1、第三章 导数及其应用 3.1 导 数 3.1.3 导数的几何意义 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.理解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数(重点)3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程(重点、难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知导数的几何意义(1)切线的定义：当 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于极限位置，这个极限位置的直线 PT 称为曲线在的切线(2)导数 f(x0)的几何意义：函数 f(x)在 xx0 处的导数就是切线的斜率 k，即 k (3)切线方程：曲线 y
2、f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为limx0fx0 xfx0 xf(x0)点P处yf(x0)f(x0)(xx0)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考 1：是否任何曲线的割线均有斜率？提示 不是，当曲线的割线垂直于 x 轴时，此割线的斜率不存在思考 2：当点 Pn 无限趋近于点 P 时，割线 PPn 的斜率 kn 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系？提示 kn 无限趋近于切线 PT 的斜率 k.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个交
3、点()(3)设 f(x0)0，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与 x 轴平行或重合()提示(1)(f(x0)0，而 f(x0)可以为任意实数(2)(3)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2函数 y1x在12，2 处的切线方程是()Ay4x By4x4Cy4x4 Dy2x4B 先求 y1x的导数：y1xx1xxxxx，yx1xxx，limx0yxlimx01xxx1x2，即 y1x2，所以 y1x在点12，2 处的切线斜率为ky|x124.所以切线方程是 y24x12，即 y4x4.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3若函数 f
4、(x)在 x0 处的导数 f(x0)3，则函数 f(x)在 x0 处的切线的倾斜角为_.【导学号：73122211】60 设倾斜角为，则 tan f(x0)3，所以 60.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难求切点坐标 已知抛物线 y2x21，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为 45？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4xy20?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线 x8y30?课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0 x)212x2014x0 x2(x)2.yx4x02x.
5、limx0yx4x0，即 f(x0)4x0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)抛物线的切线的倾斜角为 45，斜率为 tan 451，即 f(x0)4x01，得 x014，该点为14，98.(2)抛物线的切线平行于直线 4xy20，斜率为 4，即 f(x0)4x04，得 x01，该点为(1,3)(3)抛物线的切线与直线 x8y30 垂直，斜率为 8，即 f(x0)4x08，得 x02，该点为(2,9)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0).(2)求导函数 f(x).(3)求切
6、线的斜率 f(x0).(4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0.(5)点(x0，y0)在曲线 f(x)上，将 x0 代入求 y0，得切点坐标.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1若曲线 yx22ax 与直线 y2x4 相切，求 a 的值并求切点坐标.【导学号：73122212】解 设切点坐标为(x0，y0)f(x0 x)f(x0)(x0 x)22a(x0 x)x202ax02x0 x(x)22ax，yxfx0 xfx0 x2x02ax，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页limx0yx2x02a，f(x0)2x02a，
7、2x02a2.又 y02x04，y0 x202ax0，联立消去 a，y0 得 x02，当 x02 时 a1，切点坐标为(2,0)；当 x02 时 a3，切点坐标为(2，8).课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页求切线方程探究问题1曲线的割线与切线有什么关系？提示(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线(2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2曲线在某点处切线与在该点处的导数有什么关系？提示(1)函数
8、f(x)在 x0 处有导数，则在该点处函数 f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率(2)函数 f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0)处有切线，但函数 f(x)在该点处不一定可导，如 f(x)3 x在 x0 处有切线，但不可导课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 已知曲线 C：yf(x)x3.求曲线 C 上在点(1，f(1)处的切线方程.【导学号：73122213】思路探究 求fx 求f1，f1 写出切线方程解 y(1x)31(x)33(x)23(x)，f(1)limx0yxlimx0(x)23(x)33.又 f(1)1，曲线 C 上在点(1，f(1)处的切
