1、3 直线与圆锥曲线的位置关系 真题热身1(2011课标全国)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|12，P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为()A18 B24 C36 D48解析 不妨设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，由于 l 垂直于对称轴且过焦点，故直线 l 的方程为 xp2.代入 y22px得 yp，即|AB|2p，又|AB|12，故 p6，所以抛物线的准线方程为 x3，故 SABP1261236.C 2(2011山东)设 M(x0，y0)为抛物线 C：x28y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、
2、|FM|为半径的圆和抛物线 C的准线相交，则 y0 的取值范围是()A(0,2)B0,2C(2，)D2，)解析 x28y，焦点 F 的坐标为(0,2)，准线方程为 y2.由抛物线的定义知|MF|y02.以 F 为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为 x2(y2)2(y02)2.由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心 F 到准线的距离为 4，故 42.C 3(2011浙江)已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)与双曲线 C2：x2y241 有公共的焦点，C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点若 C1 恰好将线段 AB 三等分，则()Aa2132
3、Ba213Cb212Db22解析 由题意知，a2b25，因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为 y2x，联立方程消去y，得(5a25)x25a2a40，直线截椭圆的弦长 d 52a45a25a25 23a，解得 a2112，b212.C 考点整合 1直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若 0，则直线与椭圆相交；若 0，则直线与椭圆相切；若 0 时，直线与双曲线相交；当 0 时，直线与双曲线相切；当 1，直线 l：xmym22 0，椭圆 C：x2m2y21，F1、F2 分别
4、为椭圆 C 的左、右焦点(1)当直线 l 过右焦点 F2 时，求直线 l 的方程；(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，AF1F2，BF1F2 的重心分别为 G，H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围解(1)直线 l：xmym22 0 经过 F2(m21，0)，m21m22，得 m22.又m1，m 2.故直线 l 的方程为 x 2y10.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 xmym22，x2m2y21，消去 x 得 2y2mym24 10，则由 m28(m24 1)m280，知 m28，且有 y1y2m2，y1y2m28 12.由于 F1
5、(c,0)，F2(c,0)，故 O 为 F1F2 的中点由 G、H 分别为AF1F2、BF1F2 的重心，可知 G(x13，y13)，H(x23，y23)，|GH|2(x1x2)29(y1y2)29.设 M 是 GH 的中点，则 M(x1x26，y1y26)，由题意可知，2|MO|GH|，即 4(x1x26)2(y1y26)2(x1x2)29(y1y2)29，即 x1x2y1y20.而 x1x2y1y2(my1m22)(my2m22)y1y2(m21)(m28 12)，m28 120，即 m21 且 0，1m0，即 3k22m2.(*)又 x1x2 6km23k2，x1x23(m22)23k2
6、，所以|PQ|1k2(x1x2)24x1x2 1k22 6 3k22m223k2.因为点 O 到直线 l 的距离为 d|m|1k2，所以 SOPQ12|PQ|d12 1k22 6 3k22m223k2|m|1k2 6|m|3k22m223k2.又 SOPQ 62，整理得 3k222m2，且符合(*)式，此时 x21x22(x1x2)22x1x2(6km23k2)223(m22)23k2 3，y21y2223(3x21)23(3x22)423(x21x22)2，综上所述，x21x223，y21y222，结论成立归纳拓展 解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体
7、情况进行研究同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等 变式训练 3 若以 F1(0，1)，F2(0,1)为焦点的椭圆 C 过点 P(22，1)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 S(13，0)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意知焦点在 y 轴上，c1，则 a2b21，即椭圆方程可设为x2b2 y2b211，又椭圆过点(22，1)，代入求得 b21，
