1、核心概念掌握 知识点 平面向量基本定理1对基底的理解(1)基底的两个主要特征基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决3平面向量基本定理的应用(1)平面向量基本定理唯一性的应用设 a，b 是同一平面内
2、的两个不共线向量，若 x1ay1bx2ay2b，则x1x2，y1y2.(2)重要结论设e1，e2是平面内一个基底，1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面向量的一个基底e1，e2中，e1，e2 一定都是非零向量()(2)在平面向量基本定理中，若 a0，则 120.()(3)在平面向量基本定理中，若 ae1，则 20；若 ae2，则 10.()(4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的()2做一做(1)设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()Ae1，e2 Be1e2,3e13e2Ce1,5e2 De1，e1e2(2)在ABC 中，D 为 BC 边上
3、靠近点 B 的三等分点，若ABa，ACb，则AD _(用 a，b 表示)(3)已知向量 e1，e2 不共线，实数 x，y 满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则 x_，y_.(4)已知ABCD 的两条对角线相交于点 M，设MA a，MB b，试用基底a，b表示AB_，AD _.答案(1)B(2)23a13b(3)15 12(4)ba ab答案 核心素养形成 题型一正确理解基底的概念例 1 设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：AD，AB；DA，BC；CA，DC；OD，OB 其中可作为这个平行四边形所在平面的一个基底的是()ABCD解析 AD 与AB不共线
4、；DA BC，则DA 与BC共线；CA与DC不共线；OD OB，则OD 与OB 共线由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一个基底，故满足题意解析 答案 B答案 能作为基底向量的条件考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一表示注意零向量不能作基底设e1，e2是平面内一个基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2，e1e2 B3e12e2,4e26e1Ce12e2，e22e1 De2，e2e1答案 B答案 解析 4e26e12(3e12e2)，两个向量共线，不能作为基底.解析 题
5、型二用基底表示向量例 2 如图所示，在ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且AN12NC，BN 与CM 相交于点 E，设ABa，ACb，试用基底a，b表示向量AE.解 易得AN13AC13b，AM 12AB12a，由 N，E，B 三点共线知存在实数 m，满足AEmAN(1m)AB13mb(1m)a.由 C，E，M 三点共线知存在实数 n，满足AEnAM(1n)AC12na(1n)b，所以13mb(1m)a12na(1n)b，答案 由于a，b为基底，所以1m12n，13m1n，解得m35，n45，所以AE25a15b.答案 条件探究 若将本例中的“AN12NC”改为“AN14NC”，其他条件不
6、变，试用基底a，b表示AE.解 由已知得AN15AC15b，AM 12AB12a，N，E，B 三点共线，设AEmAN(1m)ABm5b(1m)a，又C，E，M 三点共线，设AEnAM(1n)ACn2a(1n)b，答案 m5b(1m)an2a(1n)b，a，b 不共线，m51n，1mn2，解得m59，n89，AE49a19b.答案 用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解如图，梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB2CD，
7、M，N 分别是 DC 和 AB的中点，若ABa，AD b，试用 a，b 表示DC，BC，MN.解 如图所示，连接 CN，则四边形 ANCD 是平行四边形则DC AN12AB12a；BCNC NBAD 12ABb12a；MN CN CM AD 12CDAD 1212AB 14ab.答案 题型三利用平面向量基本定理解决共线问题例 3 设e1，e2是平面内的一个基底，如果AB3e12e2，BC4e1e2，CD 8e19e2，求证：A，B，D 三点共线证明 AB3e12e2，AD ABBCCD 15e110e25(3e12e2)5AB，即AD 5AB，AD 与AB共线，又AD 与AB有公共点 A，A，
