1、六、立体几何 高频考点整合 基础回扣训练 1.已知两条不重合的直线 m，n 和平面，则 mn 的一个充分条件是()A.m，nBm，n,C.m，nDm、n 与 成等角,解析 A 中直线 m 和 n 还可以相交或异面；B 是；C 中直线 m和 n 还可以异面；D 中直线 m 和 n 还可以相交或异面B 2.(2010辽宁)已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC 2，则球 O 的表面积等于()A4 B3C2 D解析 如图所示，A、B、C 三点在一小圆面上，ABBC，AC 为斜边，小圆的圆心为 AC 的中点 D.SAAB1，BC 2，AC 3，AD 32
2、.S，A，B，C 都在球面上，取 SC 的中点 O，则 ODSA.SA平面 ABC，OD平面 ABC，O 为球心，SO 为球半径SC 1(3)22，SO1，球 O 的表面积为 4.A 3已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中真命题有()A0 个B1 个 C2 个D3 个解析 依题意得，命题“ab，且 ab”是真命题(由“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”可知)；命题“a，且 acc”是假命题(直线 c 可能位于平面 内，此时结论不成立)；命题“b，且 cbc”是真命题(因为 b，因此在平面 内必
3、存在直线 b1b；又 c，因此 cb1，cb)综上所述，其中真命题共有 2 个，选 C.C 4对于任意的直线 l 与平面，在平面 内必有直线 m，使 m与 l()A平行 B相交C垂直D互为异面直线解析 对于任意的直线 l 与平面，若 l 在平面 内，则存在直线 ml；若 l 不在平面 内，且 l，则平面 内任意一条直线都垂直于 l；若 l 不在平面 内，且 l 与 不垂直，则它的射影在平面 内为一条直线，在平面 内必有直线 m 垂直于它的射影，则 m 与 l 垂直，综上所述，答案 C 正确C 5一个空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是()A4 B4(1)C5 D6解析 这是一
4、个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体，其表面积是圆柱的上下两个底面半圆，圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这个表面积是 2121212212224(12)24(1)故选 B.答案 B6已知平面 平面，l，点 A，Al，直线 ABl，直线 ACl，直线 m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABmBACmCABDAC解析 m，m，l，ml.ABl，ABm，故 A 一定正确ACl，ml，ACm，从而 B 一定正确A，ABl，l，B.AB，l.AB.故 C 也正确ACl，当点 C 在平面 内时，AC 成立，当点 C 不在平面 内时，AC 不成立，故 D 不一定成立D
5、 7异面直线 a、b 所成的角为3，直线 ca，则直线 b 与 c 所成的角的范围是()A6，2 B3，2C3，23 D6，23 解析 本题考查了直线 a 运动时 b 与 c 所成角的变化问题显然，当 a，b，c 能平移到同一平面内时所成角最小，最小值为6，当 b平行于过 a 且与直线 c 垂直的平面时角最大，最大值是2，故角的范围为6，2，故选 A.A 8在四面体 ABCD 中，三组对棱棱长分别相等且依次为 34，41，5，将此四面体 ABCD 置入一长方体内，可求出其外接球的半径 R 为()A5 2B5 C.5 22D4解析 设长方体的长、宽、高分别是 a、b、c，把所给的四面体放置其中使
6、四面体的相对棱成为长方体的侧面的对角线则a2b234，b2c241，c2a225，三式相加得：a2b2c250，所以 R12 a2b2c25 22.C 9已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦值等于()A.64B.104 C.22 D.32解析 如图所示，取 A1C1 中点 O，连接 B1O，AO.易知 B1O平面 ACC1A1，所以B1AO即为 AB1 与侧面 ACC1A1 所成的角设底面边长为 2a，则 AB12 2a，B1O 3a.在 RtAB1O 中，sinB1AOB1OAB13a2 2a 64.A 10已知点 O 为坐标
7、原点，点 A 在 x 轴上，正OAB 的面积为3，其斜二测画法的直观图为OAB，则点 B到边OA的距离为_解析 如图(1)所示，为正三角形 OAB 在平面直角坐标系内的图象以 C 点为原点建立斜坐标系如图(2)所示，过 B作 BDx轴，垂足为 D，因为正三角形 OAB 的面积为 3，所以正三角形的边长为 2.则 OA2，ACB 45，而 BC 32.则 BD 64，即点 B到 OA 的距离为 64.图1 图2 6411.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上的动点(1)求证：A1EBD；(2)当 E 恰为棱 CC1 的中点时，求证：平面 A1BD平面 EBD；(3)在棱
8、 CC1 上是否存在一个点 E，可以使二面角 A1BDE 的大小为 45？如果存在，试确定点 E 在棱 CC1 上的位置；如果不存在，请说明理由解 分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，设该正方体边长为 a，(1)A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，设E(0，a，e)(0ea)，则A1E(a，a，ea)，BD(a，a,0)，A1E BD(a)(a)a(a)(ea)00，A1E BD，即 A1EBD.(2)由题设，知 E(0，a，a2)，设 BD 的中点为 O，O(a2，a2，0)，
9、OE(a2，a2，a2)，BD(a，a,0)，则OE BD 0，OE BD，OA1(a2，a2，a)，OA1 BD 0，OA1 BD.A1OE 为二面角 A1BDE 的平面角OA1 OE 0，则A1OE90，平面 A1BD平面 EBD.(3)假设点 E 存在，OE(a2，a2，e)，OA1(a2，a2，a)由(2)知A1OE 为二面角 A1BDE 的平面角，cos A1OE OA1 OE|OA1|OE|a22 ae3a22 a22 e2 22，解得 e43 22a.e43 22a0，e43 22aa，与 0ea矛盾，棱 CC1 上不存在满足条件的点名师警示 易错点 1 三视图识图不准致误在由三
10、视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑易错点 2 对斜二测画法的规则不清致误第一，建立一个坐标系；第二，保持与坐标轴的平行性不变；第三，长度规则：已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度减为原来的一半按照这个规则很容易画出水平放置的平面图形的直观图，但高考命题中往往反其道而行之实际上，上面的三个规则是“可逆”的，我们可以“逆用规则”解决这类问题易错点 3 空间几何体面积计算错误在解决面
11、积计算问题时，一要看准计算的是全面积还是侧面积，二要准确地利用公式，防止出现误用公式易错点 4 空间几何体体积计算错误计算空间几何体的体积时要注意：(1)分析清楚空间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构成特点：(2)进行合理的转化和一些必要的等积变换，如三棱锥的体积计算就可以通过“换顶点”的方法进行等积变换；(3)正确选用体积计算公式易错点 5 共面条件使用不当致误平面的三个公理中，公理 1 是确定一条直线是不是在一个平面内的依据；公理 2 是确定一个平面的依据，是证明点线共面的依据；公理 3 是确定两个平面交线的依据，是证明点共线、线共点的依据在关于直线与平面的基础试题中这三个公理是解
12、决问题的主要依据易错点 6 异面直线所成角错误因为异面直线所成角 的取值范围是 090，所以当在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角求异面直线所成的角，通常通过平移或放缩，将两条异面直线转化为三角形中的两边所成的角易错点 7 空间点、线、面位置关系不清致误关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是高考全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握程度的理想题型，历来受到命题者的青睐，解决这类问题的基本思路有二：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用准确、考虑问题全面细致易错点 8 线面位置关系定理使用不当致误证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如证明线线垂直，分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的解决这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等返回