1、2 椭圆、双曲线、抛物线 真题热身1(2011安徽)双曲线 2x2y28 的实轴长是()A2 B2 2C4 D4 2解析 2x2y28，x24y281，a2，2a4.C 2(2011广东)设圆 C 与圆 x2(y3)21 外切，与直线 y0相切，则 C 的圆心轨迹为()A抛物线B双曲线 C椭圆 D圆解析 设圆 C 的半径为 r，则圆心 C 到直线 y0 的距离为 r.由两圆外切可得，圆心 C 到点(0,3)的距离为 r1，也就是说，圆心 C 到点(0,3)的距离比到直线 y0 的距离大 1，故点 C 到点(0,3)的距离和它到直线 y1 的距离相等，符合抛物线的特征，故点 C 的轨迹为抛物线A
2、 3(2011山东)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线均和圆 C：x2y26x50 相切，且双曲线的右焦点为圆 C的圆心，则该双曲线的方程为()A.x25 y241 B.x24 y251C.x23 y261 D.x26 y231解析 双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，圆 C 的标准方程为(x3)2y24，圆心为 C(3,0)又渐近线方程与圆 C 相切，即直线 bxay0 与圆 C 相切，3ba2b22，5b24a2.又x2a2y2b21 的右焦点 F2(a2b2，0)为圆心 C(3,0)，a2b29.由得 a25，b24.双曲线的标准方程为x25 y241
3、.答案 A 4(2011辽宁)已知点(2,3)在双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)上，C 的焦距为 4，则它的离心率为_解析 由题意知 4a2 9b21，c2a2b24 得 a1，b 3，e2.2 考点整合 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF|PM|，点 F不在直线 l 上，PMl 于 M标准方程x2a2y2b21(ab0)x2a2y2b21(a0，b0)y22px(p0)图形范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于 x 轴
4、，y 轴和原点对称关于 x 轴对称焦点(c,0)(p2，0)轴长轴长 2a，短轴长 2b实轴长 2a，虚轴长 2b离心率eca1b2a2(0e1)eca1b2a2(e1)e1准线xp2 几 何 性 质渐近线ybax分类突破 一、圆锥曲线的定义及几何性质例 1 (1)已知 P 为椭圆x24 y21 和双曲线 x2y221 的一个交点，F1、F2 为椭圆的两个焦点，那么F1PF2 的余弦值为_(2)已知直线 yk(x2)(k0)与抛物线 C：y28x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点若|FA|2|FB|，则 k 等于()A.13B.23C.23 D.2 23解析(1)由椭圆和双曲线的方程可
5、知，F1，F2 为它们的公共焦点，不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|4|PF1|PF2|2，所以|PF1|3|PF2|1，又|F1F2|2 3，由余弦定理可知 cosF1PF213.(2)方法一 抛物线 C：y28x 的准线为 l：x2，直线 yk(x2)(k0)恒过定点 P(2,0)如图，过 A、B 分别作 AMl 于点 M，BNl 于点 N.由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，点 B 为 AP 的中点连接 OB，则|OB|12|AF|，|OB|BF|，点 B 的横坐标为 1，故点 B 的坐标为(1,2 2)k 2 201(2)2 23，故选 D.方法二 如图，由图可知，
6、BBBF，AAAF，又|AF|2|BF|，|BC|AC|BB|AA|12，即 B 是 AC 的中点 2xBxA2，yByA，与联立可得 A(4,4 2)，B(1,2 2)kAB4 22 2412 23，故选 D.答案(1)13(2)D228,8AABByxyx归纳拓展 1.圆锥曲线的定义是根本，它是标准方程和几何性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化2注意数形结合，提倡画出合理草图变式训练
7、1(1)若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C2 的一个交点，F1、F2 分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为 e1，双曲线离心率为 e2，若PF1 PF2 0，则1e211e22等于()A1 B2 C3 D4(2)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点的直线 l 依次交抛物线及其准线与点 A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_解析(1)设椭圆长半轴长为 a，双曲线实半轴长为 a，由题意，得|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|24c2，|PF1|PF2|2a，2得|PF1|PF2|2a22c2，2得|PF1|PF2|2c22a2，即 2a22c2
