1、选修4-4坐标系与参数方程1.2020全国卷,22,10分在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2-t-t2,y=2-3t+t2(t为参数且t1),C与坐标轴交于A,B两点.(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.2.2019全国卷,22,10分在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当0=3时,求0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.3.2020湖南师大附中高三摸底考试与向量综合在平面直角坐标系xOy中
2、,已知曲线C的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),直线l的参数方程为x=-2+2413t,y=1013t(t为参数),点P的坐标为(-2,0).(1)若点Q在曲线C上运动,点M在线段PQ上运动,且PM=2MQ,求动点M的轨迹方程.(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|PB|的值.4.2020广州高三二测在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为的直线l的参数方程为x=2+tcos,y=3+tsin(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为2=2cos +8.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,
3、且|AB|=42,求直线l的倾斜角.5.2021陕西百校联考在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为x=t+1,y=t+5(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2=32+cos2.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)求C2上的动点到C1的距离的取值范围.6.2021蓉城名校联考在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为x=-1+22t,y=1+22t(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)设C1,C2的交点为M,N,求
4、C2MN的面积.7.2021晋南高中联考以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1:=4sin(+3),M是C1上的动点,点N在射线OM上且满足2|ON|=|OM|,设点N的轨迹为曲线C2.(1)写出曲线C2的极坐标方程,并化为直角坐标方程;(2)已知直线l的参数方程为x=34+tcos,y=14+tsin(t为参数,00),过点P(-1,23)的直线l:x=-1-12t,y=23+32t(t为参数)与曲线C相交于M,N两点.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.9.2020四省名校高三第一次联
5、考新定义题在极坐标系中,方程为=2sin 2的曲线为如图1所示的“幸运四叶草”,该曲线又被称为玫瑰线.(1)当玫瑰线的0,2时,求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标.(2)求曲线=22sin(+4)上的点M与玫瑰线上的点N距离的最小值及取得最小值时的点M,N的极坐标(不必写详细解题过程).图110.2020石家庄市重点高中高三摸底测试新角度题已知曲线C的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),A(2,0),P为曲线C上的一个动点.(1)求动点P对应的参数从3变动到23时,线段AP所扫过的图形的面积.(2)若直线AP与曲线C的另一个交点为Q,是否存在点P,使得P为线段AQ的中点?若存
6、在,求出点P的直角坐标;若不存在,请说明理由.答 案选修4-4坐标系与参数方程1.(1)因为t1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交点为(-4,0).故|AB|=410.(2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为x-4+y12=1,将x=cos,y=sin代入,得直线AB的极坐标方程为3cos -sin+12=0.【题型风向】题目的新颖之处是根据参数方程求解曲线与x,y轴的交点坐标,体现了对参数方程的深刻理解,角度新颖.2.(1)因为M(0,0)在C上,当0=3时,0=4sin3=23.由已知得|OP|=|OA|co
7、s3=2.设Q(,)为l上除P的任意一点.连接OQ,在RtOPQ中,cos(-3)=|OP|=2.经检验,点P(2,3)在曲线cos(-3)=2上.所以,l的极坐标方程为cos(-3)=2.(2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos=4cos ,即=4cos .因为P在线段OM上,且APOM,故的取值范围是4,2.所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos ,4,2.【方法技巧】极坐标方程中,每一个0对应一个0,求点的轨迹的极坐标方程时,要学会构建等量关系,同时要注意极角的取值范围.3.(1)设Q(cos ,sin),M(x,y),则由PM=2MQ,得(x+2,y)=2(cos -
8、x,sin-y),即3x+2=2cos,3y=2sin.由和得(3x+2)2+(3y)2=4,即(x+23)2+y2=49,所以动点M的轨迹方程为(x+23)2+y2=49.(2)易知曲线C的普通方程为x2+y2=1,直线l的普通方程为y=512(x+2),设为直线l的倾斜角,则tan =512,sin =513,cos =1213,则直线l的参数方程可设为x=-2+1213t,y=513t(t为参数),代入曲线C的普通方程,得t2-4813t+3=0,=(-4813)2-12=2761690,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则|PA|PB|=|t1|t2|=|t1t2|=3.4.(1)
9、解法一因为直线l的参数方程为x=2+tcos,y=3+tsin(t为参数),所以当=2时,直线l的普通方程为x=2;当2时,直线l的普通方程为y-3=(x-2)tan .将2=x2+y2,cos =x代入2=2cos +8,得x2+y2=2x+8.所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0.解法二直线l的参数方程为x=2+tcos,y=3+tsin(t为参数),则有xsin=2sin+tsincos,ycos=3cos+tsincos,所以直线l的普通方程为xsin-ycos-(2sin -3cos )=0.将2=x2+y2,cos =x代入2=2cos +8,得x2+y2=2x+8.
