1、4.4.2对数函数的图象和性质知识点一对数函数的图象问题1函数yloga(x2)1的图象过定点 ()A(1,2) B(2,1) C(2,1) D(1,1)答案D解析令x21，即x1，得yloga111，故函数yloga(x2)1的图象过定点(1,1)2. 如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应函数yloga1x，yloga2x，yloga3x，yloga4x的图象，则()Aa4a31a2a10Ba3a41a1a20Ca2a11a4a30Da1a21a3a40答案A解析作直线y1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4a31a2a10.
2、知识点二比较大小3已知logblogalogc，则()A7a7b7c B7b7a7cC7c7b7a D7c7a7b答案B解析由于函数ylogx为减函数，因此由logblogalogc可得bac，又由于函数y7x为增函数，所以7b7a7c.4设alog2，b30.01，cln ，则()Acab Babc Cacb Dbalog210，b30.010，cln ln 10，得到c最小；再与1比较，alog2301，得到b最大综上，cab.故选A.5比较下列各组数的大小：(1)log2与log20.9；(2)log20.3与log0.20.3；(3)log0.76,0.76与60.7；(4)log20
3、.4与log30.4.解(1)因为函数ylog2x在(0，)上是增函数，0.9，所以log2log20.9.(2)由于log20.3log210，log0.20.3log0.210，所以log20.3log0.20.3.(3)因为60.7601,00.760.701，又log0.76log0.710，所以60.70.76log0.76.(4)底数不同，但真数相同，根据ylogax的图象在a1，0x1时，a越大，图象越靠近x轴，知log30.4log20.4.知识点三解对数不等式6已知log0.3(3x).7不等式log1的解集是()A. B.C. D.答案B解析由loglog21，得log21
4、log22，即02，即x，且x.8若1loga0，且a1)，求实数a的取值范围解1loga1，logaloga1时，；当0aa，则0a0)Cf(2x)2ex(xR)Df(2x)ln x ln 2(x0)答案D解析yf(x)是yex的反函数，f(x)ln x，f(2x)ln 2xln xln 2(x0)，故选D.10如果函数yax(a0，a1)的反函数是增函数，那么函数yloga(x1)的图象大致是()答案C解析函数yax(a0，a1)的反函数是增函数，yax为增函数，a1，yf(x)loga(x1)为减函数，可排除B，D；又f(0)0，排除A，故选C.知识点五对数函数的性质综合11已知ylog
5、a(2ax)在0,1上为x的减函数，则a的取值范围为()A(0,1) B(1,2) C(0,2) D2，)答案B解析题目中隐含条件a0，且a1，u2ax为减函数，故要使yloga(2ax)在0,1上是减函数，则a1，且2ax在x0，1时恒为正数，即2a0，故可得1a0且1x0，1x1.f(x)的定义域为x|1x0得x，故b.当a时，由函数ylog2(x22)(axb)单调递增得2x4，故a2，b4；当b0，所以00，且a1.(1)求a，k的值；(2)当x为何值时，yf(log2x)有最小值？求出该最小值解(1)因为所以解得因为a1，所以(2)y(log2x)2log2x22，所以当log2x，
6、即x时，f(log2x)有最小值，最小值为.易错点忽视底数a对函数图象的影响已知a0，且a1，则函数yax与yloga(x)的图象只能是()易错分析解答本题易混淆函数类型或忽视底数a对函数图象的影响致误答案B正解若0a1，则函数yax的图象上升且过点(0,1)，函数yloga(x)的图象下降且过点(1,0)，只有B中图象符合一、单项选择题1若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数且f(2)1，则f(x)()Alog2x B. Clogx D2x2答案A解析yax的反函数为ylogax，f(x)logax，f(2)1，即loga21，a2，则f(x)log2x，选A.2若alog23
7、，blog32，clog46，则下列结论正确的是()Abac Babc Ccba Dbclog461，log321，所以bc0，3x11.log2(3x1)0.函数f(x)的值域为(0，)5若定义在(1,0)上的函数f(x)log2a(x1)0，则实数a的取值范围是()A. B.C. D(0，)答案A解析当x(1,0)时，x1(0,1)，而函数f(x)log2a(x1)0，故02a1，即0a1时，ylogat和t(a1)x1都是增函数，所以f(x)是增函数；当0a1，则x0的取值范围为()A(1,1) B(1，)C(，9) D(，1)(9，)答案D解析当x00时，由x1得x00时，由lg (x