9、线方程为 y13(x1)，即 3xy20.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(变换条件)本典例曲线方程不变，试求过点 P(1,1)与曲线 C相切的直线方程解 设切点为 P(x0，x30)，切线斜率为 kf(x0)limx0yxlimx0 x0 x3x30 xlimx03xx203x2x0 x3x课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页limx03x203xx0(x)23x20，故切线方程为 yx303x20(xx0)又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1x303x20(1x0)，有(1x0)(1x0 x20)3x20(1x0)0
10、，所以(x01)2(2x01)0，解得 x01 或 x012.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页故所求的切线方程为y13(x1)或 y1834x12，即 3xy20 或 3x4y10.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2(改变问法)本典例中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？解 由3xy20，yx3得 x33x20，即(x1)2(x2)0.解得 x11，x22，从而求得公共点 P(1,1)，Q(2，8)即切线与曲线 C 除了切点外，还有其他的公共点课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法(1)求曲线在某点处的切
11、线方程的三个步骤课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)求曲线 yf(x)过点 P(x0，f(x0)的切线方程：设切点为(m，f(m)；求函数 yf(x)在点 m 处的导数 f(m)；根据直线的点斜式方程，写出切线方程为 yf(m)f(m)(xm)；代入 P(x0，f(x0)求出 m 的值，回代即可求出切线方程提醒：求曲线 yf(x)过点 P(x0，y0)的切线方程时，点 P(x0，y0)不一定是切点.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页导数几何意义的应用 如图 3-1-5 所示表示物体运动的位移随时间变化的函数 f(t)4t2t2 的图象，试
12、根据图象，描述、比较曲线 f(t)在 t0，t1，t2 附近的变化情况，并求出 t2 时的切线方程图 3-1-5课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 本题考查导数几何意义的应用，明确导数的几何意义是解题的关键f(x0)表示曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率，要比较 f(t)在t0，t1，t2 附近的变化情况，即比较切线的倾斜程度解 用曲线 f(t)在 t0，t1，t2 处的切线刻画曲线 f(t)在 t0，t1，t2 附近的变化情况(1)当 tt0 时，曲线 f(t)在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴，所以在 tt0 附近曲线比较平坦，几乎
13、没有升降；(2)当 tt1 时，曲线 f(t)在 t1 处的切线 l1 的斜率 f(t1)0，所以在 tt1 附近曲线下降，即函数 f(t)在 tt1 附近单调递减；课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)当 tt2 时，曲线 f(t)在 t2 处的切线 l2 的斜率 f(t2)”连接)图 3-1-7课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)B(2)k1k3k2(1)由函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象自左到右先增后减，可知函数 yf(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小(2)由导数的几何意义，可得 k1k2.k3f2f121表示割
14、线 AB 的斜率，k1k3k2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1已知曲线 yf(x)2x2 上一点 A(2,8)，则曲线在点 A 处的切线斜率为()A4 B16 C8 D2C f(2)limx022x28x8.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2若曲线 yx2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则()【导学号：73122214】Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1A f(0)limx0 x2axbbxlimx0(xa)a1.又(0，b)在 xy10 上，所以 b1.故选 A.课时分层作业
15、当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3如图 3-1-8 所示的是 yf(x)的图象，则 f(xA)与 f(xB)的大小关系是()图 3-1-8课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定B 分别过 A，B 两点曲线的切线，由切线的斜率知 kBkA，f(xB)f(xA)故选 B.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4已知函数 yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 yx2，则 f(1)f(1)_.4 f(1)123，f(1)k1，f(1)f(1)4.课时分层作
16、业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5已知曲线 y13x3 上一点 P2，83，求曲线在点 P 处的切线方程.【导学号：73122215】解 记 yf(x)，因为点 P2，83 在曲线 y13x3 上，所以曲线在点 P 处的切线的斜率即为 f(2)，而 f(2)limx0132x31323x13limx0322x32x2x3x课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页13limx032232x(x)2224，故曲线 y13x3 在点 P 处的切线方程为 y834(x2)，即 12x3y160.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十六）点击上面图标进入 谢谢观看