10、所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0.(2)解法一曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0,将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程并整理,得t2+(23sin +2cos )t-5=0.因为=(23sin +2cos )2+200,所以可设的两个根分别为t1,t2,则t1+t2=-(23sin +2cos ),t1t2=-5.所以|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=-(23sin+2cos)2+20=42,整理得(3sin +cos )2=3,故2sin(+6)=3.因为0,所以6+60,且t1+t2=32,t1t2=4,所以|MN|=(t1-t2)
11、2=(t1+t2)2-4t1t2=(32)2-44=2.因为C2的半径为r=1,则圆心C2到MN的距离d=r2-(|MN|2)2=1-(22)2=22,故C2MN的面积S=12222=12.解法二将直线C1的方程化为普通方程得x-y+2=0,则圆心C2(1,2)到直线C1的距离d=|1-2+2|2=22,又圆C2的半径r=1,故|MN|=2r2-d2=21-(22)2=2.故C2MN的面积S=12222=12.7.(1)设点N(,),则点M(2,),又M是C1上的动点,2=4sin(+3),即=2sin(+3).两边同乘以并展开整理得2=(sin +3cos ),又2=x2+y2,cos =x
12、,sin=y,C2的直角坐标方程为x2+y2-3x-y=0.(2)将直线l的参数方程代入C2的直角坐标方程得t2-t(32cos +12sin )-34=0,设直线l与曲线C2的两个交点为A,B,且A,B对应的参数分别为t1,t2,由已知可得t1+t2=32cos +12sin =0,故tan =-3,00)得y2=2ax(a0).对于直线l:x=-1-12t,y=23+32t(t为参数),消去t得3x+y-3=0.所以曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2=2ax(a0)和3x+y-3=0.(2)将x=-1-12t,y=23+32t(t为参数)代入y2=2ax(a0),整理得3t2
13、+(24+4a)t+48+8a=0.易知0,设M,N对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-24+4a3,t1t2=48+8a3=2(24+4a)3.因为|MN|2=|PM|PN|,所以(t1-t2)2=t1t2,即(t1+t2)2-4t1t2=t1t2,即(t1+t2)2=5t1t2,即(24+4a)29=10(24+4a)3,解得a=32.9.(1)由题意可得单位圆的极坐标方程为=1.由=1,=2sin2,得sin 2=12.0,2,=12或=512,交点的极坐标为(1,12),(1,512).(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴,建立平面直角坐标系xOy.曲线=22sin(+4)的直角
14、坐标方程为x+y=4.玫瑰线关于原点中心对称,而原点O到直线x+y=4的最小距离|OM|min=|4|2=22,原点到玫瑰线上的点的最大距离|ON|max=2,当且仅当=4时,|OM|min和|ON|max同时取到,|MN|min=|OM|min-|ON|max=22-2,此时M(22,4),N(2,4).10.(1)设=3时动点P对应的点为M,=23时动点P对应的点为N,O为坐标原点,则线段AP扫过的图形的面积=SAMN+S弓形=SOMN+S弓形=S扇形OMN=12123=6.(2)设P(cos ,sin),P为线段AQ的中点,Q(2cos -2,2sin ).Q在曲线C上,曲线C的普通方程为x2+y2=1,(2cos -2)2+(2sin )2=1,8cos =7,cos=78.此时点P的直角坐标为(78,158)或(78,-158),故存在满足条件的点P,其直角坐标为(78,158)或(78,-158).