8、2c22a2,2c2a2a2.1e211e22 1(ca)21(ca)2a2a2c22.(2)作 BMl，AQl，垂足分别为 M、Q.则由抛物线定义得，|AQ|AF|3，|BF|BM|.又|BC|2|BF|，所以|BC|2|BM|.由 BMAQ 得，|AC|2|AQ|6，|CF|3.|NF|12|CF|32.即 p32.抛物线方程为 y23x.答案(1)B(2)y23x二、圆锥曲线的方程及应用例 2(2010天津)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率 e32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A，B，已知点 A 的坐
9、标为(a,0)，点 Q(0，y0)在线段 AB 的垂直平分线上，且QA QB4，求 y0 的值解(1)由 eca 32，得 3a24c2.再由 c2a2b2，得 a2b.由题意可知122a2b4，即 ab2.解方程组a2b，ab2，ab0.得a2，b1.所以椭圆的方程为x24 y21.(2)由(1)可知 A(2,0)，且直线 l 的斜率必存在设 B 点的坐标为(x1，y1)，直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 yk(x2)于是 A，B 两点的坐标满足方程组yk(x2)，x24 y21.由方程组消去 y 并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由根与系数的关系，得2x11
10、6k2414k2，所以 x128k214k2，从而 y14k14k2.设线段 AB 的中点为 M，则 M 的坐标为(8k214k2，2k14k2)以下分两种情况讨论：当 k0 时，点 B 的坐标是(2,0)，线段 AB 的垂直平分线为 y轴，于是QA(2，y0)，QB(2，y0)由QA QB 4，得 y02 2.当 k0 时，线段 AB 的垂直平分线的方程为y2k14k21k(x 8k214k2)令 x0，解得 y06k14k2.由QA(2，y0)，QB(x1，y1y0)，QA QB 2x1y0(y1y0)2(28k2)14k26k14k2(4k14k26k14k2)4(16k415k21)(
11、14k2)24整理得 7k22，故 k 147.所以 y02 145.综上，y02 2或 y02 145.归纳拓展 1.求圆锥曲线的标准方程的基本步骤：(1)定型(确定圆锥曲线类型)(2)定位(判断它的中心在原点，焦点在哪条坐标轴上)(3)定量(建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量 a，b 的值)2椭圆、双曲线、抛物线是常见的曲线，利用它们的方程及几何性质，可以解决一些简单的实际问题；利用方程可以研究它们与直线的交点、相交弦等有关问题 变式训练 2 如图所示，椭圆x2a2y2b21 上的点 M 与椭圆右焦点 F1 的连线 MF1 与x 轴垂直，且 OM(O 是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点
12、的连线 AB 平行(1)求椭圆的离心率；(2)F2 是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明：F1CF22；(3)过 F1 且与 AB 垂直的直线交椭圆于 P、Q，若PF2Q 的面积是 20 3，求此时椭圆的方程(1)解 设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，则 M(c，b2a)，kOMb2ac，kABba，b2acbabca 2c，eca 22.(2)证明 由椭圆定义得：|F1C|F2C|2a，cosF1CF2|F1C|2|F2C|2|F1F2|22|F1C|F2C|4a24c22|F1C|F2C|2|F1C|F2C|2b2|F1C|F2C|1.|F1C|F2C|(|F1C|F2C|2
13、)2a2，cosF1CF22b2a2 12c22c210，F1CF22.(3)解 设直线 PQ 的方程为 yab(xc)，即 y 2(xc)代入椭圆方程消去 x 得：1a2(c 12y)2y2b21，整理得：5y22 2cy2c20，y1y22 2c5，y1y22c25.(y1y2)2(2 2c5)28c25 48c225.122c|y1y2|4 3c2520 3，c225，因此 a250，b225，所以椭圆方程为x250y2251.QPFS2三、圆锥曲线的综合应用例 3(2011江西)P(x0，y0)(x0a)是双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)上一点，M，N 分别是双曲线 E 的
14、左，右顶点，直线 PM，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A，B两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，且满足OC OA OB，求 的值解(1)由点 P(x0，y0)(x0a)在双曲线x2a2y2b21 上，有由题意有 y0 x0a y0 x0a15，可得 a25b2，c2a2b26b2，eca 305.2200221.xyab(2)联立x25y25b2，yxc，得 4x210cx35b20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25c2，x1x235b24.设OC(x3，y3)，OC OA OB，即x3x1
