1、专题六 解析几何 1 直线与圆 真题热身1(2011广东)已知集合 A(x，y)|x，y 为实数，且 x2y21，B(x，y)|x，y 为实数，且 xy1，则 AB 的元素个数为()A4 B3 C2 D1解析 集合 A 表示圆 x2y21 上的点构成的集合，集合 B 表示直线 xy1 上的点构成的集合，可判断直线与圆相交，故 AB 的元素的个数为 2.C 2(2011重庆)在圆 x2y22x6y0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为()A5 2B10 2C15 2D20 2解析 圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，由圆的性质可
2、知最长弦 AC2 10，最短弦 BD 恰以 E(0,1)为中点，设点 F为其圆心，坐标为(1,3)故 EF 5，BD2 10(5)22 5，S 四边形 ABCD12ACBD10 2.B 3(2011浙江)若直线 x2y50 与直线 2xmy60 互相垂直，则实数 m_.解析 直线 x2y50 与直线 2xmy60 互相垂直，12(2m)1，m1.1 4(2011湖北)过点(1，2)的直线 l 被圆 x2y22x2y10 截得的弦长为 2，则直线 l 的斜率为_解析 由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为 k，则直线方程为 y2k(x1)，又圆的方程可化为(x1)2(y1)21，圆心为(1,1
3、)，半径为 1，圆心到直线的距离 d|k1k2|1k21(22)2解得 k1 或177.1 或177考点整合 1直线的方程(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的范围是0，)(2)直线的倾斜角为，斜率为 k.当 090时，k0 且随倾斜角 的增大而增大当 90180时，k0 且随倾斜角 的增大而增大(3)直线的方程的五种形式点斜式：yy0k(xx0)，不能表示与 x 轴垂直的直线斜截式：ykxb，不能表示与 x 轴垂直的直线两点式：yy1y2y1 xx1x2x1，不能表示与坐标轴垂直的直线截距式：xayb1，不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线一般式：AxB
4、yC0(A、B 不同时为零)2两直线平行、垂直的判定(1)l1：yk1xb1，l2：yk2xb2(两直线斜率存在，且不重合)，则有 l1l2k1k2，l1l2k1k21.若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合时，则两直线平行；若两直线中，一条直线的斜率为 0，另一条直线斜率不存在，则两直线垂直(2)l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则有 l1l2A1B2A2B10，且 B1C2B2C10，l1l2A1A2B1B20.3距离公式(1)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|(x1x2)2(y1y2)2.(2)点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0
5、 的距离d|Ax0By0C|A2B2.(3)两平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 的距离d|C1C2|A2B2.4圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，圆心为(a，b)，半径为 r.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为(D2，E2)，半径为 r D2E24F2；二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 B0，AC0，D2E24AF0.(3)圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数法根据所给条件恰当选择标准方程或一般方程(4)讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位
6、置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离和两圆的心距与半径关系)去考虑，其中用几何特征较为简捷、实用分类突破 一、直线方程的应用例 1 设直线 l 过点 A(2,4)，它被平行线：xy10，xy10 所截线段的中点在直线 x2y30 上，试求直线 l 的方程解 方法一 解方程组x2y30，xy10，及x2y30，xy10，得交点坐标 B(13，43)，C(53，23)设 BC 中点为 M，则 M(1,1)，直线 l 的方程为 3xy20.方法二 设 l 被平行线 xy10，xy10 所截线段中点为 M，M 在直线 x2y30 上知 M 点可表示为(32k，k
7、)又 M 为所截线段中点，则 M 到两平行线距离相等，有33k1233k12，解之 k1，则 M(1,1)，l 的方程为 3xy20.方法三 直线 l 过点 A(2,4)，即 l 方程为 y4k(x2)解方程组y4k(x2)，x2y30，得x4k512k，y 4k12k.由题意，交点坐标到两直线距离相等，4k512k 4k12k1 4k512k 4k12k1，因此 k3，l 方程为 3xy20.方法四 由已知得，直线 l 被平行直线截得的线段中点在直线 yx 上由方程组xy，x2y30，解得交点坐标(1,1)l 方程为 3xy20.归纳拓展 求直线方程的主要方法是待定系数法在使用待定系数法时，