8、故 a22，即椭圆 C 的方程为 x2y221.(2)若直线 l 与 x 轴重合，则以 AB 为直径的圆是 x2y21，若直线 l 垂直于 x 轴，则以 AB 为直径的圆是(x13)2y2169.由x2y21，(x13)2y2169，解得x1，y0.即两圆相切于点(1,0)因此所求的点 T 如果存在，只能是(1,0)事实上，点 T(1,0)就是所求的点，证明如下：当直线 l 垂直于 x 轴时，以 AB 为直径的圆过点 T(1,0)若直线 l 不垂直于 x 轴，可设直线 l：yk(x13)由yk(x13)，x2y221.得(k22)x223k2x19k220.设点 A(x1，y1)，B(x2，y
9、2)，则 x1x223k2k22，x1x219k22k22.又因为TA(x11，y1)，TB(x21，y2)，TATB(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k2(x113)(x213)(k21)x1x2(13k21)(x1x2)19k21(k21)19k22k22(13k21)23k2k2219k210，所以 TATB，即以 AB 为直径的圆恒过点 T(1,0)，所以在坐标平面上存在一个定点 T(1,0)满足条件规范演练 1(2011辽宁)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A、B 是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为()A.34B1 C.54
10、 D.74解析|AF|BF|xAxB123，xAxB52.线段 AB 的中点到 y 轴的距离为xAxB254.C 2已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，若过点 F且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A(1,2)B(1,2)C(2，)D2，)解析 由题意知，双曲线的渐近线 ybax 的斜率需大于或等于 3，即ba 3.b2a23，c2a24，ca2，即 e2.D 3已知点 C 为 y22px(p0)的准线与 x 轴的交点，点 F 为焦点，点 A、B 为抛物线上两个点，若FAFB 2FC 0，则向量FA 与FB 的夹角为_解析
11、 FAFB2FC0，FAFB2CF.点 C 为 y22px(p0)的准线与 x 轴的交点，由向量的加法法则及抛物线的对称性可知，点 A，B 为抛物线上关于轴对称的两点且作出图形如图所示，其中 AD 为点 A 到准线的距离，四边形AFBG 为菱形，FG 2FE 2FC.|FE|FC|p.|AF|AD|2p.AFE3.AFB23.向量FA与FB 的夹角为23.答案 234(2011浙江)设 F1、F2 分别为椭圆x23 y21 的左、右焦点，点 A，B 在椭圆上若F1A 5F2B，则点 A 的坐标是_解析 由题意知 F1(2，0)，F2(2，0)设 A(a，b)，B(xB，yB)，则F1A(a 2
12、，b)，F2B(xB 2，yB)由F1A 5F2B 得 xBa6 25，yBb5，代入椭圆方程得(a6 25)23(b5)21.又因为a23 b21，联立，解得 a0，b1.(0,1)或(0，1)5已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为2 55，它的一个顶点恰好是抛物线 y14x2 的焦点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若MA 1AF，MB 2BF，求 12 的值解(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，抛物线方程为 x24y，其焦点为(0,1)，椭圆 C 的一个顶
13、点为(0,1)，即 b1，由 eca a2b2a2 55，得 a25，椭圆 C 的标准方程为x25y21.(2)由(1)得椭圆 C 的右焦点为 F(2,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入x25 y21，并整理得(15k2)x220k2x20k250，x1x2 20k215k2，x1x220k2515k2.又MA(x1，y1y0)，MB(x2，y2y0)，AF(2x1，y1)，BF(2x2，y2)，由MA 1AF，MB 2BF，得(x1，y1y0)1(2x1，y1)，(x2，y2y0)2(2x2，y2)
14、，1 x12x1，2 x22x2，12 x12x1 x22x2 2(x1x2)2x1x242(x1x2)x1x210.6已知定点 F(0,1)和直线 l1：y1，过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心为点 C.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)过点 F 作直线 l2 交轨迹于两点 P、Q，交直线 l1 于点 R，求RPRQ 的最小值解(1)由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离，点 C 的轨迹是以 F 为焦点，l1 为准线的抛物线所求轨迹的方程为 x24y.(2)由题意直线 l2 的方程为 ykx1，与抛物线方程联立消去 y得 x24kx40.记 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24.因为直线 PQ 的斜率 k0，易得点 R 的坐标为(2k，1)，RPRQ(x12k，y11)(x22k，y21)(x12k)(x22k)(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(2k2k)(x1x2)4k244(1k2)4k(2k2k)4k244(k2 1k2)8，k2 1k22，当且仅当 k21 时取到等号RPRQ 42816，即RPRQ 的最小值为 16.返回
