1、第二章函数概念与基本初等函数第七讲函数与方程1.2021首都师大附中联考已知函数f(x)=log5(1-x)(x0,若方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是()A.(-,4-23)B.(4-23,4+23)C.(0,4-23D.(0,4-23)3.2020武汉市部分学校质量监测已知函数f(x)=exx-a.若f(x)没有零点,则实数a的取值范围是()A.0,e)B.(0,1)C.(0,e)D.0,1)4.2020江淮十校联考对任意实数x,恒有ex-ax-10成立,关于x的方程(x-a)ln x-x-1=0有两根,为x1,x2(x1x2),则下列结论正确的为()A.x
2、1+x2=2B.x1x2=1C.x1x2=2D.x2=ex15.2020江西红色七校联考若函数f(x)=x-x-alnx在区间(1,+)上存在零点,则实数a的取值范围为()A.(0,12)B.(12,e)C.(0,+)D.(12,+)6.2019陕西西安三模若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x-1,1时,f(x)=|x|,则方程f(x)=log3|x|的根的个数是()A.4B.5C.6D.77.新角度题函数f(x)=x2-2x-1-|x-1|的所有零点之和等于.8. 2021湖北省四地七校联考若函数f(x)=2x-120x2(x0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x
3、2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=.10.2021陕西百校联考已知函数f(x)=|ln x|-2ax恰有三个零点,则实数a的取值范围为.11.2021晋南高中联考已知函数f(x)=|x2+2x|,x0,lnx,x0,则函数g(x)=2f(f(x)-1)-1的零点个数为()A.7B.8C.10D.1112.2021蓉城名校联考已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的xR都满足f(1+x)=f(1-x),当x1时,f(x)=lnx,0x1,ex,x0.若函数g(x)=m|x|-2与f(x)的图象恰有两个交点,则实数m的取值范围是()A.m0或m=eB.0m32C.32me13.2020合肥
4、市调研检测设函数f(x)=ex,x0,1),x-1,x1,+).若函数y=f(x)-k存在两个零点x1,x2(x10且直线y=a(x+3)与曲线y=-x2-2x,x-2,0有两个不同的公共点,所以方程x2+(2+a)x+3a=0在-2,0内有两个不等的实数根,令g(x)=x2+(2+a)x+3a.则实数a满足=(2+a)2-12a0,-2-2+a20,g(0)=3a0,g(-2)=a0,解得0a0,所以实数a的取值范围是(0,4-23),故选D.3.A因为f(x)没有零点,所以关于x的方程f(x)=0,即a=exx无实数解.令g(x)=exx,h(x)=a,则函数y=g(x),y=h(x)的图
5、象无公共点.g(x)=(x-1)exx2,令g(x)=0,则x=1.当x0时,g(x)0,函数g(x)单调递减,且g(x)0;当0x1时,g(x)1时,g(x)0,函数g(x)单调递增.所以函数g(x)有极小值g(1)=e,作出g(x)的图象,如图D 2-7-8所示,结合图象可得0ae,故选A.图D 2-7-84.B对任意实数x,恒有ex-ax-10成立,则可得a=1,将关于x的方程(x-a)ln x-x-1=0转化为ln x=x+1x-1,x1满足ln x1=x1+1x1-1,则有ln1x1=1x1+11x1-1,结合原方程的两根为x1,x2(x11时,令g(x)=2x-x,则g(x)=2-
6、12x0,g(x)在(1,+)上单调递增,g(x)1.当2a1,即a12时,f(x)0,所以函数f(x)在(1,+)上单调递增,又f(1)=0,所以f(x)在(1,+)上无零点;当2a1,即a12时,存在x0(1,+),使得f(x0)=0,所以当1xx0时,f(x)x0时,f(x)0,所以函数f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,又f(1)=0,所以f(x0)0,当x+时,f(x)+,所以函数f(x)在区间(1,+)上存在零点.综上,a的取值范围为(12,+).故选D.解法二当a=10时,f(x)=x-x-10ln x,当x=e时,f(e)0,所以函数f(x)在(1,+)
