1、张家口市20222023学年度高三年级第一学期期末考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合Ux|1x10，A1，2，3，B1，2，3，4，5，6，则(U A)BA. B.C. D.2.已知复数z2i，则A.14i B.14
2、iC.512i D.12i3.已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的上四分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为A. B.C. D.4.已知函数f (x)为偶函数，定义域为R，当x0时，f (x)0的解集为A. B.C. D.5.石碾子是我国传统粮食加工工具如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚(圆柱形)和碾架组成碾盘中心设竖轴(碾柱)，连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径
3、之比约为A.32 B.54 C.53 D.436.已知等差数列an的首项a10，而a90，则A.0 B.2 C.1 D.7.过点P(1，1)作圆E：x2y24x2y0的切线，则切线方程为A.xy20 B.2xy10C.x2y10 D.x2y10或2xy108.设a，b，c，则A.abc B.cab C.bca D.ba1，方程x2x0，xlog2x0在区间的根分别为a，b，以下结论正确的有A.ba2alog2b B.1C.ab1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量a(3，2)，b(2，)，ab，则实数_14.已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F到C的一条渐近线y2x
4、0的距离为2，则双曲线C的方程为_15.已知直线l：ykxb是函数f (1)ax2与函数gex的公切线，若 （1，f(1)）是直线l与函数f 相切的切点，则b_16.已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a4，c3b，则ABC面积的最大值是_；若r，R分别为ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)因疫情防控需要，某社区每天都要在上午6点到8点之间对全社区居民完成核酸采集，该社区有A，B两个居民小区，两小区的居住人数之比为911，这两个小区各设有一个核酸采集点，为了解该社
5、区居民的核酸采集排队时间，用按比例分配分层随机抽样的方法在两小区中随机抽取了100位居民，调查了他们一次核酸采集排队时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方图(1)由直方图分别估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长和在一次核酸采集中排队时长超过16分钟的居民比例；(2)另据调查，这100人中一次核酸采集排队时间超过16分钟的人中有20人来自A小区，根据所给数据，填写完成下面22列联表，并依据小概率值0.01的独立性检验，能否认为排队时间是否超过16分钟与小区有关联？排队时间超过16分钟排队时间不超过16分钟合计A小区B小区合计附表：0.1000.050.010.0050.001x2.7063
6、.8416.6357.87910.828附：2，其中nabcd.参考数据：140.0751.05，180.03750.675，220.0250.55，240.03750.9，260.01250.325，280.01250.35.18.(本小题满分12分)已知Sn为数列的前n项和，Sn2an4n2.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和Tn.19.(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C(sin Csin B).(1)求A；(2)如图，在ABC所在平面上存在点E，连接BE，CE，若ECAC，ACE120，EBC30，BC2，求ABC的面积20.
7、(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PCPBABBCCDDA2，E为棱AP的中点，EBBC.(1)证明：BCPD；(2)若BE，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值21.(本小题满分12分)已知函数f (x)xeax.(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)证明：ln xax1.22.(本小题满分12分)已知动圆E过定点A，且在y轴上截得的弦BD的长为12，该动圆的圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)点P是曲线C上横坐标大于2的动点，过点P作圆(x1)2y21的两条切线分别与y轴交于点M，N，求PMN面积的最小值数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5
8、分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.D【解析】由Ux|1x10，A1，2，3，B1，2，3，4，5，6，得(UA)B，故选D.2.A【解析】z2i2i14i，故14i.故选A.3.C【解析】由题意，得875%6，所以a9.小于a的有6个数，所以随机取两个数都小于a的概率为P，故选C.4.B【解析】当x0时，f (x)0，得f (x2x)f (x)，所以，故1，解得0xe22eln 2，所以ab.设y，则y.当x时，y0，函数y单调递增；当x时，y0，函数y单调递减，又e.又a，c，所以ca.综上ba4，故C错误；因为ba2aa，设f 2mm，则f 2mln 21，
9、当m1时，f 0，所以当m1时，函数f 2mm单调递增，故f 2mmf 1，即ba1，所以D正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.4【解析】因为ab，所以243，所以4.14.1【解析】由题意，得2，所以c.又2，a2b2c2，解得a23，b212，所以双曲线C的方程为1.15.【解析】根据题意，得l与函数f 的切点为(1，a)，设l与函数gex的切点为(x2，ex2)，又f 2ax，gex，所以k2aex2，所以切线l的方程为ya2a(x1)，即y2axa.同时切线l的方程也为yex2ex2(xx2)，即yex2xex2x2ex2，所以aex2x2ex2b，解得x2，所以b
