1、3.1导数的概念及其运算2014高考会这样考1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导复习备考要这样做1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程1 函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.2 函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)，即f(x0) .(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(
2、x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3 函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.4 基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c (c为常数)f(x)_0_f(x)x (为实数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax (a0，a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax (a0，a1)f(x)f(x)ln xf(x)f(x)tan xf(x)f(x)cot xf(x)5. 导数的运算法则(1)f
3、(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)0)6 复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积难点正本疑点清源1 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0处的导数f(x0)是一个常数；(2)函数yf(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的如果函数yf(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f(x0)这样就在
4、开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f(x)在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数2 曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条1 f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值为_答案3解析f(x)x22，f(1)(1)223.2. 如图，函数yf(x)的图像在点P处的切线方程是yx8，
5、则f(5)f(5)_.答案2解析如图可知，f(5)3，f(5)1，因此f(5)f(5)2.3已知f(x)x23xf(2)，则f(2)_.答案2解析由题意得f(x)2x3f(2)，f(2)223f(2)，f(2)2.4 已知点P在曲线f(x)x4x上，曲线在点P处的切线平行于3xy0，则点P的坐标为_答案(1,0)解析由题意知，函数f(x)x4x在点P处的切线的斜率等于3，即f(x0)4x13，x01，将其代入f(x)中可得P(1,0)5 曲线f(x)在点(1，1)处的切线方程为_答案y2x1解析易知点(1，1)在曲线上，且f(x)，切线斜率f(1)2.由点斜式得切线方程为y12(x1)，即y2
6、x1.题型一利用定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数f(x)x3在xx0处的导数，并求曲线f(x)x3在xx0处的切线与曲线f(x)x3的交点思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键解f(x0) (x2xx0x)3x.曲线f(x)x3在xx0处的切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，由得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，则交点坐标为(x0，x)，(2x0，8x)；若x00，则交点坐标为(0,0)探究提高求函数f(x)的导数步骤：(1)求函数值的增量ff(x2)f(x1)；(2)计算平均变化率；(3)计算导数f(x) . 利用导数的定义，
7、求：(1)f(x)在x1处的导数；(2)f(x)的导数解(1)，f(1) .(2)，f(x) .题型二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)ysin2；(4)yln(2x5)思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导解(1)y(exln x)exln xexex(ln x)(2)yx31，y3x2.(3)设yu2，usin v，v2x，则yxyuuvvx2ucos v24sincos2sin.(4)设yln u，u2x5，则yxyuux，因此y(2x5).探究提高(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求
8、导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导 求下列各函数的导数：(1)y；(2)y；(3)y(1sin x)2；(4)yln.解(1)y，y.(2)ycos xsin x，ysin xcos x.(3)设u1sin x，则y(1sin x)2，由yu2与u1sin x复合而成因此yf(u)u2ucos x2cos x(1sin x)(4)y(ln)()(x21
9、)(x21).题型三导数的几何意义例3已知曲线yf(x)x3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程思维启迪：求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程解(1)P(2,4)在曲线yf(x)x3上，且f(x)x2，在点P(2,4)处的切线的斜率为f(2)4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yf(x)x3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为f(x0)x.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x
10、40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为x1，x01.切点为(1,1)或，切线方程为y1x1或yx1，即xy20或3x3y20.探究提高利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标(2)切点既在曲线上，又在切线上切线有可能和曲线还有其它的公共点 已知抛物线yf(x)ax2bxc通过点P(1，1)，且在点Q(2，1)处与直线yx3相切，求实数a、b、c的
