1、高考资源网（） 您身边的高考专家高 二 数 学（第24讲）主讲教师：吴 芳（苏州中学）【教学内容、目标】第九章 直线 平面 简单几何1、二面角的概念及大小的计算2、平面图形的“翻折”问题【知识重点与难点】1、掌握作二面角大1小的常用方法关键是直接作出或找出二面角的平面角，经证明后再进行计算。一般有以下三种方法：定义法 当点A在二面角-l-的棱l上时，可过A分别在、内作棱 l的垂线AB、AC，由定义可知BAC即为二面角-l-的平面 角。三垂线法 当点A在二面角-l-的一个面内时，可作AO于O，再 作OBl于B，连结AB，由三垂线定理可得ABl，故ABO 即为二面角-l-的平面角。垂面法 当点A在
2、二面角-l-内时，可作AB于B，AC于C， 设1过AB、AC的平面与l交于点O，连结OB、OC，可证平面ABOC 是l的垂面，则lOB，lOC，BOC即为二面角-l-的平 面角。2、解平面图形的“翻折”问题时，通常同时画出折前的平面图形和折后的空间图形，进行对照分析。凡在折后的图形中添加的辅助线，都应在折前的平面图形中相应画出，这样，容易对有关线段、角的数量关系及位置关系作出正确判断。【典型例题】例1：过60的二面角-MN-的棱上一点O，分别在、内引两条射线OP、OQ，使PON和QON都是45角，求POQ的余弦值。分析：关键作出二面角-MN-的平面角。为给已知的两个45的角及所求的POQ构造三
3、角形，用定义法在MN上取一点A，作出二面角的平面角。解：在MN上取一点A，过A分别在、内作MN的垂线，与OP、OQ分别交于点P、Q，连结PQ，则PAQ即为二面角-MN-的平面角，PAQ=60。设OA=a，则RtPAO中，PA=OA=a，PO=a同理：RtQAO中，QA=OA=a，PAQ中，PA=QA=a，PAQ=60PQ=aPOQ中，cosPOQ=POQ的余弦值为11例2：P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，且MN平面PCD，求二面角P-CD-B的大小。分析：关键求二面角的平面角，先在图中现有的角中找，发现ADDC，若能证明PDDC，则PDA即为所求
4、。解：PA平面ABCD，ADDC由三垂线定理得：PDDCPDA即为二面角P-CD-B的平面角。连结PM、CMMN平面PCD，PC平面PCDMNPC又N是PC中点PM=CM由RtPMARtCMBPA=BC又BC=AD1PA=ADRtPAD中，PDA=45二面角P-CD-B的大小为45。点评：在找二面角的平面角时，若有线面垂直的条件，则应想到三垂线定理或其逆定理。找到后，一般在平面角所在三角形中利用三角函数或平几知识进行计算。例3：在120的二面角-l-内有一点P，PA于A，PB于B，PA=2，PB=3，求AB的长；P到棱l上的距离。分析：先作出表示120的二面角的平面角。解：设平面PAB交棱l于
5、C。 连结AC、BC PA，l l平面PAB 又AC平面PAB，11BC平面PAB lAC，lBC BCA即为二面角-l-的平面角，BCA=120 平面四边形PACB中，PAC=PBC=90 ACB+P=180 P=60 PAB中，AB2=PA2+PB2-2PAPBcosP=4+9-12 AB=连结PC 中已证l平面PAB，PC平面PAB lPC，PC即为P到l的距离 P、A、C、B四点共圆，PC为直径 由正弦定理，PC AB的长为，P到l的距离为例4：长方体ABCD-A1B1C1D1，设二面角A- B1C1- A1大小为，求证：证明：B1C1平面AB1，平面AB1平面AB1 B1C1AB1
6、又A1B1B1 C1 AB1A1即为二面角的平面角 A B1 A1=11 SA1B1C1= SAB1C1= 点评：题中，A1B1C1为AB1C1在底面的射影，此题的结论可以推广：设平面内的一个封闭几何图形面积为S，此几何图形在内的射影面积为S，二面角-l-的大小为，可以证明，由于运用了射影，因此该方法也称为射影法。若正方体ABCD-A1B1C1D1，E为棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。分析：题中AB1E在1底面的射影为AB1C1，因此由公式可得。但是由于对使用此公式的合法性有争议，因此我们在大题目的书写过程中要谨慎使用。在这里我们还是作出二面角的棱，并利用三