7、上存在零点,所以A,B不正确;当a=12时,f(x)=x-x-12ln x,f(x)=1-12x-12x,当x1时,f(x)0恒成立,函数f(x)单调递增,又f(1)=0,所以当a=12时,f(x)在(1,+)上无零点,所以C不正确.选D.6.A因为函数f(x)满足f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为2的函数.又当x-1,1时,f(x)=|x|,所以函数f(x)的图象如图D 2-7-9所示.再作出y=log3|x|的大致图象,如图D 2-7-9,易得两函数的图象有4个交点,所以方程f(x)=log3|x|有4个根.故选A.图D 2-7-97.2f(x)=x2-2x-1-|x-1|=
8、|x-1|2-|x-1|-2.令t=|x-1|(t0),g(t)=t2-t-2=(t+1)(t-2).若g(t)=0,则t=2,所以|x-1|=2,所以x=3或x=-1,故所有零点之和为2.8.-3由题意可知,因为y=2x和y=-120x2在(-,0)上都单调递增,所以函数f(x)在(-,0)上单调递增,又f(x0)=0,f(-2)=2-2-120(-2)2=14-150,f(-3)=2-3-120(-3)2=18-9200).不妨设x1x2x30),得2a=|lnx|x,所以函数f(x)=|ln x|-2ax恰有三个零点等价于y=2a与函数g(x)=|lnx|x的图象有三个交点.当0x1时,
9、g(x)=-lnxx,g(x)=lnx-1x20,得1xe,由g(x)e,所以函数g(x)在1,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,所以x=e为函数g(x)的极大值点,且g(1)=0,g(e)=1e,当x+时,g(x)0.在同一平面直角坐标系中作出y=2a与函数y=g(x)的图象,如图D 2-7-11所示,由图可知,当y=2a与函数y=g(x)的图象存在三个交点时,02a0时,函数g(x)=m|x|-2的图象是过定点(0,-2)且“开口向上”的折线,只有当直线y=mx-2与y=ln x在(0,1上的图象相切时,函数f(x)与g(x)=m|x|-2的图象恰有两个交点,此时设切点为(a,lna
10、),根据yx=a=(ln x)x=a=1xx=a=1a,有lna+2a-0=1aln a=-1a=1e,所以m=e.当m0时,函数g(x)=m|x|-2的图象是过定点(0,-2) “开口向下”的折线,则恒与函数f(x)的图象有两个交点.当m=0时,函数g(x)=m|x|-2=-2,则其图象恒与函数f(x)的图象有两个交点.综上,若函数g(x)与f(x)的图象恰有两个交点,则m0或m=e,故选A.图D 2-7-1313.A因为函数y=f(x)-k存在两个零点,所以方程f(x)-k=0即方程f(x)=k存在两个不相等的实根,所以函数y=f(x)的图象与直线y=k存在两个交点.画出函数y=f(x)的
11、图象与直线y=k,如图D 2-7-14所示,由图易知1ke.因为ex1=x2-1=k,所以x1=ln k,x2=k+1.令g(k)=(x2-x1)f(x1),则g(k)=(k+1-ln k)k=k2+k-kln k,所以g(k)=2k+1-ln k-1=2k-ln k,当1kln k,则g(k)0,所以函数g(k)在1,e)上单调递增,所以当1ke时,g(1)g(k)g(e),即2g(k)0且x1),令f(x)=0,得x=e,所以当x(0,1)(1,e)时,f(x)0.所以函数f(x)在(0,1),(1,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增,所以当x=e时,f(x)有极小值,且极小值为e,则
12、函数f(x)的大致图象如图D 2-7-15所示.由方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0得f(x)=-a或f(x)=-a+3,若方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三个不等实根,则有-ae或-a=e,-a+3e,解得0a3-e或a=-e.故选B.图D 2-7-1515.2解法一由题意得,x-1xx.令f(x)=0得,x=x2-1,所以x-1x2-1x,解得1-52x0或10,所以|x2+3x|=|ax-a|有3个互不相等的实根,即方程x2+3x=ax-a与x2+3x=a-ax共有3个互不相等的实根,即方程x2+(3-a)x+a=0与x2+(3+a)x-a=0共有3个互不相等的实根.注意到当a0时,方程x2+(3+a)x-a=0的判别式大于0,所以方程x2+(3+a)x-a=0必有2个不相等的实根.假设方程x2+3x=ax-a与x2+3x=a-ax有相同的根,可得相同的根为x=1,但当x=1时,x2+3x=ax-a与x2+3x=a-ax均不成立,所以方程x2+3x=ax-a与x2+3x=a-ax没有相同的根,所以方程x2+(3-a)x+a=0有2个相等的实根,故其判别式=(3-a)2-4a=0(a0),解得a=1或a=9.所以实数a的取值集合是1,9.