8、01)1得x09.综上，x09.8若ax1的解集为x|x0且函数yloga(x22)的最大值为1，则实数a的值为()A2 B. C3 D.答案B解析因为ax1a0的解集为x|x0，所以0a2时，值域为(4，)，故f(x)的值域为0，)；D中，x211，值域为0，)故选AB.10若ab0,0c1，则()AlogcacbCacbc Dlogc(ab)0答案AC解析0cb0，得logcalogcb，故A正确；0cb0，得cab0，1.又0c1，acbc，故C正确；取c，ab2，则logc(ab)log211，则函数yx的图象为选项A，B中所示过点(1,0)的曲线，且，故函数yax2bx的图象的对称轴
9、x应在区间或内，A不正确，B正确；若01，则函数yx的图象为选项C，D中所示过点(1,0)的曲线，且00，a1)，则()A函数f(x)g(x)的定义域为(1,1)B函数f(x)g(x)的图象关于y轴对称C函数f(x)g(x)在定义域上有最小值0D函数f(x)g(x)在区间(0,1)上是减函数答案AB解析f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)(a0，a1)，f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)，由x10且1x0，得1x1，故A正确；由f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)f(x)g(x)，得函数f(x)g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B正确；1x1，f(x
10、)g(x)loga(1x2)，由复合函数的单调性可知，当0a1时，函数f(x)g(x)在(1,0)上单调递增，在0,1)上单调递减，无最小值，故C错误；f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)，当0a1时，f(x)loga(x1)在(0,1)上单调递增，g(x)loga(1x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)g(x)在(0,1)上单调递增，故D错误故选AB.三、填空题13已知f(x)log(x2ax3a)在区间2，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案(4,4解析二次函数yx2ax3a的对称轴为x，由已知，应有2，且满足当x2时yx2ax3a0，即解得4a4.14若定义域为(2，
11、1)的函数f(x)log(2a3)(x2)，满足f(x)0，则实数a的取值范围是_答案(2，)解析由x(2，1)，得0x21，又log(2a3)(x2)1，解得a2.15已知函数f(x)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_答案a|2a3解析函数f(x)是(，)上的增函数，a的取值需满足解得2a3.16若函数f(x)则f(8)_；若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_答案3(1,0)(1，)解析当x8时，f(8)log83.若a0，则由f(a)f(a)得log2aloga，即2log2a0，得a1；若af(a)得log (a)log2(a)，即2log2(a)0，得1a1或1
12、a0，且a1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9,2)(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(3x1)f(x5)成立，求x的取值范围解(1)g(x)logax(a0，且a1)的图象过点(9,2)，loga92，解得a3，g(x)log3x.又函数yf(x)的图象与g(x)log3x的图象关于x轴对称，f(x)logx.(2)f(3x1)f(x5)，即log (3x1)log (x5)，则解得x，x的取值范围为.19已知f(x)log4(4x1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间上的值域解(1)由4x10，解得x0，因此f(x)的定义域为(0，)(2)设0x1x2，则04x114x21，因此log4(4 x11)log4(4 x21)，即f(x1)0，且a1，函数yalg(x22x3)有最大值，求函数f(x)loga(32x)的单调区间解设tx22x3(x1)22.当xR时，t有最小值2，无最大值所以lg (x22x3)的最小值为lg 2，无最大值又因为yalg(x22x3)有最大值，所以0a1.由f(x)loga(32x)，得其定义域为.设u(x)32x，x，则f(x)logau(x)因为u(x)32x在上是减函数，所以f(x)logau(x)在上是增函数所以f(x)loga(32x)的单调增区间为.