1、核心概念掌握 知识点一 向量的夹角知识点二 向量数量积的概念 知识点三 投影向量如图 1，设 a，b 是两个非零向量，ABa，CD b，我们考虑如下的变换：过AB的起点 A 和终点 B，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量 a 向向量 b，A1B1 叫做向量a 在向量 b 上的01 投影02 投影向量如图 2，我们可以在平面内任取一点 O，作OM a，ON b.过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 M1，则OM1 就是向量 a 在向量 b 上的投影向量知识点四 向量的数量积的性质和运算律(1)向量的数量积的性质设 a，b 是非零向量，它们的夹
2、角是，e 是与 b 方向相同的单位向量，则aeea.ab.01|a|cos02 ab0 当 a 与 b 同向时，ab.当 a 与 b 反向时，ab.aa或|a|aa a2.cos.|ab|a|b|.03|a|b|04|a|b|05|a|206 ab|a|b|07(2)向量数量积的运算律 (交换律)(a)b (结合律)(分配律)08 abba09(ab)10 a(b)11(ab)cacbc1对数量积的理解(1)求 a，b 的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及 a，b 的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是
3、数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或 0 时，符号为正；当夹角为钝角或 时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零向量的投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零(3)两个向量 a，b 的数量积与代数中两个数 a，b 的乘积 ab 是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量 a，b 的数量积是记作 ab，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“”代替，写成ab.2要灵活掌握向量数量积的性质(1)abab0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算(2)aaa2|a|2 与|a|a|2 a2也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)用 c
4、os ab|a|b|求两向量的夹角，且夹角的取值与 ab 的符号有关设两个非零向量 a 与 b 的夹角为，则当 0 时，cos1，ab|a|b|；当 为锐角时，cos0，ab0；当 为钝角时，cos0，ab0；当 为直角时，cos0，ab0；当 时，cos1，ab|a|b|.(4)|ab|a|b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题(5)向量的数量积不满足消去律：若 a，b，c 均为非零向量，且 acbc，但得不到 ab.(ab)ca(bc)1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 abac 且 a0，则 bc.()(2)若 ab0，则 a0 或 b0.()(3)若 ab，
5、则 ab0.()(4)向量 a 在 b 上的投影向量是一个模等于|acos|(是 a 与 b 的夹角)，方向与 b 相同或相反的一个向量()2做一做(1)若向量 a，b 的夹角为 30，则向量a，b 的夹角为()A60 B30 C120 D150(2)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，|a|2，|b|3，则向量 a 和向量 b 的数量积 ab_.(3)已知向量 a，b 满足|b|2，a 与 b 的夹角为 60，设 b 在 a 上的投影向量是 c，则|c|_.(4)若向量 a，b 的夹角为 120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.答案(1)B(2)3(3)1(4)7答案 核心素养形成
6、 题型一平面向量数量积的概念例 1(1)已知 a，b，c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是()|ab|a|b|ab；a，b 反向ab|a|b|；ab|ab|ab|；|a|b|ac|bc|.A1 B2 C3 D4(2)已知|a|5，|b|2，若：ab；ab；a 与 b 的夹角为 30.分别求 ab.解析(1)ab|a|b|cos，由|ab|a|b|及 a，b 均为非零向量可得|cos|1，0 或，ab，且以上各步均可逆，故命题是真命题；若 a，b 反向，则 a，b 的夹角为，ab|a|b|cos|a|b|，且以上各步均可逆，故命题是真命题；当 ab 时，将向量 a，b 的起点确定在同一
