1、第三节 三角函数的图象与性质 基础梳理 1.周期函数(1)周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_，那么函数f(x)就叫做周期函数_叫做这个函数的周期(2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_就叫做函数f(x)的最小正周期 非零常数Tf(x+T)=f(x)最小的正数最小正数函数y=sin xy=cos xy=tan x图象定义域xRxRxR且x +k，kZ值域单调性_上递增，kZ；_上递减，kZ_上递增，kZ；_上递减，kZ_上递增，kZ2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质2y|-1y1 y|-1y
2、1 R2,222kk32,222kk(2k-1)，2k 2k，(2k+1),22kk函数y=sin xy=cos xy=tan x最值x=_(kZ)时，ymax=1；x=_(kZ)时，ymin=-1x=_(kZ)时，ymax=1；x=_(kZ)时，ymin=-1无最值奇偶性对称性对称中心对称中心对称中心对称轴对称轴对称轴最小正周期22k22k2k+2k奇奇偶(k，0)(kZ),0()2kkZ,0,2kkZx=k+2(kZ)x=k(kZ)无2 2 基础达标 1.(教材改编题)函数y=sin 2x是()A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数 C.周期为2的奇函数 D.周期为2的偶函数 A 解析：T
3、=22=.2.函数y=sin 522x 的一条对称轴方程是()A.x=-B.x=-C.x=D.x=24854A522x2k22解析：sin 令2x=k(kZ)，得x=，当k=-1时，x=-故其中一条对称轴方程为x=-=cos 2x，3.函数y=tan 4x 的定义域是()4C.x|xk+，kZ，xR4A.x|x，xR4B.x|x，xR34D.x|xk+，kZ，xRD4x4x解析：要使y=tan=-tan有意义，4234k+(kZ)，解得xk+(kZ)只要x-4.(2010江西)函数y=sin2x+sin x-1的值域为()5,145,1451,4C.D.A.-1,1 B.C21524sinx解
4、析：y=-1sin x1，当sin x=-12542151124时，y有最小值-当sin x=1时，y有最大值5.(教材改编题)函数y=sin4x 的单调递增区间为_32,2()44kkkZ，kZ，2k+x-242解析：令2k-x2k+434则2k-，递增区间为32,2()44kkkZ经典例题 题型一 求三角函数的定义域【例1】求函数y=1 2cosx+lg(2sin x-1)的定义域1 20210cosxsinx 1212cosxsinx5223352266kxkkxk356解：由题意得 即 分别由三角函数线得 +2kx+2k，kZ.题型二 三角函数的最值和值域【例2】求下列函数的值域21s
5、inxsinx(1)y=sin2x-cos x+2；(2)y=解(1)y=sin2x-cosx+2=1-cos2x-cosx+2 =-cos2x-cosx+3=211324cosx13y 14y21 111111sinxsinxysinxsinxsinx 323,2函数值域为(2)方法一：当sin x=-1时，y有最小值 函数的值域为 21sinxsinx21yy211211yyyy 13y3212yyy即或3,2方法二：由y=得sin x=又-1sin x1，函数的值域为【例3】求下列函数的单调区间：(1)y=2sin4x23x的递减区间；的递减区间(2)y=tan题型三 三角函数的单调性2
6、432解：(1)由2k+x-2k+，kZ，372,244kk(kZ)3474x2k+，kZ，得2k+4x的单调减区间为函数y=2sin23x23x(2)把函数y=tan变为y=-tan5,212212kk(kZ)232由k-2x-，kZ，得k+6562xk+，kZ，k2k122k512x0,0Fp)为偶函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为2p.(1)求f(x)的解析式；(2)若a ，f =，求sin 的值 解析：(1)图像上相邻的两个最高点之间的距离为2p，T=2p，w=1，f(x)=sin(x+F)f(x)是偶函数，F=kp+(kZ)又0Fp，F=，f(x)=cosx.3 2 3135
7、232T22(2)由已知得cos =.a ，a+，则sin =.sin =-sin =-2sin cos =-.3133 2 350632 23523223334 291313232111212t【例】已知sin x+sin y=，求sin y-cos2x的最大值-sin x，(-1sin x1)43当t=-1时，原式取得最大值错解 由已知得sin y=故sin y-cos2x=sin2x-sin x-23(-1t1)，配方得令t=sin x，故有f(t)=t2-t-f(t)=易错警示 1313由已知条件有sin y=-sin x且sin y=-sin x-1,1 23213t 令t=sin
8、x，则原式=t2-t-2111212t23配方得f(t)=，当t=-2349即sin x=-时，原式取得最大值 23sin x1，(结合sin x-1,1)得-1323-sin x-cos2x=sin2x-sin x-而sin y-cos2x=正解：链接高考 122cos x24x1.(2010浙江)函数f(x)=sin2的最小正周期是_知识准备：1.会公式cos 2x=1-2sin2x的逆用：sin2x=2|2.知道y=sin wx的最小正周期为T=224x1422cosx 解析：f(x)=sin2=1212=-sin 4x+224T=6x2.(2010广东)设函数f(x)=3sin，w0，x(-，+)，且以为最小正周期(1)求f(0)；(2)求f(x)的解析式；(3)已知f241295，求sin 的值612知识准备：1.掌握特殊角的三角函数值sin22|2.知道sin(wx+F)的最小正周期为T=3.掌握诱导公式：sin4.掌握同角三角函数关系式：sin2+cos2=1，且会灵活运用=cos；解：632(1)f(0)=3sin=2|2(2)=T=，|=4.95=3cos=35cos=21 cos 45sin=46x又0，=4，f(x)=3sin2=3sin 412f(3)4 4126=3sin