1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念(重点)2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律(重点、易混点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1空间向量的概念(1)在空间中，把具有和的量叫做向量，向量 a 的有向线段的长度叫做向量的或空间向量也用有向线段表示，有向线段的表示向量的模，向量 a 的起点是 A，终点是 B，则向量
2、 a 也可记作AB，其模记为.大小方向长度模长度|a|或|AB|课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页名称定义及表示 零向量起点与终点重合的向量叫做，记为 0单位向量的向量称为单位向量相反向量与向量 a 长度而方向的向量，称为 a 的相反向量，记为a相等向量方向且模的向量称为相等向量，且的有向线段表示同一向量或相等向量零向量模为1相等相反相同相等同向等长(2)几类特殊的空间向量课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页共线向量或平行向量有向线段所在的直线叫做向量的基线如果空间中一些向量的基线，则这些向量叫做或.平行向量互相平行或重合共线向量课时分层作业当
3、堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律加法abOA OB减法abOA OB 空间向量的运算 数乘当 0 时，aQP OA，当 0 时，a0，当 0 时，aMN OA0 0课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页加法与数乘运算律(1)加法交换律：ab；(2)加法结合律：(ab)c(3)分配律：()aaa，(ab)ab思考：空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？提示 完全一致a(bc)ba课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同
4、，则终点也相同()(2)零向量没有方向.()(3)空间向量的数乘中 只决定向量的大小，不决定向量的方向()课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示(1)(2)零向量方向任意，但不是没有方向(3)既决定向量的大小，又决定向量的方向课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知空间四边形 ABCD 中，ABa，CBb，AD c，则CD 等于()Aabc BabcCabcDabcC CD CBBAAD bacabc，故选 C.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量AA1 与CC1 是
5、_向量，向量AC与C1A1 是_向量答案 相等 相反课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难空间向量的概念及简单应用(1)下列说法中正确的是 ()A若|a|b|，则 a、b 的长度相同，方向相同或相反B若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形 ABCD 中，一定有ABAD AC课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页B|a|b|，说明 a 与 b 模长相等，但方向不确定，对于 a 的相反向量 ba，故|a|b|，从而 B 正确只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有AB
6、AD AC，只有平行四边形才能成立故 A、C、D均不正确课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)如图 3-1-1 所示，以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中图 3-1-1试写出与AB相等的所有向量试写出AA1 的相反向量若 ABAD2，AA11，求向量AC1 的模课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1，DC 及D1C1 共 3个向量AA1 的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D.|AC1|AB|2|AD|2|AA1|2 222212 93.课时分层作业
7、当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件.(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1(1)给出下列命题：零向量没有确定的方向；在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ACA1C1；若向量 a 与向量 b 的模相等，则 ab.其中正确命题的序号是_课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)下列四个命题：方向相反的两个
8、向量是相反向量；若 a、b 满足|a|b|且 a、b 同向，则 ab；不相等的两个空间向量的模必不相等；对于任何向量 a、b，必有|ab|a|b|.其中正确命题的序号为 ()A BCD课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)(2)B(1)正确；正确，因为AC 与A1C1 的大小和方向均相同；|a|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 不一定相等综上可知，正确命题为.(2)对于：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错；对于：向量是不能比较大小的，故不正确；对于：不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错；只有正确课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重
9、难返首页空间向量的加、减法运算探究问题向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的三角形法则有什么特点？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因此，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法(2)若两个空间向量的始点相同，则这两个向量即为平面向量求这两个向量之和时，应优先考虑平行四边形法则(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点，因此为便于记忆，常把这个和向量叫做“封口向量”，求空间中若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量课时分层作业当堂达标固双基自主预习
10、探新知合作探究攻重难返首页 如图 3-1-2，已知长方体 ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量图 3-1-2(1)AA CB；(2)AA ABBC.【导学号：33242234】思路探究 借助向量运算的三角形法则和平行四边形法则进行运算课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)AA CBAA DA AA AD AD.(2)AA ABBC(AA AB)BC AB BC AC.向量AD、AC 如图所示课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(变结论)利用本例图，化简AA AB BC CA.解 结合加法运算AA
11、AB AB，AB BC AC，AC CA 0.故AA AB BC CA 0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2(变结论)利用本例图，求证ACAB AD 2AC.证明 长方体的六个面均为平行四边形ACABAD，AB ABAA，AD AD AA，ACAB AD(ABAD)(ABAA)(AD AA)2(ABAD AA)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页又AA CC，AD BC，ABAD AA ABBCCC ACCC AC.ACAB AD 2AC.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法(1)首尾顺次相接的若干向量之和，
12、等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A1A2 A2A3 A3A4 An1AnA1An.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为 0.如图，OB BCCD DE EFFG GH HO 0.(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即 aba(b)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(ab)c(OA AB)BCOB BCOC，a(bc)OA(ABBC)OA ACOC
13、，所以(ab)ca(bc).课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页数乘向量运算 如图 3-1-3 所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，设AA1 a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页图 3-1-3(1)AP；(2)A1N；(3)MP NC1.【导学号：33242235】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 将所求向量置于适当的三角形或多边形中，利用三角形法则、平行四边形法则或首尾相接的方法，将所求
14、向量表示出来，然后化简整理解(1)P 是 C1D1 的中点，APAA1 A1D1 D1P aAD 12D1C1 ac12ABac12b.(2)N 是 BC 的中点，A1N A1A ABBNab12BCab12AD ab12c.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)M 是 AA1 的中点，MP MA AP12A1A AP12aac12b 12a12bc.又NC1 NC CC1 12BCAA112AD AA1 12ca，MP NC1 12a12bc a12c 32a12b32c.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 利用数乘运算进行向量表
15、示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2如图 3-1-4 已知 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面外一点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O.Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x、y 的值：图 3-1-4(1)OQ PQ xPCyPA；(2)PAxPO yPQ PD.课时分层作业
16、当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)OQ PQ POPQ 12(PAPC)PQ 12PA12PC，xy12.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)PAPC2PO，PA2PO PC.又PCPD 2PQ，PC2PQ PD.从而有PA2PO(2PQ PD)2PO 2PQ PD.x2，y2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1下列命题中，假命题是 ()A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B两个相反向量的和为零向量C只有零向量的模等于 0D空间中任意两个单位向量必相等D 大小相等，而且方向相同的
17、向量才是相等向量；大小相等方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，与向量AD 相等的向量共有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个C 向量A1D1、BC、B1C1 与AD 相等课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3向量 a，b 互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是()【导学号：33242236】AabBab 为实数 0Ca 与 b 方向相同D|a|3D ab 且|b|3，|a|b|3.课时分层作业当堂
18、达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4化简 2AB2BC3CD 3DA AC_.0 2AB2BC3CD 3DA AC2(ABBCCD DA)CD DA AC0CAAC000.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5如图 3-1-5 所示的是平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，化简下列各式图 3-1-5(1)ABAD AA1；(2)DD1 ABBC.解(1)ABAD AA1 ABBCCC1 AC1.(2)DD1 ABBCDD1(ABAD)DD1 DB BD1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十八）点击上面图标进入 谢谢观看