11、值解f(x)2axb，抛物线在点Q(2，1)处的切线斜率为kf(2)4ab.4ab1.又点P(1,1)、Q(2，1)在抛物线上，abc1，4a2bc1.联立解方程组，得实数a、b、c的值分别为3、11、9.一审条件挖隐含典例：(12分)设函数yx22x2的图像为C1，函数yx2axb的图像为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值C1与C2有交点(可设C1与C2的交点为(x0，y0)过交点的两切线互相垂直(切线垂直隐含着斜率间的关系)两切线的斜率互为负倒数(导数的几何意义)利用导数求两切线的斜率：k12x02，k22x0a(等价转换)(2x
12、02)(2x0a)1(交点(x0，y0)适合解析式)，即2x(a2)x02b0(注意隐含条件方程同解)ab(消元)aba2当a时，ab最大且最大值为.规范解答解(1)对于C1：yx22x2，有y2x2，1分对于C2：yx2axb，有y2xa，2分设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即4x2(a2)x02a10又点(x0，y0)在C1与C2上，故有2x(a2)x02b0由消去x0，可得ab.6分(2)由(1)知：ba，aba2.9分当a时，(ab)最大值.12分温馨提醒审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法
13、的选择；本题切入点是两条曲线有交点P(x0，y0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1在对导数的概念进行理解时，特别要注意f(x0)与(f(x0)是不一样的，f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值，不一定为0；而(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误失误与防范1利用导数定义求导数时，要注意到x与x的区别，这
14、里的x是常量，x是变量2利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆3求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者4曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2 C2 D0答案B解析f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.2 已知f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于()Ae2 Be C. Dln 2答案B解析f
15、(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.3 若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()A4xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30答案A解析切线l的斜率k4，设yx4的切点的坐标为(x0，y0)，则k4x4，x01，切点为(1,1)，即y14(x1)，整理得l的方程为4xy30.4 (2011大纲全国)曲线yf(x)e2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D1答案A解析f(x)2e2x，kf(0)2e02，切线方程为y22(x0)，即y2x2.如图，y2x2与yx的交
16、点坐标为(，)，y2x2与x轴的交点坐标为(1,0)，S1.二、填空题(每小题5分，共15分)5 若以曲线yx3bx24xc (c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围为_答案2,2解析yx22bx4，y0恒成立，4b2160，2b2.6 设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)fsin xcos x，则f_.答案解析因为f(x)fsin xcos x，所以f(x)fcos xsin x，所以ffcos sin ，即f1，所以f(x)sin xcos x，故fcos sin .7 已知函数f(x)，g(x)满足f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(x)1，则函数
17、y的图像在x5处的切线方程为_答案5x16y30解析由yh(x)知yh(x)，得h(5).又h(5)，所以切线方程为y(x5)，即5x16y30.三、解答题(共22分)8 (10分)已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x
18、4y170.9 (12分)已知函数f(x)在x处的切线为l，直线g(x)kx与l平行，求f(x)的图像上的点到直线g(x)的最短距离解因为f(x)，所以f(x).所以切线l的斜率为kf1，切点为T.所以切线l的方程为xy0.因为切线l与直线g(x)kx平行，所以k1，即g(x)x.f(x)的图像上的点到直线g(x)x的最短距离为切线l：xy0与直线xy0之间的距离，所以所求最短距离为.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 若函数f(x)x2bxc的图像的顶点在第四象限，则函数f(x)的大致图像是()答案A解析f(x)x2bxc2c，由f(x)的图
19、像的顶点在第四象限得0，b0，所以由基本不等式可得k1.又k0，所以1k0，即1tan 0.所以.故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)4 若函数f(x)x3f(1)x2f(2)x5，则曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线l的方程为_答案xy50解析f(x)x2f(1)xf(2)，f (2)1，f(1)1.f(x)x3x2x5，f(x)x2x1.f(0)1，f(0)5.曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx5.5. 已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图像如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_答案xy20解析根据导数的几何意义及图像可知，曲线yf(x)在点P处的切
20、线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.6 曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21，x1,2上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为_答案解析设P(x0，x1)，x1,2，则易知曲线yx21在点P处的切线方程为y(x1)2x0(xx0)，令y2x0(xx0)x1g(x)，由g(1)g(2)2(x1)2x0(1x02x0)，得S普通梯形1x3x012，所以当P点坐标为时，S普通梯形最大三、解答题7 (13分)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)
21、的解析式；(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.