1、第四章三角函数、解三角形第二讲三角恒等变换练好题考点自测 1.下列说法错误的是()A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的B.存在实数,使等式sin(+)=sin +sin 成立C.公式tan(+)=tan+tan1-tantan可以变形为tan +tan =tan(+)(1-tan tan ),且对任意角,都成立D.存在实数,使tan 2=2tan 2.2020全国卷,9,5分已知2tan -tan(+4)=7,则tan =()A.-2B.-1C.1D.23.2021大同市调研测试已知tan2=3,则sin1-cos=()A.3B.13C.-3D.-134.2019全国卷,11,5分文
2、已知(0,2),2sin 2=cos 2+1,则sin =()A.15B.55C.33D.2555.2020全国卷,13,5分文若sin x=-23,则cos 2x=.6.tan 67.5-tan 22.5=.7.2019江苏,13,5分已知tantan(+4)=-23,则sin(2+4)的值是.拓展变式1.2020全国卷,5,5分文已知sin +sin(+3)=1,则sin(+6)=()A.12B.33C.23D.222.1+cos202sin20-sin 10(1tan5-tan 5)=.3.已知(0,),化简:(1+sin+cos)(cos2-sin2)2+2cos=.4.2021陕西省
3、部分学校摸底检测数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m=5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18,则m4-m22cos227-1=()A.4B.5+1C.2D.5-15.2021云南省部分学校统一检测已知为锐角,cos =35,则tan(4+2)=()A.13B.12C.2D.36.(1)已知(0,2),(0,2),tan =cos21-sin2,则()A.+=2B.-=4C.+=4D.+2=2(2)已知,为锐角,且(1-3tan )(1-3tan )=4,则+=.7.已知(0,),sin +cos=3-12,则tan 的值为.答 案
4、第四章三角函数、解三角形第二讲三角恒等变换1.C对于C,只有当,+都不等于k+2(kZ)时,公式才成立,故C错误,选C.2.D由已知得2tan -tan+11-tan=7,解得tan =2.3.B因为tan2=3,所以sin1-cos=2sin2cos21-(1-2sin22)=cos2sin2=1tan2=13,故选B.4.B因为2sin 2=cos 2+1,所以4sin cos =2cos2.因为(0,2),所以cos 0,sin 0,所以2sin =cos ,所以4sin2=cos2.又sin2+cos2=1,所以sin2+4sin2=1,即sin2=15,所以sin =55.故选B.5
5、.19因为sin x=-23,所以由二倍角公式,得cos 2x=1-2sin2x=1-2(-23)2=19.6.2由tan -tan =tan(-)(1+tan tan )得tan 67.5-tan 22.5=tan 45(1+tan 67.5tan 22.5)=tan 45(1+tan 67.51tan67.5)=12=2.7.210tantan+11-tan=tan(1-tan)tan+1=-23,解得tan =2或tan =-13.当tan =2时,sin 2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45,cos 2=cos2-sin2sin2+cos2=1-tan2ta
6、n2+1=-35,此时sin 2+cos 2=15.同理当tan =-13时,sin 2=-35,cos 2=45,此时sin 2+cos 2=15.所以sin(2+4)=22(sin 2+cos 2)=210.1.Bsin +sin(+3)=32sin +32cos =3sin(+6)=1,sin(+6)=33,故选B.2.32原式=2cos21022sin10cos10-sin 10(cos5sin5-sin5cos5)=cos102sin10-sin 10cos25-sin25sin5cos5=cos102sin10-sin 10cos1012sin10=cos102sin10-2cos
7、 10=cos10-2sin202sin10=cos10-2sin(30-10)2sin10=cos10-2(12cos10-32sin10)2sin10=3sin102sin10=32.3.cos 原式=(2cos22+2sin2cos2)(cos2-sin2)4cos22.因为(0,),所以cos20,所以原式=(2cos22+2sin2cos2)(cos2-sin2)2cos2=(cos2+sin2)(cos2-sin2)=cos22-sin22=cos .4.Cm=5-12=2sin 18,m4-m22cos227-1=2sin184-4sin218cos54=2sin182cos18
8、cos54=2sin36cos54=2,故选C.5.D解法一因为为锐角,且cos =35,所以sin =45,tan 2=sin1+cos=12.tan(4+2)=tan4+tan21-tan4tan2=1+121-12=3.故选D.解法二因为为锐角,且cos =35,所以sin =45,所以tan =2tan21-tan22=43,解得tan2=12或tan2=-2(舍去) ,所以tan(4+2)=tan4+tan21-tan4tan2=1+121-12=3.故选D. 6.(1)B解法一已知等式可化为sincos=cos21-sin2,即sin (1-sin 2)=cos cos 2,整理得
9、cos cos 2+sin sin 2=sin ,即cos(-2)=sin .因为(0,2),(0,2),所以-2(-,2).又cos(-2)=sin 0,所以-2(-2,2).又cos(-2)=sin(-2)+2,且-2+2(0,),(0,2),所以-2+2=或-2+2=-.当-2+2=时,=4,此时1-sin 2=0,已知等式无意义,不符合题意,舍去;当-2+2=-时,-=4.故选B.解法二tan =cos21-sin2=cos2-sin2cos2+sin2-2sincos= (cos+sin)(cos-sin)(cos-sin)2=cos+sincos-sin=1+tan1-tan=ta
10、n(4+).因为(0,2),(0,2),所以=4+,即-=4.故选B.(2)23将(1-3tan )(1-3tan )=4展开,得-3(tan +tan )=3(1-tan tan ),即tan+tan1-tantan=tan(+)=-3,由于,为锐角,所以0+,故+=23.7.-3解法一将sin +cos=3-12两边同时平方,得1+2sin cos=1-32,即sin cos=-34,易知2.故sin cos=sincossin2+cos2=tantan2+1=-34,解得tan =-3或tan =-33.(0,),sin cos=-340可知sin -cos ,即|sin |cos |,故(2,34),(题中隐含条件挖掘)则tan -1,tan =-3.解法二由sin +cos=3-12,得sin cos=-340,cos 0.又(sin -cos )2=1-2sin cos=1+32=(3+1)24,sin -cos =3+12.联立,解得sin=32,cos=-12,tan =-3.【易错警示】本题易错的地方是忽略对隐含条件“|sin |cos |”的挖掘,从而得到错误答案:tan =-3或tan =-33.