1、平面向量概念解斜三角形平面向量的运算实数与向量的积向量共线的充要条件：平面向量的基本定理有且只有一个非零实数,使b=a 特殊点的坐标中点坐标公式三角形重点坐标公式x=y=221xx 1233yyy(端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(顶点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2),(x3,y3)x=1233xxx122yyy=解斜三角形的应用举例正、余弦定理正弦定理余弦定理2sinsinsinabcRABC(R是ABC的外接圆半径)；a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B；c2=a2+b2-2abcos C;三、三角函数与平面向量高频考点整合A 基础回扣
2、训练 1若角 的始边为 x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点 P(4a，3a)为其终边上一点，则 cos 的值为()A.45B.35 C35 D45解析 本题考查三角函数的意义，以及分类讨论的基本思想注意 r(4a)2(3a)25|a|，cos xr 4a5|a|45，选 D.D 2已知下列命题：若 kR，且 kb0，则 k0 或 b0；若 ab0，则 a0 或 b0；若不平行的两个非零向量 a，b 满足|a|b|，则(ab)(ab)0；若 a 与 b 平行，则 ab|a|b|.其中真命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析 是对的；可得 ab；(ab)(ab)a2b2|a|2|b|20，正
3、确，两向量平行时，夹角为 0或 180，ab|a|b|cos|a|b|.故选 C.C 3若 sin2213，则 cos 2 等于()A79B.79 C13D.13解析 cos 12sin22121313，cos 22cos212(13)2179.A 4O 是ABC 所在平面内一点，且满足|OB OC|OB OC 2OA|，则ABC 的形状为()A等腰直角三角形B直角三角形C斜三角形D等边三角形解析 由已知得|CB|ABAC|即|CB|2|AB|2|AC|22|AB|AC|cos A由余弦定理得：CB2AB2AC22ABACcos A，2|AB|AC|cos A2ABACcos A，cos A0
4、.故 A2，选 B.B 名师点睛 本题考查向量的线性运算及余弦定理的应用5为了得到函数 ysin(2x6)的图象，可以将函数 ycos 2x的图象()A向右平移6个单位长度B向右平移3个单位长度C向左平移6个单位长度D向左平移3个单位长度解析 ysin(2x6)cos2(2x6)cos(23 2x)cos(2x23)cos 2(x3)，将函数 ycos 2x 的图象向右平移3个单位长度B 6已知ABC 的面积为 3，且满足 0AB AC 6，则函数 f(A)sin Asin(A2)的最大值为()A1 B.2 C.32 D0解析 SABC3，且 0ABAC6，12|AC|AB|sin A3,0|
5、AB|AC|cos A6，从而 tan A1，A4，2，f(A)2sin(A4)，f(A)max1.A 7如图，O 点在ABC 内部，D、E 分别是 AC，BC 边的中点，且有OA 2OB 3OC 0，则AEC 的面积与AOC 的面积的比为()A2 B3 C.32 D.53解析 因为 D，E 分别是 AC，BC 边的中点，则 OA OC 2OD，2(OB OC)4OE由得，OA 2OB 3OC 2(OD 2OE)0，即OD 与OE 共线，且|OD|2|OE|，由此可得AEC 与AOC 在边 AC 上高的比为 32，SAECSAOC32.故选 C.答案 C8函数 f(x)sin(x)(0，|2)
6、的最小正周期为，且其图象向左平移6个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f(x)的图象()A关于点(12，0)对称B关于直线 x512对称C关于点(512，0)对称D关于直线 x 12对称解析 由 f(x)sin(x)得 T2，2，平移后的函数 g(x)sin2(x6)sin(2x3)，g(x)是奇函数，3k，kZ，|2，3.f(x)sin(2x3)，令 2x3k2，kZ，则 xk2 512，kZ.当 k0 时，x512，所以 f(x)关于 x512对称答案 B9锐角三角形 ABC 中，若 A2B，则下列叙述正确的是()sin 3Bsin C；tan 3B2 tan C21；6B4；ab 2，3
7、ABCD解析 2B2B4，AB2BB3B26B4，sin(AB)sin Csin 3Bsin C，tanAB2tanC2 sinC2cosC2cos C2sin C2tan3B2 tanC21，absin Asin Bsin 2Bsin B 2cos B(2，3)B 10已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OP OA(AB AC)，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的_心解析 由原等式得：OP OA(ABAC)，即AP(ABAC)，由平行四边形法则知：ABAC是ABC 的中线所在向量的 2倍，所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心重11给出下
8、列命题：向量 a、b 满足|a|b|ab|，则 a 与 ab 的夹角为 30；ab0 是 a、b 的夹角为锐角的充要条件；若 abac，则 bc；在ABC 中，若(AB AC)(AB AC)0，则ABC 为等腰三角形；以上命题正确的是_(注：把你认为正确的命题序号都填上)解析 中取特值零向量时结论错误；中 a、b 夹角为 0时结论错误；中 a 为零向量时，结论错误12已知向量 m(cos x，sin x)，n(cos x，sin x2 3cos x)，xR，令 f(x)mn.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)当 x0，4时，求函数 f(x)的值域解(1)f(x)mncos2xsin