7、垂法定理作出平面角。解：连结AE并延长交A1C1的延长线于F，作直线B1F，在底面A1B1C1D1内作C1HB1F于H，A1GB1F于G，连结EH、AG EC1底面A1B1C1D1 由三垂线定理可得EHB1FEHC1为二面角A-B1F-A1的平面角，设为同理：AGA1=SA1B1C1= SA1B1F- SC1B1F=B1FA1G-B1FC1H SAB1E= SAB1F- SEB1F= B1FAG-B1FEH设棱长为2，则AE=3，AB1=,B1E=cosB1AE=B1AE=45SB1AE=而SB1A1C1=211平面AB1E与底面A1B1C1D1所成角的余弦值为：cos=例5：在正方形纸片AB
8、CD的四边AB、AD、CD、CB上，分别取E、F、G、H四个点，使AE：EB=AF：FD=CG：GD=CH：HB=1：2，将纸片沿对角线BD折起，试证EFGH是矩形；求当二面角A-BD-C为多少度时EFGH是正方形。证明：AE:EB=AF:FD=1:2 EF 翻折之前1，图中，EHBD=K，连结AC 由BE:BA=BH:BC=2:3 可得EH/AC ACBD EHBD 翻折之后图中，BDEK，BDHK，EKHK=K BD平面EKH，EH平面EKH BDEH 又BD/HG HGEH 又 EFGH是矩形 设AB=a，则HG=要使EFGH是正方形，只需使EH=HG= 在图（2）中，连结AC，则EH
9、折起使 取BD中点O，连结AO、CO，则AOBD，COBD AOC为A-BD-C的平面角，且AO=CO= 当AOC=60时，AC= 当二面角A-BD-C为60时，EFGH是正方形。点评：在翻折问题中，一定要弄清翻折前后，哪些关系未变，哪些关系有变化。翻折前后，始终处于同一平面内的。关系不会改变。如本题中，EK、HK始终垂直于BD，但EH垂直于BD就需证明，并且EH的长度变化了。例6:已知四边形ABCD中,B=D=90,AC=2,BAC=30,CAD=45，沿AC将四边形ABCD折起，使B点在平面ACD上的射影F恰在CD边上。（1）求证：平面ABD1平面BCD（2）求二面角B-AC-D的余弦值及
10、二面角A-BC-D的余弦值。分析：翻折后原ABC及ADC内的边角关系未变，把这些转移到图（2）中，图（2）中多了BF平面ACD这个条件。要证面面垂直，应在其中一个面中找到另一个面的垂线，本题中发现ADDC且ADBF，得证。要找B-AC-D的平面角，由于BF平面ACD，因此利用三垂线定理“一作一连”（过F作棱AC的垂线，连结B与垂足）即可得。解：F是B在平面ACD内的射影 BF平面ACD 又AD平面ACD BFAD 又ADDC，DCBF=F AD平面BCD1 AD平面ABD 平面ADB平面BCD 在平面ACD内作FEAC于E，连结BE BF平面ACD 由三垂线定理得ACBE BEF即为二面角B-
11、AC-D的平面角 RtABC中，BE= AD平面BCD，BC平面BCD ADBC 又BCAB，ABAD=A BC平面ABD RtBCD中，BC=1，DC= BCD为等腰直角三角形 BF=1 RtBFE中,sinBEF= cosBEF= BC平面ABD ABD即为二面角A-BC-D的平面角 ABD中，AB= cosABD=【同步练习】一、选择题：1、已知二面角-a1-的大小为（），AB，CD，且ABa，CDa，若AB与CD所成的角为，则（） A、=B、=- C、=+D、=-2、已知直线m平面，二面角-l-的大小为，且m与所成角为，则（） A、B、时，;当时， D、与的大小关系不能确定3、在正方体
12、ABCD-1A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于（） A、B、C、D、4、在二面角-l-中，AB于B，BC于C，若AB=6，BC=3，则二面角-l-的平面角的大小为（） A、30B、60C、30或150D、60或1205、过正方形ABCD的顶点A作线段AP平面ABCD，且AP=AB，则半平面ABP与半平面CDP所成二面角的度数是（） 1 A、30B、45C、60D、90二、填空题：6、有一山坡，倾斜角为30，若在斜坡平面内沿着一条与斜坡底线成45角的直线前进1公里，则升高了 米。7、将锐角QMN=60，边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折成60
13、的二面角，11则MP与NQ间的距离为 。8、已知RtABC的斜边AB在平面内，AC、BC分别和成30、45角，则平面ABC与平面相交所成四个两面角大小为 。三、解答题：9、在等腰梯形ABCD中，AB|CD，AB=20cm，CD=12cm，M、N分别是AB、CD的中点，MN=，沿MN把它折成120的二面角后，求BD。101、已知-l-是60的二面角，A，B，AB=20cm,A、B到l的距离分别为5cm和8cm，求A、B在棱l上射影之间的距离。11、已知ABC所在平面外一点P，平面PBC平面ABC，PBC是边长为a的正三角形，ACB=90，BAC=30，M是BC的中点，求二面角C-PA-M的正弦值
