1、2.函数与导数1 函数是数集到数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，只能一对一或者多对一，不能一对多问题1设A0,1,2,4，B，判断下列对应关系是否是A到B的映射(请在括号中填“是”或“否”)f：xx31() f：x(x1)2()f：x2x1() f：x2x()答案否否是否2 求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同问题2函数y的定义域是_答案3 用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围
2、，即函数的定义域问题问题3已知f(cos x)sin2x，则f(x)_.答案1x2(x1,1)4 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数问题4已知函数f(x)则f_.答案5 判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响问题5f(x)是_函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案奇解析由得定义域为(1,0)(0,1)，f(x).f(x)f(x)，f(x)为奇函数6 弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有
3、单调性，则其单调性恰恰相反(2)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)0.故“f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件问题6设f(x)lg是奇函数，且在x0处有意义，则该函数为()A(，)上的减函数B(，)上的增函数C(1,1)上的减函数D(1,1)上的增函数答案D解析由题意可知f(0)0，即lg(2a)0，解得a1，故f(x)lg ，函数f(x)的定义域是(1,1)，在此定义域内f(x)lg lg(1x)lg(1x)，函数y1lg(1x)是增函数，函数y2lg(1x)是减函数，故f(x)y1y2是增函数选D.7
4、 求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替问题7函数f(x)的减区间为_答案(，0)，(0，)8 求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数(4)导数法：适合于可导函数(5)换元法(特别注意新元的范围)(6)分离常数法：适合于一次分式(7)有界函数法：适用于含有指、对函数或正、余弦函数的式子无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑
5、定义域问题8函数y(x0)的值域为_答案解析方法一x0，2x1，1，解得y1.其值域为y.方法二y1，x0，00)，则f(x)的周期Ta；(2)f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，则f(x)的周期T2a.问题10对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x2)，若当2x0且a1，b0且b1，M0，N0.则loga(MN)logaMlogaN，logalogaMlogaN，logaMnnlogaM，对数换底公式：logaN.推论：logamNnlogaN；logab.(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，
6、另外，指数函数yax的图象恒过定点(0,1)，对数函数ylogax的图象恒过定点(1,0)问题12函数yloga|x|的增区间为_答案当a1时，(0，)；当0a1时，(，0)13幂函数形如yx(R)的函数为幂函数(1)若1，则yx，图象是直线当0时，yx01(x0)图象是除点(0,1)外的直线当01时，在第一象限内，图象是下凸的(2)增减性：当0时，在区间(0，)上，函数yx是增函数，当0时，在区间(0，)上，函数yx是减函数问题13函数f(x)xx的零点个数为()A0 B1 C2 D3答案B14函数与方程(1)对于函数yf(x)，使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点事实上，函数yf(
7、x)的零点就是方程f(x)0的实数根(2)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间a，b内有零点，即存在ca，b，使得f(c)0，此时这个c就是方程f(x)0的根反之不成立问题14已知定义在R上的函数f(x)(x23x2)g(x)3x4，其中函数yg(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)0在下面哪个范围内必有实数根()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案B解析f(x)(x2)(x1)g(x)3x4，f(1)031410.又函数yg(x)的图象是一条连续曲线，函数f(x)在区间(1,2)内有零点因此方程f(x
8、)0在(1,2)内必有实数根15求导数的方法基本导数公式：c0 (c为常数)；(xm)mxm1 (mQ)；(sin x)cos x；(cos x)sin x；(ex)ex；(ax)axln a；(ln x)；(logax)(a0且a1)导数的四则运算：(uv)uv；(uv)uvuv；(v0)复合函数的导数：yxyuux.如求f(axb)的导数，令uaxb，则(f(axb)f(u)a.问题15f(x)，则f(x)_.答案16利用导数判断函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f(x)0，b0)，axdx|.问题18计算定积分(x2sin
