.又，cos .2 若tan 2，则的值为_答案解析原式.3 已知是第二象限的角，tan ，则cos _.答案解析是第二象限的角，cos 0.又sin2cos21，tan ，cos .4 sin cos tan的值是_答案解析原式sincostan().5 已知cos，则sin_.答案解析sinsinsincos.题型一同角三角函数基本关系式的应用例1已知在ABC中，si
4、n Acos A.(1)求sin Acos A的值；(2)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A的值思维启迪：由sin Acos A及sin2Acos2A1，可求sin A，cos A的值解(1)sin Acos A两边平方得12sin Acos A，sin Acos A.(2)由sin Acos A0，且0A，可知cos A0，cos A0，sin Acos A.由，可得sin A，cos A，tan A.探究提高(1)对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求转化的公式为(sin cos )212sin co
5、s ；(2)关于sin ，cos 的齐次式，往往化为关于tan 的式子 (1)已知tan 2，求sin2sin cos 2cos2；(2)已知sin 2sin ，tan 3tan ，求cos .解(1)sin2sin cos 2cos2.(2)sin 2sin ，tan 3tan ，sin24sin2，tan29tan2，由得：9cos24cos2，得：sin29cos24，cos2sin21，cos2，即cos .题型二三角函数的诱导公式的应用例2(1)已知cos，求cos的值；(2)已知2，cos(7)，求sin(3)tan的值思维启迪：(1)将看作一个整体，观察与的关系(2)先化简已知，
6、求出cos 的值，然后化简结论并代入求值解(1)，.coscoscos，即cos.(2)cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)tansin()sintansin sin cos .探究提高熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键另外，切化弦是常用的规律技巧 (1)化简：；(2)已知f(x)，求f的值解(1)原式1.(2)f(x)cos xtan xsin x，fsinsin sinsin .题型三三角函数式的化简与求值例3(1)已知tan ，求的值；(2)化简：.思维启迪：三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察
7、式子的规律，使用恰当的公式解(1)因为tan ，所以.(2)原式1.探究提高在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简 已知sin，(0，)，求的值解sin，cos ，又(0，)，sin .分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例：(12分)化简：sincos (nZ)审题视角(1)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看规范解答解当n为偶数时，设n2k (kZ)，则1分原式sincossincossincossincossinsin0.5
8、分当n为奇数时，设n2k1 (kZ)，则6分原式sincossincossincossincossincossincossinsin0.10分故sincos0.12分温馨提醒(1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想(2)在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式1同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍2三角求值、化简是三角函数的基
9、础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan.失误与防范1利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题 (每小题5分，共20分)1 已知和的终
10、边关于直线yx对称，且，则sin 等于()A B. C D. 答案D解析因为和的终边关于直线yx对称，所以2k(kZ)又，所以2k(kZ)，即得sin .2 cos(2 013)的值为()A. B1 C D0答案B解析cos(2 013)cos(2 014)cos 1.3 已知f()，则f的值为()A. B C. D答案A解析f()cos ，fcoscoscos .4 当0x时，函数f(x)的最小值是()A. B. C2 D4答案D解析当0x时，0tan x1，f(x)，设ttan x，则0t1，y4.当且仅当t1t，即t时等号成立二、填空题(每小题5分，共15分)5 如果sin ，且为第二象
11、限角，则sin_.答案解析sin ，且为第二象限角，cos ，sincos .6 已知sin，则cos的值为_答案解析coscossin.7. _.答案1解析原式1.三、解答题(共22分)8 (10分)已知sin cos (0)，求tan 的值解将已知等式两边平方，得sin cos ，sin cos .解方程组得tan .9 (12分)已知sin(3)，求的值解sin(3)sin ，sin ，原式18.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 若sin，则cos等于()A B C. D.答案A解析，sinsincos.则cos2cos21.2 已知，
12、则的值是()A. B C2 D2答案A解析由同角三角函数关系式1sin2cos2及题意可得cos 0且1sin 0，即.3 若cos 2sin ，则tan 等于()A. B2 C D2答案B解析由cos 2sin 可知，cos 0，两边同时除以cos 得12tan ，平方得(12tan )25(1tan2)，tan24tan 40，解得tan 2.二、填空题(每小题5分，共15分)4 若sin()，则cos _.答案解析sin()sin ，sin .又，cos .5 已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2_.答案解析sin2sin cos 2cos2.6 已知cosa (|a|1
13、)，则cossin的值是_答案0解析coscoscosa.sinsincosa，cossin0.三、解答题7 (13分)已知A、B、C是三角形的内角，sin A，cos A是方程x2x2a0的两根(1)求角A.(2)若3，求tan B.解(1)由已知可得，sin Acos A1又sin2Acos2A1，sin2A(sin A1)21，即4sin2A2sin A0，得sin A0(舍去)或sin A，A或，将A或代入知A时不成立，A.(2)由3，得sin2Bsin Bcos B2cos2B0，cos B0，tan2Btan B20，tan B2或tan B1.tan B1使cos2Bsin2B0，舍去，故tan B2.