1、七、解析几何 高频考点整合 l1l2A1B2=A2B1且B1C2B2C1(即k1=k2 A1A2+B1B2=0(即k1k2=-1)基础回扣训练 1(2010福建)以抛物线 y24x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()Ax2y22x0 Bx2y2x0Cx2y2x0 Dx2y22x0解析 抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为 r 12021，所以圆的方程为(x1)2y21，即 x2y22x0，故选 D.D 2(2010天津)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，
2、则双曲线的方程为()A.x236 y21081 B.x29 y2271C.x2108y2361 D.x227y291解析 抛物线 y224x 的准线方程为 x6，故双曲线中 c6.由双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线方程为 y 3x，知ba 3，且 c2a2b2.由解得 a29，b227.曲线的方程为x29y2271，故选 B.B 3在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点 A(5,0)和C(5,0)，顶点 B 在椭圆x236y2111 上，则sin Asin Csin B等于()A3 B.65C.54D.45解析 由正弦定理知sin Asin Csin Bacb，其中 a、b、c
3、 是ABC 的三边长由题知 b10，ac12，所以sin Asin Csin B acb 121065.B 4将直线 2xy0 沿 x 轴向左平移 1 个单位，所得直线与圆 x2y22x4y0 相切，则实数 的值为()A3 或 7 B2 或 8C0 或 10 D1 或 11解析 由题意知：直线 2xy0 平移后方程为 2(x1)y0.直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有|2(11)2|5 5，得 3 或 7.A 5(原创题)已知点 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点，若PF1 PF2 0，tan PF1F212，则椭圆的离心率为()A.13B.
4、12 C.23 D.53解析 由PF1 PF2 0PF1 PF2 PF1F2 为直角三角形，设|PF2|m，则由 tan PF1F212|PF1|2m|F1F2|5m，所以 eca|F1F2|PF1|PF2|53.D 6设 F1、F2 分别是双曲线x2a2y2b21 的左、右焦点若双曲线上存在点 A，使F1AF290且|AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率为()A.52B.102C.152D.5解析 由双曲线的定义|AF1|AF2|2a，由此得|AF2|a，|AF1|3a，再由三角形 F1AF2 为直角三角形，得 a2(3a)2(2c)2，由此得c2a2104，故 eca 102.B 7已知
5、直线 xya 与圆 x2y24 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，向量OA、OB 满足|OA OB|OA OB|，则实数 a 的值是_解析 由|OA OB|OA OB|两边平方，得OA OB 0，于是AOB90，则AOB 为等腰直角三角形而圆 x2y24 的半径 AO2，于是 O 到直线的距离为 2，所以|00a|11 2，故 a 的值是 2 或2.2或2 8直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上，实轴长为 2，离心率为 3的双曲线交于 A，B 两点，若 AB 的中心点为(2,1)，则直线 l 的方程是_解析 根据题意，知 a1，ca 3，故 c 3，b2c2a22，故双曲线方程为 x2y
6、221，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21y2121，x22y2221，两式相减，得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)20，由 x1x24，y1y22，知 kABy1y2x1x24，故直线 AB 的方程是 y14(x2)，即 4xy70.4xy709已知圆 C1：x2y22xay30 和圆 C2：x2y24x2y90 的公共弦长为 2 6，则实数 a 的值为_解析 两圆的方程作差即可得公共弦所在直线的方程为 6x(a2)y60，而圆 C2 的方程又可化为(x2)2(y1)214，圆心(2,1)到直线 6x(a2)y60 的距离为 d|12a26|36(a2)214