9、x(sin x2 3cos x)cos 2x3sin 2x2sin(2x6)函数 ysin x 的单调增区间为2k2，2k2，kZ，2k22x62k2.k3xk6，kZ.函数 f(x)的单调递增区间为k3，k6，kZ.(2)当 x0，4时，62x623，12sin(2x6)2，函数 f(x)的值域为1,2名师警示易错点 1 用错三角函数的定义如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角 的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，则 sin y，cos x，tan yx，但如果不是在单位圆中，设角 的终边经过点 P(x，y)，|OP|r，则 sin yr，cos xr，tan yx.在这个定义中最容易
10、弄错的就是正弦和余弦的定义，在解决与三角函数定义有关的试题时，一定要注意其准确性，不要把 x，y 的位置颠倒易错点 2 忽视函数定义域的限制与变化而致错三角函数的定义域问题是三角函数的基本性质之一，几乎涉及所有的函数问题，为高考最基本的命题点此类问题可难可易，主要考查考生对三角函数基础知识的理解、掌握和运用能力定义域问题也是解题过程中最容易出错和忽视的，在平时的备考中要特别注意易错点 3 三角函数奇偶性判断致误研究函数的奇偶性首先要考虑函数的定义域，在定义域满足奇偶函数要求的前提下再按照奇偶函数的定义进行判断在判断形如 yAsin(x)(或 yAcos(x)的奇偶性时，注意根据 的取值看能否化
11、为 yAsin x(或 yAcos x)的形式，再根据定义进行判定易错点 4 三角函数的单调性判断致误正弦函数 ysin x 在区间22k，22k(kZ)上单调递增，在区间22k，32 2k(kZ)上单调递减，余弦函数 ycos x 在区间2k，2k(kZ)上单调递增，在区间2k，2k(kZ)上单调递减；正切函数 ytan x 在区间(2k，2k)(kZ)上单调递增对于函数 yA sin(x)的单调性，当 0 时，由于内层函数 ux 是单调递增的，所以整个函数的单调性和 ysin x 的单调性相同，故可完全按照函数 ysin x 的单调区间解决，但当 0 时，内层函数 ux是单调递减的，此时整
12、个函数的单调性和函数 ysin x 的单调性相反，就不能再按照函数 ysin x 的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性提取1，将内层函数的系数变为正数后再加以解决对于带有绝对值的三角函数应该根据图象，从直观上进行判断易错点 5 图象变换方向把握不准致误函数 yAsin(x)(其中 A0，0，xR)的图象可看做由下面的方法得到：(1)把正弦曲线上的所有点向左(当 0 时)或向右(当 0 时)平行移动|个单位长度；(2)再把所得各点横坐标缩短(当 1 时)或伸长(当 01 时)到原来的1倍(纵坐标不变)；(3)再把所得各点的纵坐标伸长(当 A1 时)或缩短(当0A1 时)到原来的 A 倍(横坐
13、标不变)即先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移|个单位另外注意根据 的符号判定平移的方向易错点 6 忽视零向量性质致误零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为 0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线它在向量中的位置正如实数中 0 的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视易错点 7 向量加减法的几何意义不明致误根据向量减法的三角形法则，两个向量相减，所得向量是减向量的终点指向被减向量的终点所得的向量，也就是说对于平面上任意一点 O，都有MN ON OM，这个结论由于点 O 的任意性，又可以写成MN
14、 AN AM BN BM，它为考生解决问题带来了很大的便捷易错点 8 忽视平面向量基本定理的使用条件致误如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1、2，使 a1e12e2，特别地，当 a0 时，120.在平面向量的知识体系里，平面向量基本定理是基石，平面向量定理是重要工具，在复习这部分时要充分注意这两个定理在解决问题中的作用，在使用平面向量基本定理时要注意其使用条件是两个基向量不共线易错点 9 向量的坐标运算不准致误已知向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a(x1，y1)，ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，
15、abx1x2y1y2，cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22，a 在 b 上的投影|a|cosa，bab|b|x1x2y1y2x22y22，在坐标形式下，abx1x2y1y20，abx1y2x2y10，要特别注意平行的充要条件，很容易用错在解答与向量的坐标运算有关的试题时要注意核查运算过程，时时刻刻注意运算的准确性，防止出现运算上细微疏忽导致整个题目结果出现错误的严重后果易错点 10 向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当已知两个向量所成的角为锐角时，要注意角等于零的情况，再如当 ab0 时，a 与 b 的夹角不一定为钝角，要注意 的情况返回
