1、学案71矩阵与变换(一)二阶矩阵与变换导学目标： 1.了解矩阵的有关概念，理解二阶矩阵与平面列向量的乘法.2.了解几种常见的平面变换，理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线(或者点).3.理解二阶矩阵的乘法及简单性质自主梳理1线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy中，由(其中a，b，c，d是常数)构成的变换称为线性变换由四个数a，b，c，d排成的正方形数表称为_，其中a，b，c，d称为矩阵的_，矩阵通常用大写字母A，B，C，或(aij)表示(其中i，j分别为元素aij所在的行和列)2矩阵的乘法行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则为a11a12a11b11a12b21，二阶矩阵与列矩阵的乘法
2、规则为.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律3几种常见的线性变换(1)恒等变换矩阵M；(2)旋转变换R对应的矩阵是M_；(3)反射变换要看关于哪条直线对称例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2_；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3_；(4)伸压变换对应的二阶矩阵M，表示将每个点的横坐标变为原来的_倍，纵坐标变为原来的_倍，k1，k2均为非零常数；(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M_；(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M_，若沿y轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M.(其中k为非
3、零常数)4线性变换的基本性质设向量，规定实数与向量的乘积_；设向量，规定向量与的和_.(1)设M是一个二阶矩阵，、是平面上的任意两个向量，是一个任意实数，则M()_，M()_.(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)自我检测1点A(3，6)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标是_2设，则它表示的方程组为_3设矩阵A，矩阵A所确定的变换将点P(x，y)变换成点Q，则Q点的坐标为_4设OAB的三个点坐标为O(0,0)，A(A1，A2)，B(B1，B2)，在矩阵M对应的变换下作用后形成OAB，则OAB与OAB的面积之比为_5二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2,1)分
4、别变为点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵M；(2)设直线l在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：xy40，求l的方程探究点一几种常见的变换例1 试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换(1)，方程为y2x2；(2)，点A(2,5)；(3)，曲线方程为x2y24.变式迁移1 将点(2,4)先经过矩阵变换后，再绕原点逆时针旋转90角所得的点坐标为_探究点二矩阵的乘法及几何意义例2 验证下列等式，并从几何变换的角度给予解释：.变式迁移2 已知矩阵M和N，求证：MNNM.探究点三矩阵与变换的综合应用例3 已知两个城市甲与乙间的交通有陆路和航空两种，其陆路可用矩阵表示为M，航空可用
5、矩阵表示为N.(1)试从NM的结果中说明在这个网络里可以进行怎样的旅行？(2)请计算M2，并据此矩阵说明网络里可以进行怎样的旅行？(3)请计算MNM，并据此说明网络里可以做怎样的旅行？变式迁移3 已知A，B，试求AB，并对其几何意义给予解释1常见的变换矩阵(1)恒等变换矩阵为M；(2)伸压变换矩阵为M或M；(3)反射变换矩阵为M1，M2，M3；(4)旋转变换矩阵为M；(5)投影变换矩阵为M1，M2，M3；(6)切变变换矩阵为M或M.2矩阵的乘法不满足交换律，不满足消去律，但满足结合律设A，B，则AB.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1矩阵(左)乘向量的法则是_2(2010龙岩
6、一模)在某个旋转变换中，顺时针旋转所对应的变换矩阵为_3直线2xy10经矩阵M的变换后得到的直线方程为_4设a，bR，若矩阵A将直线l：xy10变为直线xy20，则a_，b_.5已知A，B，C.则AB_，AC_.6曲线ysin x在矩阵MN变换下的函数解析式为_(其中M，N.)7(2010南京二模)在直角坐标系中，OAB的顶点坐标O(0,0)，A(2,0)，B(1，)，OAB在矩阵MN的作用下变换所得的图形的面积为_(其中矩阵M，N)8已知二阶矩阵M满足M，M，则M2_.二、解答题(共42分)9(14分)(2011江苏)已知矩阵A，向量.求向量，使得A2.10(14分)(2010江苏)在平面直
