1、3 不等式选讲 真题热身 1(2011陕西)若关于 x 的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数 a 的取值范围是_解析 f(x)|x1|x2|2x1(x1)，3(1x2)，2x1(x2)，f(x)3.要使|a|x1|x2|有解，|a|3，即 a3 或 a3.(，33，)2(2010陕西)不等式|2x1|3 的解集为_解析 由|2x1|3 得32x13，1x2.x|1xa(a0)f(x)a 或 f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)2 的解集为_解析 令 f(x)4，x4，2x12，48.图象如图所示不等式|x8|x4|2，即 f(x)2，由2x122 得 x5.由函数 f(x)图象
2、可知，原不等式的解集为x|x5x|x5二、不等值的证明例 2(2010辽宁)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2b2c2(1a1b1c)26 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立证明 方法一 因为 a，b，c 均为正数，由均值不等式得a2b2c23(abc)，1a1b1c3(abc)，所以(1a1b1c)29(abc).故 a2b2c2(1a1b1c)23(abc)9(abc).又 3(abc)9(abc)2 276 3，所以原不等式成立当且仅当 abc 时，式和式等号成立32132323323223当且仅当 3(abc)9(abc)时，式等号成立故当且仅当 abc时，原不等式等号成立
3、方法二 因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.所以 a2b2c2abbcac.同理 1a2 1b21c2 1ab 1bc 1ac，故 a2b2c2(1a1b1c)2abbcac 3ab 3bc 3ac6 3.所以原不等式成立当且仅当 abc 时，式和式等号成立，当且仅当 abc，(ab)2(bc)2(ac)23 时，式等号成立故当且仅当 abc时，原不等式等号成立3223143143变式训练 2 设 a，b，c 均为正实数，求证：1a3 1b31c3 abc2 3.证明 因为 a，b，c 是正实数，由平均不等式可得1a3 1b31c3331a
4、3 1b31c3，即 1a3 1b31c3 3abc.所以 1a3 1b31c3abc 3abcabc.而 3abcabc23abcabc2 3，所以 1a3 1b31c3abc2 3.三、含绝对值的不等式的证明例 3 已知 f(x)1x2，ab，求证：|f(a)f(b)|ab|.解|f(a)f(b)|1a2 1b2|a2b2|1a2 1b2|ab|ab|1a2 1b2，又|ab|a|b|a2 b2 1a2 1b2，|ab|1a2 1b20.|f(a)f(b)|ab|.变式训练 3 设 f(x)x2x43，实数 a 满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)证明|f(x)f(a)
5、|x2x43a2a43|(xa)(xa1)|xa|xa1|.|xa|1，|x|a|xa|1.|x|a|1.|f(x)f(a)|xa|xa1|xa1|x|a|12(|a|1)规范演练 1(2011广东)不等式|x1|x3|0 的解集是_解析 方法一 不等式等价转化为|x1|x3|，两边平方得(x1)2(x3)2，解得 x1，故不等式的解集为1，)方法二 不等式等价转化为|x1|x3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点 x 到点1 的距离大于等于到点 3 的距离，到两点距离相等时 x1，故不等式的解集为1，)1，)2不等式|x1|x2|1 的实数解为_解析 x1x2 1，|x1|x2|.x22x1
6、x24x4，2x30.x32且 x2.x|x32且x23已知 x54，则函数 y4x214x5的最大值为_解析 x0.又 y4x214x5(4x5)14x53(54x)1(54x)3231，当 54x154x，即 x1 时，取“”，此时 ymax1.1 4(2011江西)对于实数 x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_解析|x1|1，1x11，0 x2.又|y2|1，1y21，1y3，从而62y2.由同向不等式的可加性可得6x2y0.5x2y11，|x2y1|的最大值为 5.5 5用数学归纳法证明cos cos 3cos 5cos(2n1)sin 2n2sin (sin
7、0，nN)，当验证 n1 时，等式右边的式子是_.解析 n1 时，右边sin 22sin cos.cos 6若不等式 x|x1|a 有解，则实数 a 的取值范围是_解析 设 f(x)x|x1|，则 f(x)2x1，(x1)，1，(x1).f(x)的最小值为 1.因为 x|x1|1 有解，所以当 a1 时，f(x)a 有解1，)7已知不等式|x1|a 成立的一个充分条件是 0 x4，则实数 a 的取值范围是_解析|x1|a 得 1axa1，|x1|a 成立的一个充分条件是 0 x0，a，bR，命题甲：|ab|2h；命题乙：|a1|h且|b1|h，则甲是乙的_条件解析|ab|a11b|a1|b1|y，则实数 a，b 应满足的条件是_解析 若 xy，则 xya2b252aba24a(ab1)2(a2)20.只要 a20，ab10 两个中满足一个，即可使得 xy.a2 或 ab111函数 y2 1x 2x1的最大值为_解析 y2(2 22x1 2x1)2(2)212(22x)2(2x1)233，y3.3 12不等式|3x2|4 的解集为_解析|3x2|443x2423x623x2，不等式的解集为x|23x2.x|23xc；abcd；adc，adbc，ab，adbc，acbd，abcd，acdb，即 db，ac，acdb.acdb返回