1、7.4平行线的性质教学目标【知识与技能】经历证明平行线性质的过程,进一步掌握平行线的性质,并了解证明的方法与步骤,体会论证的科学与严谨.【过程与方法】经历观察、操作、推理、交流等学习活动,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.【情感、态度与价值观】推导、论证定理正确性的过程,有利于培养学生严谨的逻辑思维能力,让学生领悟数学的魅力,增强他们对数学的兴趣.教学重难点【重点】数学证明平行线的性质.【难点】运用严谨、科学的方法进行数学证明.教学过程一、复习引入1.练习回顾.(如图1)是在三星堆考古工作中发掘的一个残缺玉片,工作人员复原后发现其形状是梯形(如图2),并且已经量得A=115,D=
2、100.你能不能求出另外两个角的度数.生:观察、思考、计算,B=65,C=80.师:你能说明其中的理由吗?生:两直线平行,同旁内角互补.师:很好,这是我们以前探究过的平行线性质,平行线还有哪些性质呢?生:1.两直线平行,同位角相等;2.两直线平行,内错角相等.2.新课引入.师:在上一节课中,我们证明了有关平行线的判定定理,那么对于平行线的性质,又怎么证明呢?能运用上节课积累的方法进行证明吗?今天这节课我们一起再来试一试证明它们.二、探索新知1.证明:两直线平行,同位角相等.(1)引导学生画出两条平行线(说一说:平行线怎么画?)被第三条线所截,并标出同位角,如图所示:(2)用几何语言描述这样的证
3、明题.已知:直线ABCD,1和2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.求证1=2.(3)尝试证明.思考:如果直接进行证明的话,难以找到能够作为依据的相关事实、定理,该怎么办?(提示学生可以用反证法,假设结论错误,再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方,说明假设不成立,从而得证.)提问:如果12,那么是否存在另外一条直线,它被第三条直线所截的2的另一同位角1,有1=2呢?(有)如果有,是否意味着这条直线和CD平行?(是的,同位角相等,两直线平行)这条直线可以是任意一条,也就是说我们可以过M点(AB与EF相交于点M)画这样的一条直线,此时我们发现过M点有两条直线与CD平行,这可能吗?(不
4、可能,过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)这样看来假设不能成立,说明什么?(1=2)(4)学生根据讨论、交流,板书证明过程.证明:假设12,那么我们可以过点M作直线GH,使EMH=2,如图所示.根据“同位角相等,两直线平行”,可知GHCD.又因为ABCD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明12的假设不成立,所以1=2.2.证明:两直线平行,内错角相等.(1)已知:如图,直线l1l2,1和2是直线l1,l2被直线l截出的内错角.求证:1=2.(2)尝试证明.提示:我们已经证明了两直线平行,同位角相等
5、,可以将这个作为基本的事实(定理),进行论证.在证明时,通过构建新角等方法,尽可能应用到已有的定理,从而进行论证.板书证明过程:证明:l1l2(已知),1=3(两直线平行,同位角相等).又2=3(对顶角相等),1=2(等量代换).3.证明:两直线平行,同旁内角互补.学生已有了相关证明的经验,放手让学生自我证明,再全班交流,集体订正.4.师:请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定,它们有什么不同?请大家填写下面的表格,加以对比.条件结论平行线的性质判定平行的判定学生填表,并讨论.条件结论平行线的性质两直线平行同位角相等两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补判定平行的判定同位角相等两
6、直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补两直线平行师生共同总结:两直线平行的判定和性质判定:角的关系线的关系性质:线的关系角的关系5.思考:完成一个命题的证明,需要哪些主要环节?(1)根据题意画出图形(若已给出图形,则可省略);(2)根据题设和结论,结合图形,写出已知和求证;(3)经过分析,找出已知得出求证的途径,写出证明过程;(4)检查证明过程是否正确完善.三、解决问题师:学会了平行线的性质,我们就利用性质解决一些问题.(投影出示)1.如图,ABCD,ACBD.分别找出与1相等或互补的角.生:画图,找出所有与1相等或互补的角.与1相等的角有7个,与1互补的角有8个,用性质说明它们相等或互补的
7、理由.第1题图第2题图2.如图,一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同,第一次拐的角B是130,第二次拐的角C是多少度?生:方向相同说明两条直线平行,根据两直线平行,内错角相等可得,C=B=130.四、例题讲解【例1】已知:如图,ba,ca,1,2,3是直线a,b,c被直线d截出的同位角.求证bc.【答案】ba(已知),2=1(两直线平行,同位角相等).ca(已知),3=1(两直线平行,同位角相等).2=3(等量代换).bc(同位角相等,两直线平行).例1题图例2题图【例2】如图,梯子的各条横档互相平行,1=100.求2的度数.【答案】已知ABCD,根据“两直线平行,同位角相等”,得3=1=10
8、0.由平角的意义,得2+3=180,2=180-3=180-100=80.【例3】如图,已知1=2,若直线bm,则直线am.请说明理由.【答案】如图,已知1=2,根据“同位角相等,两直线平行”,得ab.由ab,再根据“两直线平行,同位角相等”,得3=4.又已知bm,根据垂直的意义,得4=90,3=90,am.例3题图例4题图【例4】如图,已知ABCD,ADBC.判断1与2是否相等,并说明理由.【答案】1=2.理由如下:已知ABCD,根据“两直线平行,同旁内角互补”,得1+BAD=180.同理,可得BAD+2=180,1=2.【例5】如图,已知ABC+C=180,BD平分ABC.CBD与D相等吗?请说明理由.【答案】CBD=D.理由如下:ABC+C=180,根据“同旁内角互补,两直线平行”,得ABCD.再根据“两直线平行,内错角相等”,得D=ABD.BD平分ABC,CBD=ABD.CBD=D.五、课堂小结这节课我们学习了哪些内容?你有什么收获?