7、点，则以向量 a，b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|ab|ab|.反过来，若|ab|ab|，则以 a，b 为邻边的平行四边形为矩形，ab，因此命题也是真命题；当|a|b|但是 a 与 c 的夹角和 b 与 c 的夹角不等时，就有|ac|bc|.反过来，由|ac|bc|也推不出|a|b|，故命题是假命题故选 C.解析(2)当 ab 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角为 0，ab|a|b|cos052110；若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180，ab|a|b|cos18052(1)10.当 ab 时，则它们的夹角为 90，ab|a|b|
8、cos905200.当 a 与 b 的夹角为 30时，ab|a|b|cos3052 32 5 3.解析 答案(1)C(2)见解析答案(1)求平面向量的数量积的一般步骤(2)a 与 b 垂直当且仅当 ab0.(3)非零向量 a 与 b 共线当且仅当 ab|a|b|.(1)已知下列命题：若 a2b20，则 ab0；已知 a，b，c 是三个非零向量，若 ab0，则|ac|bc|；|a|b|0，则 a 与 b 的夹角为锐角其中判断正确的是_(2)给出下列命题：在ABC 中，若ABBC0，则ABC 是钝角三角形；ABC 是直角三角形ABBC0.其中，正确命题的序号是_答案(1)(2)答案 解析(1)对于
9、，a2b20，|a|2|b|20，|a|b|0，ab0，故正确；对于，ab0，a 与 b 互为相反向量，设 a 与 c 的夹角为，则 b 与 c 的夹角为，则 ac|a|c|cos，bc|b|c|cos()|b|c|cos，|ac|bc|，故正确；对于，由于|ab|a|b|cos|a|b|，故错误；对于，由于 aaa|a|2a，其结果为向量，故错误；对于，当 a 与 b 为同向的非零向量时，ab|a|b|cos0|a|b|0，但夹角不是锐角，故错误解析(2)利用向量数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角ABBC0，B 是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角所以推不出ABC 是
10、锐角三角形故命题是假命题解析 ABBC0，BABCABBC0，B 是钝角，因而ABC 是钝角三角形故命题是真命题若ABC 是直角三角形，则直角可以是A，也可以是B，C.而ABBC0 仅能保证B 是直角故命题是假命题.解析 题型二投影向量例 2 如图，在等腰三角形 ABC 中，ABAC2，ABC30，D 为BC 的中点(1)求BA在CD 上的投影向量；(2)求CD 在BA上的投影向量解(1)如图，连接 AD.D 为 BC 的中点，ABAC，ADBC.设与CD 同方向的单位向量为 e.又 BDDC 3，且BA与CD 的夹角为 150，答案 BA在CD 上的投影向量为|BA|cos150e 3e 3
11、 CD|CD|CD BD.(2)如图，延长 CB 至点 M，使 BMCD，过点 M 作 AB 延长线的垂线MN，并交 AB 的延长线于点 N.易知BM CD，BN32.答案 CD 在BA上的投影向量即为BM 在BA上的投影向量又 MNBN，BN32，BM 与BA的夹角为 150，故BM 在BA上的投影向量为BN34BA，即CD 在BA上的投影向量为34BA.答案 求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角在ABC 中，已知|AB|AC|6，且ABAC18，则BA在BC上的投影向量为_(用BC表示)答案 12BC答案 解析 设A，ABAC|AB
12、|AC|cos18，cos12，60.又|AB|AC|，ABC 为等边三角形过点 A 作 ADBC 交 BC 于点 D.则 BDDC.故BA在BC上的投影向量为BD，即为12BC.解析 题型三平面向量数量积的运算例 3(1)已知|a|4，|b|5，且向量 a 与 b 的夹角为 60，求(2a3b)(3a2b)；(2)在 RtABC 中，C90，AB5，AC4，求ABAC.解(1)(2a3b)(3a2b)6a24ab9ab6b2642545cos606524.(2)ABAC|AB|AC|cosBAC544516.答案 综合探究 将本例改为：(1)已知|a|4，|b|5，且向量 a，b 的夹角为3
13、0，求(2a3b)(3a2b)；(2)在 RtABC 中，C90，AB5，AC4，求ABBC.解(1)(2a3b)(3a2b)6a25ab6b2642554cos3065250 354.答案(2)在 RtABC 中，C90，AB5，AC4，故 BC3，且 cosABC35，AB与BC的夹角 180ABC，故ABBC|AB|BC|cosABC53359.答案 向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点
14、，E，F 是 AD 上的两个三等分点，BACA4，BFCF1，则BECE的值是_答案 78答案 解析 解法一：设BD a，DF b，则BACA(a3b)(a3b)9|b|2|a|24，BFCF(ab)(ab)|b|2|a|21，解得|a|2138，|b|258，则BECE(a2b)(a2b)4|b|2|a|278.解法二：设ABa，ACb，根据题意有 BACAab4，BFCF13b23a 13a23b 1，BECE16b56a 16a56b，解析 整理得ab4，2a2b25ab9，BECE5a2b226ab36，于是BECE529272 43678.解析 题型四与向量模有关的计算例 4 已知向
