1、 核心概念掌握 知识点一 二面角的定义1有关概念：_叫做二面角，_叫做二面角的棱，_叫做二面角的面，棱为 AB，面分别为，的二面角记作二面角_.01 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形02 这条直线03 这两个半平面04 AB2二面角的平面角(1)定义：以二面角的_，在两个半平面内分别作_，这两条射线所成的_叫做二面角的平面角(2)必备的三个条件：角的顶点在二面角的_上；角的两边分别在二面角的_；角的两边分别与二面角的_05 棱上任一点为垂足06 垂直于棱的两条射线07 角08 棱09 两个半平面内10 棱垂直3二面角的大小及求法(1)二面角的大小可以_，二面角的_是多少度，就说这个二面角
2、是多少度平面角是_叫做直二面角二面角的平面角 的取值范围是 0180.(2)二面角大小的求法作：_；证：_；求：_11 用它的平面角来度量13 直角的二面角14 依据题中的条件作出一平面角15 证明所作出的平面角是二面角的平面角(用二面角的平面角的定义证)12 平面角16 求出这个平面角的大小即为二面角的大小(构造三角形解三角形来求)知识点二 两个平面互相垂直的定义1两个平面互相垂直的定义(1)一般地，两个平面相交，如果_，就说这两个平面_(2)图形(3)表示：平面 与平面 垂直，记作_.01 它们所成的二面角是直二面角02 互相垂直03 2两平面垂直的判定定理(1)定理：如果一个平面过_，那
3、么这两个平面_(2)符号表示：若_，则_.(3)定理的作用：_04 另一个平面的垂线05 垂直06 a，a07 08 证两平面垂直1证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直2证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的3有助于判断面面垂直的结论(1)mn，m，n；(2)m，n，mn；(3)，.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)二面角的平
4、面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关()(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的()(3)如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的一条直线，则.()2做一做(1)在二面角 l 的棱 l 上任选一点 O，若AOB 是二面角 l的平面角，则必须具有的条件是()AAOBO，AO，BOBAOl，BOlCABl，AO，BODAOl，BOl，且 AO，BO(2)过一点可作_个平面与已知平面垂直(3)若AOB 是锐二面角 l 的平面角，则 l 与平面 AOB 的位置关系是_(4)如图，空间四边形 ABCD 中，若 ADBC，BDAD，那么图中互相垂直的平面有_答案(1)D(2)无数(3)l平面
5、 AOB(4)平面 ABD平面 BCD，平面ACD平面 BCD答案 核心素养形成 题型一求二面角 例 1 四边形 ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，且 PAAB.求：(1)二面角 APDC 的平面角的度数；(2)二面角 BPAD 的平面角的度数；(3)二面角 BPAC 的平面角的度数解(1)PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD，又四边形 ABCD 为正方形，CDAD，PAADA，CD平面 PAD，又 CD平面 PCD，平面 PAD平面 PCD.二面角 APDC 的平面角的度数为 90.答案 (2)PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，AD平面 ABCD，ABPA，ADPA.
6、BAD 为二面角 BPAD 的平面角又由题意可得BAD90，二面角 BPAD 的平面角的度数为 90.答案 (3)PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，AC平面 ABCD，ABPA，ACPA.BAC 为二面角 BPAC 的平面角又四边形 ABCD 为正方形，BAC45.即二面角 BPAC 的平面角的度数为 45.答案 条件探究 在本例中，若求二面角 PBCD 的平面角的度数又该如何解？解 PA平面 ABCD，BC平面 ABCD，AB平面 ABCD，PABC，PAAB.又 BCAB，且 ABAPA，BC平面 PAB，又 PB平面 PAB，BCPB.又 ABBC，PBA 为二面角 PBCD 的平
7、面角在 RtPAB 中，APAB.PBA45.二面角 PBCD 的平面角的度数为 45.答案 1.确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角2求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上的一点，且 PAAC，求二面角 PBCA 的大小解 由已知得 PA平面 ABC，BC
8、平面 ABC，PABC.AB 是O 的直径，且点 C 在圆周上，ACBC.又 PAACA，BC平面 PAC.又 PC平面 PAC，PCBC.又 BC 是二面角 PBCA 的棱，PCA 是二面角 PBCA 的平面角由 PAAC 知PAC 是等腰直角三角形，PCA45，即二面角 PBCA 的大小是 45.答案 题型二用定义法证明平面与平面垂直例 2 如图所示，在四面体 ABCD 中，BD 2a，ABADCBCDACa.求证：平面 ABD平面 BCD.证明 ABADCBCDa，ABD 与BCD 是等腰三角形取 BD 的中点 E，连接 AE，CE，则 AEBD，BDCE.AEC 为二面角 ABDC 的
9、平面角答案 在 RtABD 中，ABa，BE12BD 22 a，AE AB2BE2 22 a.答案 同理 CE 22 a.在AEC 中，AECE 22 a，ACa，AC2AE2CE2，AECE，即AEC90，即二面角 ABDC 的平面角为 90.平面 ABD平面 BCD.答案 用定义证明两个平面垂直的步骤利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：找出两个相交平面的平面角；证明这个平面角是直角；根据定义，这两个平面互相垂直 如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF，AEEC.证