8、B，D三点共线答案(1)三点共线问题的解法一是利用平面向量基本定理、结合向量的线性运算表示有公共点的两向量之间的共线关系二是找直线外一点(任意一点也可)O，若存在唯一实数对，R 使OP OA OB(1)则 P，A，B 三点共线(2)注意向量共线与平面向量基本定理放在一起思考解决是否共线问题若向量 a2e13e2，b2e13e2，其中 e1，e2 不共线，向量 c2e19e2，则是否存在这样的实数，使 dab 与 c 共线？解 dab(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使 d 与 c 共线，则应有实数 k，使 dkc，即(22)e1(33)e2k(2e19e2)，由222
9、k，339k，得 2.故存在这样的实数，只要 2，就能使 d 与 c 共线答案 题型四利用平面向量基本定理解决平面几何问题例 4 如图所示，L，M，N 分别为ABC 的边 BC，CA，AB 上的点，且BLBCl，CMCAm，ANABn，若ALBM CN 0，求证：lmn.证明 令BCa，CAb 为一个基底，根据已知有BLla，CM mb.ABACCBab，则有ANnABnanb.ALABBL(l1)ab，BM BCCM amb，CN CAANna(1n)b，又ALBM CN 0.(ln)a(mn)b0.根据平面向量基本定理，有 lnmn0.故 lmn.答案 (1)平面向量基本定理是向量法的理论
10、基础，它不仅提供了向量的几何表示方法，同时也使向量用坐标来表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁这就为几何问题转化为代数论证提供了理论工具(2)由平行向量基本定理可知，任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示，而且这种表示是唯一的因此，平面向量基本定理是平行向量基本定理从一维到二维的推广如图，设一直线上三点 A，B，P 满足APPB(1)，O 是平面上任一点，则()A.OP OA OB1B.OP OA OB1C.OP OA OB1D.OP OA OB1答案 A答案 解析 APOP OA PB(OB OP)，OP OA OB1.解析 随堂水平达标 1e1，e2是平面内一
11、个基底，下面说法正确的是()A若实数 1，2 使 1e12e20，则 120B空间内任一向量 a 可以表示为 a1e12e2(1，2 为实数)C对实数 1，2，1e12e2 不一定在该平面内D对平面内任一向量 a，使 a1e12e2 的实数 1，2 有无数对答案 A答案 解析 由基底的定义可以知道，e1 和 e2 是平面上不共线的两个向量，所以若实数 1，2 使 1e12e20，则 120，不是空间任一向量都可以表示为 a1e12e2，而是平面中的任一向量 a，可以表示为 a1e12e2 的形式，此时实数 1，2 有且只有一对，而对实数 1，2，1e12e2 一定在平面内，所以 A 正确解析
12、2A，B，O 是平面内不共线的三个定点，且OA a，OB b，点 P 关于点 A 的对称点为 Q，点 Q 关于点 B 的对称点为 R，则PR等于()Aab B2(ba)C2(ab)Dba答案 B答案 解析 如图，a12(OP OQ)，b12(OQ OR)，相减得 ba12(OR OP)，PR2(ba)解析 3已知向量 a，b 不共线，且ABa2b，BC5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D答案 A答案 解析 ABa2b，BD BCCD 2a4b，2ABBD，ABBD.又AB与BD 有公共点 B，A，B，D 三点共线故选 A.解析 4已知
13、向量 e1，e2 不共线，实数 x，y 满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则 xy_.解析 由平面向量基本定理，得3x4y6，2x3y3，x6，y3，xy3.解析 答案 3答案 5在ABC 中，AD 13AB，AE14AC，BE 与 CD 交于点 P，且ABa，ACb，用 a，b 表示AP.解 如图，取 AE 的三等分点 M，使 AM13AE，连接 DM，则 DMBE.设 AMt(t0)，则 ME2t.又 AE14AC，AC12t，EC9t，在DMC 中，CECMCPCD 911，CP 911CD，DP 211CD，答案 APAD DP AD 211DC 13AB 211(DA AC)13AB 21113ABAC 311AB 211AC 311a 211b.答案 课后课时精练 点击进入PPT课件