1、宁夏六盘山市高级中学2020-2021学年高一数学上学期第二次月考试题（含解析）时间：120分钟满分：150分一选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列各组几何体中是多面体的一组是（ ）A. 三棱柱四棱台球圆锥B. 三棱柱四棱台正方体圆台C. 圆锥圆台球半球D. 三棱柱四棱台正方体六棱锥【答案】D【解析】【分析】利用多面体的几何特征判断.【详解】由多面体的几何特征得：三棱柱四棱台正方体六棱锥是多面体，故选：D2. 下列说法正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B. 一个直角三角形绕其一边旋转一周所形
2、成的封闭图形叫圆锥C. 棱锥的所有侧面都是三角形D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】C【解析】【分析】根据棱柱、圆锥、棱锥和棱台的概念分别判断命题，可得答案【详解】如图，两个三棱柱合在一起，仍然满足有两个面平行，其余各面都是四边形，但它不是棱柱，A错；一个直角三角形绕其一个直角边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，B错；根据棱锥的定义，C正确；用一个与底面平行的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才叫棱台，不是任意平面都能截出棱台的，D错；故选：C【点睛】方法点睛：本题考查柱锥台的结构特征，归纳如下：1.棱柱的特征：有两个面互相平行；其余各面都是平行四
3、边形；每相邻两个四边形的公共边互相平行；2.棱锥的特征：有一个面是多边形；其余各面都是有一个公共点的三角形；3.棱台的特征：两底面互相平行；侧棱延长线相交于一点；4.圆柱的特征：由矩形绕直角边旋转一周形成；5.圆锥的特征：由直角三角形绕一条直角边旋转一周形成；6.圆台的特征：由直角梯形绕其直角边旋转一周形成；7.球的特征：由半圆绕其直径旋转一周形成3. 如图所示的组合体，其结构特征是（ ）A. 由两个圆锥组合成的B. 由两个圆柱组合成的C. 由一个棱锥和一个棱柱组合成的D. 由一个圆锥和一个圆柱组合成的【答案】D【解析】【分析】根据圆柱与圆锥结构特征，即可判定，得到答案.【详解】根据空间几何体
4、的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4. 如下图，下列几何体的俯视图是下面所示图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由圆台的几何特征，即可得出结果.【详解】由题意易知，圆台的俯视图为两个同心圆.故选：A5. 下列是关于斜二测直观图的命题：三角形的直观图还是三角形；平行四边形的直观图还是平行四边形；菱形的直观图还是菱形正方形的直观图还是正方形.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B
5、【解析】【分析】根据斜二侧直观图的画法法则，直接判断的正确性，即可推出结论【详解】解：由斜二侧直观图的画法法则可知：三角形的直观图还是三角形，正确；根据平行性不变，平行四边形的直观图还是平行四边形，正确；因为平行于y轴的线段长减半，行于x轴的线段长不变，菱形的直观图不是菱形，不正确；正方形的直观图应该是平行四边形，不正确.故选：B.【点睛】本题考查斜二侧画直观图的画法，是基础题6. 若直线平面，直线，则（ ）A. B. 与异面C. 与相交D. 与没有公共点【答案】D【解析】【分析】若直线平面，直线，则或与异面，然后可分析出答案.【详解】若直线平面，直线，则或与异面，故与没有公共点故选：D【点睛
6、】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，较简单.7. 已知圆锥的母线长为5，底面周长为，则它的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由底面周长为，求得半径，再由母线长为5，求得高，代入锥体体积公式求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，因为底面周长为，所以，解得，又因为母线长为5，所以h=4，所以圆锥的体积是故选：B8. 设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，也可能相交；D中，也可能在平面内.【考点定位】点线面的位置
7、关系9. 已知某几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸(单位：)，可得这个几何体的体积是（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体为四棱锥，由三视图中的数据可求出该几何体中各元素的长度，由四棱锥的体积公式可求出体积.【详解】解：根据三视图可知，该几何体为四棱锥.其中，底面是以2为边长的正方形，且四棱锥的高为1，所以四棱锥的体积为：.故选：B.10. 三棱锥的三条侧棱，两两垂直，且 ，则该三棱锥的外接球的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：三棱锥PABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
8、求出长方体的对角线的长：=以球的直径是，半径为，球的体积：=故选：A点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解二解答题：本题共5道题，每题10分，共50分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.11. 已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥如图所示，求它的体积.【答案】【解析】
9、【分析】连接AC，BD交于点O，连接SO，根据四棱锥的棱长均为4，得到SO为四棱锥的高，再利用锥体体积公式求解.【详解】如图所示：连接AC，BD交于点O，连接SO，因为四棱锥的棱长均为4，所以平面ABCD，即SO为四棱锥的高，所以,所以，所以.12. 已知圆台的上、下底面半径分别是2 ,5 , 且侧面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.【答案】【解析】【分析】【详解】设圆台的母线长为,则圆台的上底面面积为,圆台的下底面面积为,所以圆台的底面面积为,又圆台的侧面积,于是,即为所求. 主要考查圆台上下底面，侧面面积公式的计算.13. 如图，在五面体中，四边形是矩形，求证：.【答案】证明见解析【