8、要注意方程的选择，用点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，设直线 l1：yk1x1，防止丢解另外，解题时认真画图，有助于快速准确地找到解题思路变式训练 1(2011安徽)设直线 l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数 k1，k2 满足 k1k220.(1)证明 l1 与 l2 相交；(2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2y21 上证明(1)假设 l1 与 l2 不相交，则 l1 与 l2 平行，有 k1k2，代入 k1k220，得 k2120，这与 k1 为实数的事实相矛盾，从而 k1k2，即 l1 与 l2 相交(2)方法一 由方程组yk1x1，yk2x1解得交点
9、 P 的坐标为(2k2k1，k2k1k2k1)，而 2x2y22(2k2k1)2(k2k1k2k1)28k22k212k1k2k22k212k1k2 k21k224k21k2241.此即表明交点 P(x，y)在椭圆 2x2y21 上方法二 交点 P 的坐标(x，y)满足y1k1x，y1k2x.故知 x0.从而k1y1x，k2y1x.代入 k1k220，得y1x y1x 20.整理后，得 2x2y21，所以交点 P 在椭圆 2x2y21 上二、圆的方程的应用例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)x22xb(xR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C.(1)求
10、实数 b 的取值范围；(2)求圆 C 的方程；(3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的结论解(1)令 x0，得抛物线与 y 轴的交点是(0，b)令 f(x)0，得 x22xb0，由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b0.(2)设所求圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，令 y0，得 x2DxF0，这与 x22xb0 是同一个方程，故 D2，Fb.令 x0，y2Eyb0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1.所以圆 C 的方程为 x2y22x(b1)yb0.(3)圆 C 过定点，证明如下：假设圆 C 过定点(x0，y0)，(x0，y0 不依赖于 b)，将该点的坐标代入
11、圆 C 的方程并变形为x20y202x0y0b(1y0)0.为了使上述方程对所有满足 b1(b0)的 b 都成立，必须有1y00 x20y202x0y00，解得x00y01 或x02y01.经验证：点(0,1)，(2,1)均在圆 C 上，因此圆 C 过定点归纳拓展 求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数变式训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)x22xb(xR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 D.问是否存在 b 使三个
12、交点构成的三角形为圆 D 的内接直角三角形？若存在，求出 b 的值；若不存在，说明理由解 令 x0，得抛物线过点(0，b)令 f(x)0，得 x22xb0.由题意应有 b0 且 44b0.b1 且 b0.设二次函数图象与 x 轴的交点分别为 A(x1,0)，B(x2,0)，与 y 轴交点为 C，则 C(0，b)；而 x1，x2 是方程 f(x)0，即 x22xb0 的两根，x1x2b.若存在 b 满足条件，则 ACBC.又 kAC bx1，kBC bx2，bx1(bx2)1，即 x1x2b2b.又 b1，且 b0，解得 b1.故存在满足条件的 b1.三、直线与圆的位置关系例 3 已知圆 C：x
13、2(y1)25，直线 l：mxy1m0.(1)求证：对 mR，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点；(2)设 l 与圆 C 交于 A、B 两点，若|AB|17，求 l 的倾斜角；求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程；若定点 P(1,1)分弦 AB 为|AP|PB|12，求此时直线 l 的方程(1)证明 由已知 l：y1m(x1)，直线 l 恒过定点 P(1,1)12(11)215，P 在圆 C 内，即直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点(2)解 将直线 l 与圆 C 的方程联立，消去 y 得(1m2)x22m2xm250.设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 x1、x2 为方程的两实根
14、，x1x2 2m21m2，x1x2m251m2，|AB|1m2|x1x2|1m2(x1x2)24x1x2，17 1m2 16m2201m2.m23，m 3.l 的倾斜角为 3或23.设 M 的坐标为(x，y)，连接 CM、CP，C(0,1)，P(1,1)，|CM|2|PM|2|CP|2，x2(y1)2(x1)2(y1)21.整理得轨迹方程为 x2y2x2y10(x1)由|AP|PB|12，得PB2AP，又PB(x21，y21)，AP(1x1,1y1)x212(1x1)，即 2x1x23.故 2x1x23，x1x2 2m21m2，x1x2m251m2解方程组得 m1.当 m1 时，直线 l 的方
