1、第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末复习 知识系统整合堵点自记： 规律方法收藏1指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化2指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，)两个区间取值时函数的单调性及图像特点3幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决4比较几个数的大小是幂函数、指数函数、
2、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较5求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间6函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及考查形式有知式选图、知图选式、图像变换以及用图像解题函数图像形象地显示了函数的性质在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图像，利用数形结合能起到十分快捷的效果7在建立函数模型解决实际
3、问题中，某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案具体解题步骤为：第一步，审题，引进数学符号，建立函数模型了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定第二步，求解函数模型利用所学数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答第三步，转译成实际问题的解 学科思想培优一、指数、对数、幂函数的典型问题及求解策略指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结
4、合复合函数单调性判断法则，在函数定义域内进行讨论 求定义域典例1(1)函数y的定义域是()A2，)B1，)C(，1D(，2(2)函数f(x)的定义域为()A2,0)(0,2B(1,0)(0,2C2,2D(1,2解析(1)由题意得2x1270，所以2x127，即2x13，又指数函数yx为R上的单调减函数，所以2x13，解得x1.(2)要使函数有意义，需即解得x(1,0)(0,2答案(1)C(2)B 比较大小问题比较几个数的大小是指数、对数、幂函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图像法、特殊值法、作图法
5、等典例2若0xy1，则()A3y3xBlogx3logy3Clog4xlog4y D.xy解析因为0xy1，则对于A，函数y3x在R上单调递增，故3x3y，错误对于B，根据底数a对对数函数ylogax的影响：当0a1时，在x(1，)上“底小图高”因为0xylogy3，错误对于C，函数ylog4x在(0，)上单调递增，故log4xy，错误答案C典例3比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小解解法一：00.32121，log20.3201，log20.30.3220.3.解法二：作出函数yx2，ylog2x，y2x的大致图像，如图所示，画出直线x0.3，根据直线与三个函数图像的交点位置，
6、即可看出log20.30.321时，为使函数f(x)loga(ax2x)在区间2,4上是增函数，只需g(x)ax2x在区间2,4上是增函数，故应满足解得a，a1.当0a1时，f(x)loga(ax2x)在区间2,4上为增函数二、函数的图像问题对于给定的函数图像，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质注意图像与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图像 图像的变换典例5为了得到函数ylg 的图像，只需把函数ylg x的图像上所有的点()A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单
7、位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析ylg lg (x3)1，只需将函数ylg x 的图像上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数ylg 的图像答案C 根据图像比较底数或指数的大小典例6如图是幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在第一象限内的图像，则a，b，c，d的大小关系为()AabcdBabdcCbacdDbadc解析作直线x2，如图所示，直线与4个幂函数图像交点的纵坐标分别为2a,2b,2c,2d.由图可知2a2b2c2d，而函数y2x为增函数，所以abc0，a1)，若f(4)g(4)0，则yf
8、(x)，yg(x)在同一平面直角坐标系内的大致图像是()解析由f(4)g(4)0知a2loga40，loga40，0a1，f(x)和g(x)在(0，)上都是减函数答案B三、数学思想方法在解决与指数函数、对数函数、幂函数相关的问题中，常常用到多种思想方法如比较大小、解不等式要对底数或其中的参数进行分类讨论；复合函数常常要转化成简单的二次函数、一次函数；方程不等式往往转化成函数来解决，同时利用函数图像，也体现了数形结合思想，等等 函数与方程思想典例8若方程lg (x1)lg (3x)lg (ax)(aR)有解，求实数a的取值范围解原方程等价于即设函数f(x)x25x3，因为1x3，所以函数f(x)
9、的值域为，所以实数a的取值范围是. 数形结合思想典例9方程log3xx3的解所在的区间为()A(0,1)B(2,3)C(1,2)D(3，)解析方程log3xx3可变形为log3x3x，而方程log3x3x的解，就是函数ylog3x和函数y3x的交点的横坐标，根据两个函数的图像可知两个函数图像的交点的横坐标一定在区间(1,3)内因函数f(x)log3xx3在区间(1,2)上不满足f(1)f(2)0，所以方程log3xx3的解所在的区间是(2,3)故选B.答案B 等价转化思想典例10已知函数f(x)x，当x1,1时，求函数yf(x)22af(x)3的最小值g(a)解x1,1，x.yf(x)22af(x)32x2ax323a2.令tx，则t.若a3，则当t3，即x1时，ymin96a3126a.综上可知，g(a) 分类讨论思想典例11设a0且a1，若Ploga(a31)，Qloga(a21)，试比较P，Q的大小解当0a1时，有a3a2，即a31a21.又当0aloga(a21)，即PQ.当a1时，有a3a2，即a31a21.又当a1时，ylogax在(0，)上单调递增，loga(a31)loga(a21)，即PQ.综上可得，PQ.