10、解析】【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到，再利用线面平行的判定定理证得平面CDEF，然后利用线面平行的性质定理证明.【详解】因为四边形ABCD是矩形，所以.因为平面CDEF，平面CDEF，所以平面CDEF.因为平面ABFE，平面平面，所以.14. 如图，在长方体中，且E，F分别是棱，的中点求直线与所成角的余弦值.【答案】【解析】【分析】取的中点G，连接，FG，EG，易知，得到是异面直线与所成的角，再根据，在中求解.【详解】如图所示：取的中点G，连接，FG，EG，在长方体中，因为F，G为中点，所以，所以是平行四边形，所以，所以是异面直线与所成的角，因为，所以，所以15. 如图，在四棱锥中，四
11、边形为平行四边形，为正三角形，平面平面ABCD，E为PC的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交BD于O，连接OE，在中，由中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明. （2）根据为正三角形，E为PC的中点，得到，再由平面平面ABCD，利用面面垂直的性质定理得到平面PCD，进而得到，再利用线面垂直的判定定理证明.【详解】（1）如图：连接AC交BD于O，连接OE，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为AC的中点.在中，因为E为PC的中点，所以.又因为平面EBD，平面EBD，所以平面EBD.（2）因为为正三角形，E为P
12、C的中点，所以.又因为平面平面ABCD，平面平面，且，平面ABCD，所以平面PCD.因为平面PCD，所以，又，所以平面EBD.【点睛】方法点睛：证明直线和平面垂直的常用方法：线面垂直的定义；判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质三填空题：本题共5小题，每题5分，共25分.16. 如果三个球的表面积之比是，那么它们的体积之比是_【答案】【解析】三个球的表面积之比是，三个球的半径之比是，三个球的体积之比是17. 已知圆柱底面圆的半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为_.【答案】【解析】【分析】圆柱的侧面打开是一个矩形，长为底面的周长，宽为圆柱的高，即，带
13、入数据即可【详解】因为圆柱的底面圆的半径为2，所以圆柱的底面圆的周长为，则该圆柱的侧面积为.【点睛】此题考察圆柱侧面积公式，属于基础题目18. 正方体的内切球与外接球的半径之比为_【答案】【解析】【分析】【详解】试题分析：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出半径之比正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设正方体的棱长为2a，所以内切球的半径为a；外接球的直径为2a，半径为a，所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：3，故填写点评：本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的半径之比，正方体
14、的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，是解决本题的关键19. 某几何体的三视图如下图所示，俯视图是边长为4的正三角形，则此几何体的表面积为_.【答案】【解析】【分析】由三视图还原原几何体，确定几何体结构，然后计算表面积【详解】由三视图，原几何体是一个正三棱柱，高为2，底面边长为4，表面积为故答案为：20. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM与平行，CN与BE是异面直线.CN与BM成角.DM与BN垂直，以上四个命题中，正确命题的个数是_个.【答案】2【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答
15、案【详解】解：把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，与异面且垂直，故错误；与平行，故错误；连接，则，为与所成角，连接，可知为正三角形，则，故正确；在平面上的投影为，根据三垂线定理得与垂直，故正确正确命题的个数是2个故答案：四解答题：21题12分，22题13分，共25分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.21. 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，是的中点，底面，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证平面，即可由线面垂直求得面面垂直；（2）根据二面角定义，容易知即为所求，结合已知条件，即可容易求得.【详解】（
16、1）证明：如图所示，连接，由是菱形且知，是等边三角形.因为是的中点，所以，又，所以，又因为平面，平面，所以，而，因此平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面，平面，所以.又，所以是二面角的平面角.在中，.故二面角的大小为.【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及由定义法求二面角的大小，属综合基础题.22. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得平面；
17、（2）证明出平面，可得出直线与平面所成角为，计算出，即可得解；（3）计算出的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.【详解】（1）证明：取的中点，连接、，如图.在三棱柱中，且，为的中点，且，、分别为、的中点，且，所以，且，则四边形为平行四边形，又因为平面，平面，所以平面；（2）在三棱柱中，平面，平面，平面，所以为直线与平面所成的角，同理可得，在直角三角形中，；（3）因为，平面，平面平面，所以，点到平面的距离等于，所以三棱锥的体积.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.