10、明：平面 AEC平面 AFC.证明 如图，连接 BD，交 AC 于点 G，连接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD中，不妨设 GB1.由ABC120，可得 AGGC 3.由 BE平面 ABCD，ABBC，可知 AEEC.又 AEEC，所以 EG 3，且 EGAC.答案 同理可得 FGAC，所以EGF 为二面角 EACF 的平面角，在 RtEBG 中，可得 BE EG2BG2 2，故 DF 22.在 RtFDG 中，可得 FG DG2DF2 62.答案 在直角梯形 BDFE 中，由 BD2，BE 2，DF 22，可得 EF3 22.从而 EG2FG2EF2，所以 EGFG.即二面角 EACF 的
11、平面角为 90，所以平面 AEC平面 AFC.答案 题型三利用判定定理证明面面垂直例 3 如图，四边形 ABCD 是正方形，MA平面 ABCD，PDMA，E，G，F 分别为 MB，PB，PC 的中点，且 ADPD2MA.求证：平面 EFG平面 PDC.证明 MA平面 ABCD，PDMA，PD平面 ABCD.又 BC平面 ABCD，PDBC.四边形 ABCD 为正方形，BCDC.又 PDDCD，BC平面 PDC.在PBC 中，G，F 分别为 PB，PC 的中点，GFBC，GF平面 PDC.又 GF平面 EFG，平面 EFG平面 PDC.答案 证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的
12、二面角是直二面角(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PD底面 ABCD，点 E 在棱PB 上求证：平面 AEC平面 PDB.证明 四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACBD，ACPD，又 PD，BD 为平面 PDB 内两条相交直线，AC平面 PDB.又 AC平面 AEC，平面 AEC平面 PDB.答案 题型四折叠问题例 4 如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，E 为 BC 的中点，把
13、ABE 和CDE 分别沿 AE，DE 折起，使点 B 与点 C 重合于点 P.(1)求证：平面 PDE平面 PAD；(2)求二面角 PADE 的大小解(1)证明：由 ABBE，得 APPE，同理，DPPE.又APDPP，PE平面 PAD.又 PE平面 PDE，平面 PDE平面 PAD.答案 (2)如图所示，取 AD 的中点 F，连接 PF，EF，则易知 PFAD，EFAD，PFE 就是二面角 PADE 的平面角又 PE平面 PAD，PF平面 PAD，PEPF.EFAB 2，PF 2211，cosPFEPFEF 22.二面角 PADE 的大小为 45.答案 折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体
14、图形，在立体图形中解决有关问题解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB12AD，E 是 AD 的中点，沿 BE将ABE 折起至ABE 的位置，使 ACAD，求证：平面 ABE平面 BCDE.证明 如图所示，取 CD 的中点 M，BE 的中点 N，连接 AM，AN，MN，则 MNBC.AB12AD，E 是 AD 的中点，ABAE，即 ABAE.ANBE.ACAD，AMCD.在四边形 BCDE 中，CDMN，又 MNAMM，CD平面 AMN，又 AN平面 AMN，CDAN.答案 DEBC 且 DE12BC，BE 必与 CD 相交又 ANBE，ANCD，
15、AN平面 BCDE.又 AN平面 ABE，平面 ABE平面 BCDE.答案 随堂水平达标 1下列命题：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a，b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是()ABCD答案 B答案 解析 由二面角的定义知，错误；a，b 分别垂直于两个平面，则 a，b都垂直于二面角的棱，故正确；中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故错误；由定义知正确故选 B.解析 2.在四棱锥 PABCD 中，已知 P
16、A底面 ABCD，且底面 ABCD 为矩形，则下列结论中错误的是()A平面 PAB平面 PADB平面 PAB平面 PBCC平面 PBC平面 PCDD平面 PCD平面 PAD答案 C答案 解析 由面面垂直的判定定理知：平面 PAB平面 PAD，平面 PAB平面 PBC，平面 PCD平面 PAD，A，B，D 正确解析 3.如图，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，则二面角 BPAC 的大小为()A90B60C45D30答案 A答案 解析 因为 PA平面 ABC，BA平面 ABC，CA平面 ABC，所以 BAPA，CAPA.因此，BAC 即为二面角 BPAC 的平面角，又BAC90，
17、所以二面角 BPAC 的平面角为 90.故选 A.解析 4如图所示，在三棱锥 DABC 中，若 ABBC，ADCD，E 是 AC的中点，则平面 ADC 与平面 BDE 的关系是_解析 易知 BEAC，DEAC，AC平面 BDE.又 AC平面 ADC，平面 ADC平面 BDE.解析 答案 垂直答案 5在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，E 为 AB 上的点，且 ADAEDC2，BE1，将ADE 沿 DE 折叠到点 P，使 PCPB.(1)求证：平面 PDE平面 ABCD；(2)求四棱锥 PEBCD 的体积解(1)证明：如图，取 BC 的中点 G，DE 的中点 H，连接 PG，GH，HP
18、.答案 HGAB，又 ABBC，HGBC.PBPC，PGBC.又 HGPGG，BC平面 PGH.又 PH平面 PGH，PHBC.PDPE，H 为 DE 的中点，PHDE.BEDC，且 DC2BE，DE 与 BC 必相交，PH平面 BCDE.而 PH平面 PDE，答案 平面 PDE平面 BCDE，即平面 PDE平面 ABCD.(2)连接 EC，AH，由(1)可知，PH 为四棱锥 PBCDE 的高DCAE，且 ADAEDC2，四边形 AECD 为菱形CEAD2.而 EB1，EBBC，BC CE2EB2 3，DE2.PHAH 3.VPBCDE13PHS 梯形 BCDE13 312(12)332.答案 课后课时精练 点击进入PPT课件