15、程为 xy0.当 m1 时，直线 l 的方程为 xy20.直线 l 的方程为 xy0 或 xy20.归纳拓展(1)有关直线与圆的相交问题，要注意灵活运用圆的几何性质，特别是弦心距、弦长一半和半径满足勾股定理，第(2)小题用此法也较简单；(2)证明直线与圆相交问题，可转化为证明直线过圆内一点，也可通过两方程消元得一元二次方程，证明判别式大于零即可；(3)比较圆心到直线距离与圆的半径的大小亦是判定圆与直线位置关系的常用方法变式训练 3 已知点 P(0,5)及圆 C：x2y24x12y240.(1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3，求 l 的方程；(2)求过 P 点的圆 C
16、的弦的中点的轨迹方程解(1)圆 C 的方程可化为(x2)2(y6)216，圆心 C(2,6)，半径 r4，如图所示，|AB|4 3，设 D 是线段 AB 的中点，则 CDAB，|AD|2 3，|AC|4，在 RtACD 中，可得：|CD|2.设所求直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为：y5kx，即 kxy50.由点 C 到直线 AB 的距离公式：|2k65|k212，得 k34，此时直线 l 的方程为 3x4y200.又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x0.所求直线 l 的方程为 x0 或 3x4y200.(2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x，y)，则 C
17、DPD，CD PD 0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为 x2y22x11y300.规范演练 1已知直线 l1：(k3)x(4k)y10 与 l2：2(k3)x2y30 平行，则 k 的值是()A1 或 3 B1 或 5 C3 或 5 D1 或 2解析 k3 时，l1：y10，l2：2y30 显然平行；k4时，l1：x10，l2：2x2y30，显然不平行；k3，k4时，要使 l1l2，应有 k32(k3)4k2 13k5.综上所述 k3 或 5.C 2(2011江西)若曲线 C1：x2y22x0 与曲线 C2：y(ymxm)0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是()A
18、(33，33)B(33，0)(0，33)C 33，33 D(，33)(33，)解析 C1：(x1)2y21，C2：y0 或 ymxmm(x1)当 m0 时，C2：y0，此时 C1 与 C2 显然只有两个交点；当 m0 时，要满足题意，需圆(x1)2y21与直线 ym(x1)有两交点，当圆与直线相切时，m 33，即直线处于两切线之间时满足题意，则 33 m0 或 0m 33.B 3已知圆 C：x2y22xay30(a 为实数)上任意一点关于直线 l：xy20 的对称点都在圆 C 上，则 a_.解析 由已知条件知圆心必在直线 l：xy20 上，而圆心坐标为(1，a2)，故有1a220，即 a2.2
19、 4已知圆 C：x2(y3)24，一动直线 l 过点 A(1,0)与圆 C相交于 P、Q 两点，M 为 PQ 中点，l 与直线 x3y60相交于点 N，则|AM|AN|_.解析 依题意，考虑直线 l 的特殊位置(特殊位置法)当直线 lx 轴时，l 的方程为 x1，l 被圆截得的弦中点为 M(1,3)，l 与直线 x3y60 的交点为 N(1，53)，所以|AM|AN|3535.5 5已知圆 C：x2y22x4y40.问在圆 C 上是否存在两点A、B 关于直线 ykx1 对称，且以 AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线 AB 的方程；若不存在，说明理由解 圆 C 的方程可化为(x1)2(y
20、2)29，圆心为 C(1，2)，假设在圆 C 上存在两点 A、B，则圆心 C(1，2)在直线 ykx1 上，即 k1.于是可知 kAB1.设 lAB：yxb，代入圆 C 的方程，整理得 2x22(b1)xb24b40，4(b1)28(b24b4)0，b26b90，解得33 2b33 2.设点的坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2b1，x1x212b22b2.由 OAOB，知 x1x2y1y20，也就是 x1x2(x1b)(x2b)0，2x1x2b(x1x2)b20，b24b4b2bb20，化简得 b23b40，解得 b4 或 b1，均满足 0.即直线 AB 的方程为 xy4
21、0，或 xy10.6已知圆 C：x2y22x4y30.(1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆 C 外一点 P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为 M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求使得|PM|取得最小值的点 P的坐标解(1)将圆 C 配方得：(x1)2(y2)22.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 ykx，由直线与圆相切得：y(2 6)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为 xya0，由直线与圆相切得：xy10 或 xy30.故切线方程为 y(2 6)x 或 xy10 或 xy30.(2)由|PO|PM|，得：x21y21(x11)2(y12)222x14y130.即点 P 在直线 l：2x4y30 上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线 OPl.直线 OP 的方程为：2xy0.解方程组2xy0，2x4y30.得 P 点坐标为(310，35)返回