15、x2，y3y1y2.又 C 为双曲线上一点，即有(x1x2)25(y1y2)25b2.化简得+2(x1x25y1y2)5b2.2223355,xyb222221122(5)(5)xyxy又 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以由式又有 x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，式可化为 240，解得 0 或 4.55,552222222121byxbyx归纳拓展 本题考查了双曲线方程和它的几何性质，同时还考查了直线与双曲线的位置关系，圆锥曲线与直线的综合类题目中数形结合法是解题首选，根与系数的关系是解题利器，方程思想是解题的切入点变
16、式训练 3(2011江西)已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，b0)的左顶点与抛物线 y22px(p0)的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A2 3B2 5 C4 3D4 5解析 双曲线左顶点为 A1(a,0)，渐近线为 ybax，抛物线 y22px(p0)焦点为 F(p2，0)，准线为直线 xp2.由题意知p22，p4，由题意知 2a4，a2.双曲线渐近线 yb2x 中与准线 xp2交于(2，1)的渐近线为 yb2x，1b2(2)，b1.c2a2b25
17、，c 5，2c2 5.B 3(2010北京)已知双曲线x2a2y2b21 的离心率为 2，焦点与椭圆x225y291 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_解析 双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，c4.eca2，a2，b212，b2 3.焦点在 x 轴上，焦点坐标为(4,0)，渐近线方程为 ybax，即 y 3x，化为一般式为 3xy0.3xy0(4,0)4已知 A(12，0)，B 是圆 F：(x12)2y24(F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为_解析 由题意|PA|PB|，又|PF|PB|2，|PA|PF|2，即 P 到两定点
18、A、F 距离之和为定值 2 且大于两定点 A、F 之间的距离 1，故其轨迹为椭圆，且 a1，c12，b234，方程为 x243y21.x243y215(2011北京)已知椭圆 G：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 63，右焦点为(2 2，0)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3,2)(1)求椭圆 G 的方程；(2)求PAB 的面积解(1)由已知得 c2 2，ca 63，解得 a2 3.又 b2a2c24.所以椭圆 G 的方程为x212y241.(2)设直线 l 的方程为 yxm.由yxm，x212y24得 4x26mx3m21
19、20.设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB 中点为 E(x0，y0)，则x0 x1x223m4，y0 x0mm4.因为 AB 是等腰PAB 的底边，所以 PEAB，所以 PE 的斜率 k2m433m41，解得 m2.此时方程为 4x212x0.解得 x13，x20，所以 y11，y22.所以|AB|3 2，此时，点 P(3,2)到直线 AB：xy20 的距离 d|322|23 22，所以PAB 的面积 S12|AB|d92.6(2011天津)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点分别为 F1，F2.点 P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭
20、圆的离心率 e.(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点若直线 PF2 与圆(x1)2(y 3)216 相交于 M，N 两点，且|MN|58|AB|，求椭圆的方程解(1)设 F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以(ac)2b22c.整理得 2(ca)2ca10，得ca1(舍)，或ca12.所以 e12.(2)由(1)知 a2c，b 3c，可得椭圆方程为 3x24y212c2，直线 PF2 的方程为 y 3(xc)A，B 两点的坐标满足方程组3x24y212c2，y 3(xc).消去 y 并整理，得5x28cx0.解得 x10，x285c.得方程组的解x10，y1 3c，x285c，y23 35 c.不妨设 A(85c，3 35 c)，B(0，3c)，所以|AB|(85c)2(3 35 c 3c)2165 c.于是|MN|58|AB|2c.圆心(1，3)到直线 PF2 的距离 d|3 3 3c|2 3|2c|2.因为 d2(|MN|2)242，所以34(2c)2c216.整理得 7c212c520，得 c267(舍)，或 c2.所以椭圆方程为x216y2121.返回