7、角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)设k为非零实数，矩阵M，N，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC的面积的2倍，求k的值11(14分)(2010福建)已知矩阵M，N，且MN.求实数a，b，c，d的值；求直线y3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程学案71矩阵与变换(一)二阶矩阵与变换答案自主梳理1二阶矩阵元素3.(2)(3)(4)k1k2(5)(6)4.(1)MMM自我检测1(9，3)2.3.(xy，y)411解析由题意知TM为切变变换，故变换前后图形面积大小不变5(1)(2)xy20解析(1)设M，则
8、，.由联立得a1，b2，c3，d4，故M.(2)设(x，y)为l上任意一点，在经矩阵M变换下对应的点为(x，y)，则，代入xy40得xy20，即xy20.课堂活动区例1 解题导引对于已知变换前后的象和原象，要求变换矩阵这类问题，我们显然无法对所有的变换进行一一尝试，用待定系数法解题可起到事半功倍的效果通过具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形、三角形)的变换，应充分地认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影解(1)所给方程表示的是一条直线设A(x，y)为直线上的任意一点，经过变换后的点为A(x，y)，xx，yy.变换后的方程仍为y2x2.该变换是恒等变换(2)经过变化后
9、变为(2,5)，它们关于y轴对称，故该变换为关于y轴的反射变换(3)所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A(x，y)为曲线上的任意一点，经过变换后的点为A1(x1，y1)，则，2xx1，yy1.将之代入到x2y24可得方程4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换变式迁移1 (8,2)解析由题意知例2 解题导引熟悉六种线性变换，方可理解矩阵乘法的几何意义矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续依次实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换因为矩阵的乘法运算不满足变换律，对应地，对一个向量a先实施变换f，再实施变换g与先实施变换g，再实施变换f，其结果通常也是不一样的因而做题时必须
10、认真审题弄清题意，不能混淆f(g(a)和g(f(a)解等式右边表示的是对点(x，y)先作沿x轴的切变变换得(xy，y)，再将所得的点进行保持横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍的伸压变换得(xy,2y)，最后将得到的点作沿y轴的切变变换得(xy，x3y)等式左边表示的是将点(x，y)作如下变换：，即它也是将点(x，y)变成了点(xy，x3y)，因此，等式两边表示的变换相同，所以有变式迁移2 解MN，NM，故MNNM.例3 解题导引M的意义表示陆路的网络图为甲乙；N的意义表示航空的网络图为甲乙解(1)NM，这说明，在此网络中可以选择先陆路后航空的旅行(2)M2，这说明，在此网络中可以选择先陆路后再陆
11、路的旅行(3)MNM，这说明，在此网络中可以选择先陆路，再航空，然后再陆路的旅行变式迁移3 解ABAB表示的变换为逆时针旋转.A表示逆时针旋转，B表示逆时针旋转.课后练习区1.2.解析顺时针旋转即逆时针旋转，变换矩阵为.32xy10解析由变换矩阵M知坐标变换公式为，即，代入直线方程2xy10得2xy10.即2xy10.421解析在直线l上任取一点P(x，y)，经矩阵变换后为点P(x，y)，则由，得所以axyby20，即ax(1b)y20，于是由，解得a2，b1.5.，解析AB，AC.6y2sin 2x解析MN，即在矩阵MN变换下，则ysin 2x，即曲线ysin x在矩阵MN变换下的函数解析式
12、为y2sin 2x.71解析MN，.可知O，A，B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为O(0,0)，A(2,0)，B(2，1)可知OAB的面积为1.8.解析设M，由M得，所以a1，c0.由M得，所以b1，d2.所以M.所以M2.所以M2.9解A2.(4分)设，由A2，得，(7分)从而解得所以.(14分)10解由题设得MN.(4分)由，可知A1(0,0)，B1(0，2)，C1(k，2)(10分)计算得ABC的面积是1，A1B1C1的面积是|k|，由题设知|k|212，所以k的值为2或2.(14分)11解方法一由题设得解得(6分)因为矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)，所以可取直线y3x上的两点(0,0)，(1,3)由，得点(0,0)，(1,3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的象分别是点(0,0)，(2,2)(12分)从而直线y3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为yx.(14分)方法二同方法一设直线y3x上的任意点(x，y)在矩阵M所对应的线性变换作用下的象是点(x，y)，由得yx，即点(x，y)必在直线yx上由(x，y)的任意性可知，直线y3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为yx.