10、.16.3；(，2)【解析】以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(2，0)，C(2，0)设A，由c3b，得3，所以3，化简得x2y25x40，y0，所以点A到BC的最大距离为圆x2y25x40的半径，故ABC面积的最大值为S3.由正弦定理，得2RR.因为r(4b3b)SABCbcsin Asin Ar，故rR.由得1b2.令f (x)(1x0，所以f (x)在(1，2)上单调递增，故f (x)的值域为(，)，所以rR的取值范围是(，2)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)解：(1)由直方图，得平均数的估计值为4
11、(20.012560.0375100.05140.075180.0375220.025260.0125)13.4(分)，3分因为4(0.01250.0250.0375)0.3，所以有30%的居民排队时长超过16分钟，综上，估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为13.4分钟，在一次核酸采集中该社区有30%的居民排队时长超过16分钟.5分(2)由(1)可知样本中有30%10030(人)排队时长超过16分钟.6分又两小区的居住人数之比为911，故在A小区抽取了45人，在B小区抽取了55人，7分故填表如下：排队时间超过16分钟排队时间不超过16分钟合计A小区202545B小区104555合计307
12、01008分零假设为H0：排队时间是否超过16分钟与所属小区相互独立，即排队时间是否超过16分钟与所属小区无关，28.136.635x0.01.9分根据小概率值0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即排队时间是否超过16分钟与所属小区有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.10分18.(本小题满分12分)(1)证明：由题意，得a1S12a1412，所以a12，a146.1分由Sn2an4n2，得Sn12an142，n2，所以anSnSn12an2an14，n2，3分所以an2an14，n2，故2，n2，4分所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列.5分(2)解：由(1)得an462n13
13、2n，故an32n4，6分则nan3n2n4n.7分设bnn2n，其前n项和为Pn，则Pn12222n2n，2Pn122223n2n1，所以Pn222232nn2n122n1n2n1，所以Pn2n12，10分所以Tn3Pn432n1642n12n22n6.12分19.(本小题满分12分)解：(1)由正弦定理，得(ab)(ab)(cb)c，即a2b2c2bc，2分故，由余弦定理，得cos A，所以A120.4分(2)由平面四边形内角和为360，可知ABCBEC90.5分在ABC中，由正弦定理，得，即.6分在BEC中，由正弦定理，得，即，7分所以sinABCsin.8分又sinABCsinsinA
14、BCcosABCsin，所以sin，故2ABC30，即ABC15，所以ACB45.10分sin 15sin.由正弦定理，得，所以c，b，11分所以SABCcbsin Asin 1201.12分20.(本小题满分12分)(1)证明：由ABBCCDDA2，得ADBC，1分设F，H分别为棱BC和棱PD的中点，连接PF，DF，HF，EH，如图，所以EH綊AD，故EH綊BF，故BE綊FH.2分因为EBBC，所以FHBC.3分因为PCPB，所以PFBC.又PF平面PDF，HF平面PDF，PFHFF，所以BC平面PDF，又PD平面PDF，所以BCPD.4分(2)解：由(1)知BC平面PDF，所以BCDF.又
15、DC2，CF1，故DF.因为BE，且BE綊FH，所以FH.因为PBPCBC2，F为BC的中点，所以PF，故PD，PDF为等边三角形由BC平面PDF，BC平面ABCD，得平面PDF平面ABCD.以F为坐标原点，分别以直线FD，FB为x，y轴，以过点F且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.6分所以F，D，C，P.7分设m(x1，y1，z1)为平面PBC的法向量，则有即可取m(，0，1)，8分设n(x2，y2，z2)为平面PDC的法向量，则有即可取n(，3，1)，10分所以|cosm，n|，所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为.12分21.(本小题满分12分)(
16、1)解：f(x)的定义域为R，f (x)eax，1分当a0时，f (x)0时，在区间上，f (x)0，在区间上，f (x)0，所以函数f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减；3分当a0时，在区间上，f (x)0，所以函数f (x)在区间上单调递减，在区间上单调递增.4分(2)证明：f(x)xeaxeaxln x，5分要证ln xax1，即证ln xax1.6分设gx1ex，则g1ex，7分在区间上，g (x)0，所以函数g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，9分所以gg0，10分故10，当ln xax0时等号成立，所以ln xax1成立，故ln xax1.12分22.(本小题满分12分)解：(1)设E，则EAr，所以EA2x2，2分即y2x236，化简得y212x.3分(2)设P，直线PM为yy0k1，直线PN为yy0k2，则y12x0，M，N，4分故x0x0.5分又直线PM和直线PN与圆(x1)2y21相切，所以1，故k1，k2是方程1的两个根，6分即k1，k2是方程k22y0ky10的两个根，所以k1k2，k1k2.8分则PMN的面积SPMNx0x0x0x0.9分设f，x2，则f (x).10分所以当x(2，5)时，f (x)0，函数f单调递增.11分所以当x05时，SPMN取得最小值，最小值为.12分