7、6，故 a4 或 a207.4 或20710设 A、B 分别是双曲线x2a2y2b21(a，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求此双曲线的方程；(2)已知直线 y 33 x2 与双曲线的右支交于 A、B 两点，且在双曲线的右支上存在点 C，使得OA OB mOC，求m 的值及点 C 的坐标解(1)由双曲线的实轴长为 4 3，得 a2 3.设双曲线右焦点的坐标为(c,0)，一条渐近线为 ybax，由点到直线的距离公式，得 b 3.双曲线的方程为x212y231.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)将直线 y 33 x2 代入双
8、曲线方程，化简得 x216 3x840，x1x216 3，y1y212.OA OB mOC，x0 x1x2m16 3m，y0y1y2m12m.将点 C 的坐标代入双曲线的方程(16 3m)24(12m)212，解得 m4.当 m4 时，点 C 在已知双曲线的左支上，不符合题意，舍去m4，点 C 的坐标为(4 3，3)名师警示 易错点 1 直线的倾斜角与斜率关系不清致误由直线的斜率求其倾斜角的范围问题，一般是：先求出直线的斜率 k 的取值范围，再利用三角函数的单调性，借助函数的图象，数形结合，确定倾斜角的范围在这里要特别注意：正切函数在0，)上并不是单调的函数，这一点是最容易被忽略的反过来，已知
9、直线的倾斜角的范围求其斜率范围的问题，也同样要注意这一点还要特别关注一点：当直线的倾斜角为2时，直线斜率是不存在的易错点 2 忽视斜率不存在致误在解决两直线平行的相关问题时，若利用 l1l2k1k2 来求解，则要注意其前提条件是 k1 与 k2 必须同时存在如果忽略 k1，k2不存在的情况，就会导致错解这类问题也可以利用如下的结论求解，即直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20平行的充要条件是 A1B2A2B10，这样任何条件的实数值就都有意义了，在求出具体数值后代入检验，看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况利用 l1l2k1
10、k21 时，要注意其前提条件是 k1 与 k2 必须同时存在利用直线 l1：A1xB1yC10 与l2：A2xB2yC20 垂直的充要条件是 A1A2B1B20，就可以避免讨论易错点 3 忽视零截距致误解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是搞清楚截距的概念，在解决这类问题时一定不要忽略截距为 0 这种特殊情况，否则就会出现错误；二要明确截距式表示直线的限制条件，即截距式不能表示截距为 0 的直线方程因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为 0 时的情况易错点 4 忽视圆锥曲线定义中的条件致误利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲线的定义中，有两点是
11、缺一不可的：其一，|PF1|PF2|2a；其二，2a2c.如果满足第二个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支易错点 5 忽视特殊性、误判直线与圆锥曲线位置关系过定点的直线与双曲线的位置关系问题，基本的解决思路有两个，一个是利用一元二次方程的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零，当二次项系数为零时，直线平行于双曲线的渐近线，也就是直线与双曲线只有一个交点时，直线不一定与双曲线相切，但相切只有一个交点；二是利用数形结合的思想，画出图形，根据图形判断直线和双曲线各种位置关系所满足的条件在直线与圆锥曲线的位置关系中，抛物线和
12、双曲线都有特殊情况，在解题时要注意，不要忘了其特殊性易错点 6 弦长公式使用不合理导致解题错误设直线 l 的方程为 f(x，y)0，圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)0，直线l 与圆锥曲线 C 的两个不同交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立f(x，y)0，F(x，y)0，消去 y 得到 ax2bxc0，则 x1，x2 是它的两个不相等的实根记 b24ac.设直线 l 的斜率为 k，则 A，B两点之间的距离|AB|1k2|x1x2|1k2(x1x2)24x1x2 1k2|a|；若消去 x，则 A，B 两点之间的距离|AB|1 1k2|y1y2|.使用弦长公式时，运用的就是“设而不求，整体代入”的思想易错点 7 忽视限制条件求错轨迹方程求动点的轨迹方程要注意两个方面：一是所求轨迹方程所表示的点都符合题目要求，二是动点轨迹上任意一个点的坐标都适合所求的方程在求动点轨迹方程时要注意一些特殊的限制条件，不要扩大了轨迹的范围也不要缩小了轨迹的范围，在用参数法求轨迹方程时要特别注意参数的范围对轨迹上点的制约返回