14、。12、已知RtABC的两直角边AB=2，BC=3，P为斜边AC上的点，以BP为棱折成直二面角A-BP-C，后AC=，求二面角P-AB-C的正切值。【参考答案】一、选择题：1、D两1直线AB、CD所成角过C作CE|AB，DCE=，=-2、A当时，0，当时，m与l不垂直时，AC于C，CDl于D ADC =，ABC= tanADC= tanABC= RtBCD中，CDtanABC tantan 、锐角 m与l垂直时，=得上：3、C法一：取BD中点O连结A1O,AO可证：BDAO，BDA1O,A1OA即为所求二面角的平面角tanA1OA=法二1：利用公式cos=设棱长为a，SABD= SA1BD=
15、cos= tan=4、D当二面角-l-是锐角时，连结AC并延长交l于D连结B1D，AB，l ABl同理：BCll平面ABC，AD平面ABC，BD平面ABClAD，lBDADB为二面角的平面角ADB=90-BADRtABC中，sinBAD=，BAD=30ADB=60当二面角-l-是钝角时，如图:则二面角-l-的平面角是ADB的补角1205、B方法一：证明DA平面PAB，CB平面PABPAB11是PDC在平面PAB内的射影设二面角大小为PA=AB=aSPAB=可证DCPD，SPDC=DCPD=aa=cos= =45方法二：把几何体补形成正方体ABCD-PB1C1D1，平面ABP与平面CDP所成二面
16、角即为C- PB1-B，平面角为DPA=45二、填空1题：6、250米过B作BC于C，过C在内作CDl于D，连结BD由三垂线定1理，BDC为二面角的平面角，BDC=30RtABD中，BD=ABsin45=500RtBCD中，BC=BDsin30=2507、 a折后PNQ，MNQ是边长为a的等边三角形。 PNM，PQM是腰为a的等腰三角形。取QN中点O，PM中点K，连结OKQKN中，KONQ，OPM中，OKPMOK为MP与NQ之间的距离，且POM为二面角的平面角POM=601，POM为等边三角形，RtQPO中，OP=asin60=，RtPOK中，OK=OPsin60= a8、60或120作CO于
17、O，连结OA、OB在内作OHAB于H，连结CH。则CAO=30，CBO=45CHO为二面角C-AB-O的平面角，设CO=1，OA=，AC=2，BO=1，BC=RtABC中，1AB=，CH=sinCHO=平面被AB分成两个半平面平面ABC与平面所成的四个二面角大小为60或1209、18cm过D作DHAM于H，连结BHMNAM，MNBMMN平面AMBAMB为二面角的平面角AMB=120HMB中，HM=6，MB=10HB2=HM2+BM2-2HMBMcos120 =196DH平面AMB,RtDH B中，DB2=DH2+BH2 =324DB=181110、3解：在内作ACl于C，则AC=5，在内作BD
18、l于D，则BD=8A、B在棱l上射影之间的距离即为CD在内过C作CEBD，连结AE、BEBDl，CE/BDCEl，又AClACE即为-l-的平面角ACE=60BD1CE BECD BECDCDAC，CDCE，ACCE=C CD平面ACEBE平面ACE、AE平面ACE 1BEAEACE中，AC=5、CE=8，ACE=60AE2=AC2+EC2-2ACECcos60=25+64-258=49AE=7RtABE中，AB=20，AE=7，BE= CD=3A、B在棱l上射影之间距离为3cm11、解：1平面PBC平面ABC，交线为BC，M是正三角形PBC的边BC上的中点，PBC是正三角形，有PMBC PM
19、平面ABC又AC平面ABC1 PMAC又ACBC AC平面PBC 进而平面PAC平面PBC1作MHPC于H，则MH平面PAC1作MDPA于D，连结DH，由三垂线逆定理知DHPA，MDH为二面角C-PA-M的平面角，正PBC中，边长为a，则PM=RtACB中, BAC=30，BC=a，AC=，MA=PA=MD=11RtMHD中，sinMDH=12、1过A、C分别作直线BP的垂线交BP于E、F，连结EC二面角A-BP-C为直二面角AE平面BCP，CF平面ABP作FDAB于D，连结CD，则CDABFDC为二面角P-AB-C的1平面角设ABP=，则AE=2sin，BE=2cosFCB=ABE=，FC=3co s,BF=3 sinEF=|3sin-2cos|EC2=EF2+FC2=(3sin-2cos)2+(3cos)2由AE2+EC2=AC2(2sin)2+ (3sin-2cos)2+(3cos)2=7sin2=1 =45FC=1tanFDC=即：1二面角P-AB-C的正切值为- 14 - 版权所有高考资源网