1、二、函数与导数 高频考点整合 定义域、对应关系、值域f(x)0 f(x)0 极大值极小值基础回扣训练 1已知函数 f(x)12x(x1)0 的定义域为 M，g(x)ln(2x)的定义域为 N，则 MN 等于()Ax|x2 Bx|x2Cx|2x2 D以上都不对解析 由函数 f(x)12x(x1)0 有意义可知，2x0 且x10，Mx|x2，且 x1；同理 Nx|x2MNx|2x2 且 x1故选 D.D 2函数 f(x)lg x1x的零点所在区间是()A(0,1 B(1,10)C10,100)D(100，)解析 由 f(x)lg x1x，得 f(1)10，f(10)lg 10 1100，f(100
2、)10 11000，零点在区间(1,10)内B 3曲线 y在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.92e2B4e2 C2e2De2解析 f(x)12，曲线在点(4，e2)处的切线的斜率为kf(4)12e2，切线方程为 ye212e2(x4)，即12e2xye20，切线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为 A(2,0)、B(0，e2)，则切线与坐标轴围成的三角形 OAB 的面积为122e2e2.D x21ex21e4定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期若将方程 f(x)0 在闭区间T，T上的根的个数记为 n，则 n 可能为()A0 B1
3、C3 D5解析 由于 f(x)是 R 上的奇函数，则 f(0)0.又 f(x)是以 T 为周期的周期函数，则 f(T)f(0)f(T)0.又 f(T2)f(T2T)f(T2)，所以 f(T2)f(T2)0，故 n 的值可能为 5.D 5幂函数 yx，当 取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)设点 A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 yx，yx 的图象三等分，即为 BMMNNA，那么 等于()A1 B2 C3 D无法确定解析 方法一 由条件，得 N(23，13)，M(13，23)，由一般性，可得13(23)，23(13)，即 13，
4、23.所以 1323 lg 13lg 23lg 23lg 131.方法二 由方法一，得13(23)，23(13)，则(13)(13)(23)13，即 1，故选 A.答案 A32log32log13log13log6已知 a0，且 a1，若函数 f(x)loga(x x2k)是(，)上的奇函数，又是增函数，则函数 g(x)loga|xk|的图象是()解析 f(x)loga(x x2k)是(，)上的奇函数，f(0)loga(0 02k)loga k0，解得 k1.f(x)loga(x x2k)loga(x x21)，且其在(，)上是增函数a1.函数 g(x)loga|xk|loga|x1|的定义域
5、为x|x1，且函数的图象经过原点，排除选项 B、D，又由 a1，排除选项C，本题的答案为 A.答案 A7设函数 f(x)|x|1，x122x，x1，若 f(x)1，则 x_.解析 当 x1 时，由|x|11，得 x2，故可得 x2；当 x1 时，由 22x1，得 x0，不适合题意故 x2.2 8对任意的 a1,1，函数 f(x)x2(a4)x42a 的值总大于 0，则 x 的取值范围是_解析 令 g(a)f(x)(x2)ax24x4，当 a1,1时，g(a)0 恒成立，故只需g(1)0g(1)0，即(x2)x24x40 x2x24x40.解得：x1 或 x3.x1 或 x39如图是函数 f(x
6、)x3bx2cxd 的大致图象，则 x21x22_.解析 由图象可得 f(x)x(x1)(x2)x3x22x，又x1、x2 是 f(x)3x22x20 的两根，x1x223，x1x223，故 x21x22(x1x2)22x1x2(23)2223169.16910给出下列命题：如果函数 f(x)对任意的 x1，x2R，且 x1x2，都有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数 f(x)在 R 上是减函数如果函数 f(x)对任意的 xR，都满足 f(x)f(2x)，那么函数 f(x)是周期函数；函数 yf(x)与函数 yf(x1)2 的图象一定不能重合；对于任意实数 x，有 f(x)f(x)，g
7、(x)g(x)，且 x0 时，f(x)0，g(x)0，则 x0 时，f(x)g(x)其中正确的命题是_(请将所有正确命题的序号都填上)解析 对于，当 x1x2 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)；当 x1x2 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以 f(x)为减函数，故正确；对于，f(x2)f(2x2)f(x)f(x2)，所以 f(x)f(x4)，故正确；对于，y2x 时，两图象重合；对于，x0 时，f(x)0，g(x)0，f(x)g(x)，故正确答案 11若定积分(sin xacos x)dx2，则实数 a_.20解析 (sin xacos x)dx(c
8、os xasin x)a12，a1.2020|1 12已知函数 f(x)ln(exa)(a 为常数)是 R 上的奇函数，函数g(x)f(x)sin x 是区间1,1上的减函数(1)求 a 的值；(2)若 g(x)t2t1 在 x1,1上恒成立，求 t 的取值范围解(1)f(x)ln(exa)是奇函数，ln(exa)ln(exa)，(exa)(exa)1，1aexaexa21，a(exexa)0，故 a0，(2)由(1)知 f(x)x，g(x)xsin x.g(x)在1,1上单调递减，g(x)cos x0 在1,1上恒成立，cos x 在1,1上恒成立，1.g(x)maxg(1)sin 1，由题
9、意知，sin 1t2t1 恒成立，(t1)t2sin 110(其中 1)恒成立，令 h()(t1)t2sin 110(1)，则t10，t1t2sin 110，t1，t2tsin 10，而 t2tsin 10 恒成立，t1.名师警示易错点 1 函数的单调性判断错误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图象”，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间
10、，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断易错点 2 判断函数的奇偶性致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数，在定义域关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断在用定义进行判断时要注意自变量在定义域内的任意性函数按照奇偶性分成四类：偶函数非奇函数、奇函数非偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数易错点 3 函数零点定理使用不当致误如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续的曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函
11、数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也是方程 f(x)0 的根，我们称这个结论为函数的零点定理函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题易错点 4 导数的几何意义不明致误函数在一点处的导数值是函数图象在该点处的切线的斜率但在许多问题中，往往是要解决函数图象外的一点向函数图象上引切线的问题，解决这类问题的基本思想是设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程然后根据题目中给出的其他条件列方程(组)求解因此解题中要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线
12、”易错点 5 导数与极值关系不清致误f(x0)0 只是可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f(x)在 x0 两侧异号因此，可以从以下三个方面理解函数的导数与极值点的关系：(1)f(x)取得极值的充要条件：定义域 D上的可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的充要条件是 f(x0)0，并且 f(x)在 x0 两侧异号，若左负右正则为极小值点，若左正右负则为极大值点；(2)函数 f(x)在点 x0 处取得极值时，它在这点的导数不一定存在例如函数 y|x|，结合图象知它在 x0 处有极小值，但它在 x0 处的导数不存在最后提醒考生一定要注意对极值点进行检验易错点 6 计算定积分忽视细节致误根据微积分基本定理计算定积分的关键是找到一个函数，使这个函数的导数等于被积函数，同时要合理地利用定积分的性质和函数的性质简化计算易错点 7 定积分几何意义不明致误用定积分求曲边形的面积是定积分的主要应用，一般地，由曲线 yf(x)，yg(x)，直线 xa，xb(ab)所围成的曲边形的面积 S|f(x)g(x)|dx，被积函数中的绝对值是不可少的，在具体解题中就是根据两个函数 yf(x)，yg(x)图象位置的高低，用分段的形式将面积表示出来ba返回