9、 x)dx_.答案解析(x2sin x)dx.易错点1函数概念不清致误例1已知函数f(x23)lg，求f(x)的定义域错解由0，得x2或x2或x0，即x24，t34，即t1.f(x)的定义域为x|x1易错点2忽视函数的定义域致误例2判断函数f(x)(1x)的奇偶性错解因为f(x)(1x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)(1x)是偶函数找准失分点对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，或f(x)f(x)正解f(x)(1x)有意义时必须满足01x1，即函数的定义域是x|1x1，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数易错点3混淆“切点
10、”致误例3求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程错解y3x22，ky|x131221，切线方程为y1x1，即xy20.找准失分点错把(1，1)当切点正解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|xx03x2.切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，把它代入上述方程，得1(x2x0)(3x2)(1x0)，整理，得(x01)2(2x01)0，解得x01，或x0.故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，或y(1)(2)(x)，即xy20，或5x4y10.易错点4极值的概念不清致误例4已知f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为1
11、0，则ab_.错解7或0找准失分点x1是f(x)的极值点f(1)0；忽视了“f(1)0D/x1是f(x)的极值点”的情况正解f(x)3x22axb，由x1时，函数取得极值10，得联立得或当a4，b11时，f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1两侧的符号相反，符合题意当a3，b3时，f(x)3(x1)2在x1两侧的符号相同，所以a3，b3不符合题意，舍去综上可知a4，b11，ab7.答案7易错点5错误利用定积分求面积例5求曲线ysin x与x轴在区间0,2上所围部分的面积S.错解分两部分，在0，上有sin xdx2，在，2上有sin xdx2，因此所求面积S为2(2)0.找准失分点面积
12、应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数所以，不应该将两部分直接相加正解Ssin xdx224.答案41 集合(x，y)|yx2，xa，b(a，b为常数)(x，y)|x2中元素的个数为()A0 B1 C0或1 D不确定答案C解析从函数观点看，题中交集中元素的个数，实际上是函数yx2(xa，b)的图象与直线x2交点的个数，若a2b时，根据函数定义中“唯一”知交集中元素的个数为1；若2D/a，b，则交集中元素的个数为0，故元素的个数为0或1.2 函数y的定义域为()A(4，1) B(4,1)C(1,1) D(1,1答案C解析由1x0.73 Blog0.5
13、0.4log0.50.6C0.750.1lg 1.4答案C解析构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数yx3，为增函数，故A对；对于B、D，构造对数函数ylog0.5x为减函数，ylg x为增函数，B、D都正确；对于C，构造指数函数y0.75x，为减函数，故C错4 函数f(x)log2x的一个零点落在下列哪个区间()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析根据函数的根的存在性定理得f(1)f(2)f(0)0，x(0，)，y1，故选C.6 对于函数f(x)asin xbxc(其中a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一
14、定不可能是()A4和6 B3和1C2和4 D1和2答案D解析f(1)asin 1bc，f(1)asin 1bc，且c是整数，f(1)f(1)2c是偶数在选项中只有D中两数和为奇数，不可能是D.7 已知f(x)则f的值为_答案解析ff1f1sin11.8 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是_答案(2,2)解析因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|)因为f(x)0，f(2)0.所以f(|x|)f(2)又因为f(x)在(，0上是减函数，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以|x|2，所以2x1时，两个函数图象的交点只有
15、一个所以实数a的取值范围是(1，)10已知函数f(x)为R上的单调函数，则实数a的取值范围是_答案1,0)解析若a0，则f(x)在定义域的两个区间内都是常数函数，不具备单调性；若a0，函数f(x)在两段上都是单调递增的，要想使函数在R上单调递增，只要(a2)e01，即a1，与a0矛盾，此时无解；若2a0，则函数在定义域的两段上都是单调递减的，要想使函数在R上单调递减，只要(a2)e01，即a1即可，此时1a0x2，f(x)0x2， 故函数在(，)及(2，)上单调递增，在(，2)上单调递减，x2是极小值点，故c2不合题意，同样验证可知c6符合题意12已知函数f(x)xln x，g(x)x3ax2
16、x2.(1)如果函数g(x)的单调减区间为，求函数g(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数yg(x)的图象在点P(1,1)处的切线方程；(3)若不等式2f(x)g(x)2的解集为P，且(0，)P，求实数a的取值范围解(1)g(x)3x22ax1.由题意3x22ax10的解集是，即3x22ax10的两根分别是，1.将x1或代入方程3x22ax10得a1.所以g(x)x3x2x2.(2)由(1)知g(x)3x22x1，所以g(1)4，所以点P(1,1)处的切线斜率kg(1)4，所以函数yg(x)的图象在点P(1,1)处的切线方程为y14(x1)，即4xy50.(3)因为(0，)P，所以2f(x)g(x)2，即2xln x3x22ax1对x(0，)上恒成立，可得aln xx对x(0，)上恒成立设h(x)ln x，则h(x).令h(x)0，得x1或x(舍)当0x0；当x1时，h(x)0.所以当x1时，h(x)取得极大值也是最大值，h(x)max2，所以a2.所以a的取值范围是2，).