15、量 a，b 的夹角为 60，且|a|2，|b|1，若 c2ab，da2b，求：(1)cd；(2)|c2d|.解 因为向量 a 与 b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，所以 ab|a|b|cos601，因为 c2ab，da2b.(1)cd(2ab)(a2b)2a23ab2b22|a|2312|b|222232129.(2)因为 c2d(2ab)2(a2b)4a3b，(c2d)2(4a3b)216a224ab9b216|a|22419|b|216222419197，所以|c2d|297，所以|c2d|97.答案 求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并
16、灵活应用 a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2 或|a|a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化已知|a|b|5，向量 a 与 b 的夹角为3，求|ab|，|ab|.解 ab|a|b|cos35512252.|ab|ab2|a|22ab|b|2252252 255 3.|ab|ab2|a|22ab|b|2252252 255.答案 题型五两向量的夹角问题例 5 已知|a|2，|b|1，a 与 b 的夹角为 60，求向量 m2ab 与向量 na4b 的夹角的余弦值解 ab21cos601，|m|2|2ab|24|a|24ab|b|242241121，|n|2|a4b|2|a|28ab
17、16|b|2228116112，|m|21，|n|2 3，mn(2ab)(a4b)2|a|27ab4|b|222271413.设 m，n 的夹角为，mn|m|n|cos，3 212 3cos，即 cos 714.答案 求向量 a 与 b 夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算 ab 及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算 cos ab|a|b|，最后借助 0，求出 的值(2)在个别含有|a|，|b|与 ab 的等量关系式中，常利用消元思想计算 cos的值已知向量 a，b 满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则 a 与 b 的夹角为_解析 设 a 与 b 的夹角为，依题意
18、有(a2b)(ab)a2ab2b272cos6，所以 cos12，因为 0，故 3.解析 答案 3答案 题型六两向量的垂直问题例 6 已知向量 a，b 不共线，且|2ab|a2b|，求证：(ab)(ab)证明|2ab|a2b|，(2ab)2(a2b)2，即 4a24abb2a24ab4b2，a2b2.(ab)(ab)a2b20.又 a 与 b 不共线，ab0，ab0，(ab)(ab)答案 求(证明)两向量垂直的基本步骤(1)计算 ab 的值；(2)若为零，则 ab，否则不垂直已知|a|1，|b|2，ab 与 a 垂直，求当 k 为何值时，(kab)(a2b)?解 因为 ab 与 a 垂直，所以
19、(ab)a0，所以 a2ab0，所以 ab|a|21，要使得(kab)(a2b)，只要(kab)(a2b)0，即 k|a|2(2k1)ab2|b|20，所以 k(2k1)2220，所以 k3.答案 随堂水平达标 1已知非零向量 a，b，若 a2b 与 a2b 互相垂直，则|a|b|()A.14 B4 C.12 D2解析(a2b)(a2b)a24b20，|a|2|b|，|a|b|2.解析 答案 D答案 2在ABC 中，若ABBCAB 20，则BC在BA上的投影向量为()A.BA B.12AB C.AC D.12CA解析 0ABBCAB 2AB(BCAB)ABAC，ABAC，又BC 与BA的夹角为
20、锐角，BC在BA上的投影向量为BA.故选 A.解析 答案 A答案 3已知向量 a，b 满足|a|2，|b|1，(ab)b0，那么向量 a 与 b 的夹角为()A30 B45 C60 D90解析 由题意可得 abb20，设 a 与 b 的夹角为，则 2cos1，cos12，又0，为 60.解析 答案 C答案 4已知ABC 是边长为 2的等边三角形，则BCCAABBC_.解析 注意到BC 与CA，AB与BC 所成的角都是等边三角形的外角，为120，故BCCAABBC2(2 2cos120)2.解析 答案 2答案 5已知|a|1，ab14，(ab)(ab)12.(1)求|b|的值；(2)求向量 ab 与 ab 夹角的余弦值解(1)(ab)(ab)a2b212.|a|1，1|b|212，|b|22.(2)|ab|2a22abb21214122，|ab|2a22abb21214121，答案|ab|2，|ab|1.令 ab 与 ab 的夹角为，则 cosabab|ab|ab|1221 24，即向量 ab 与 ab 夹角的余弦值是 24.答案 课后课时精练 点击进入PPT课件
