1、河南省郑州市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）注意事项：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们残差平方和如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）.A. 0.09B. 0.13C. 0.21D. 0.88【答案】A【解析】【分析】根据残差的概念判断【详
2、解】残差平方和越小，说明估计数据与实际数据越接近，拟合效果更好，故选：A【点睛】本题考查残差的概念，属于简单题2. 用反证法证明“若，则，至少有一个为0”时，假设正确的（ ）.A. ，中只有一个为0B. ，全为0C. ，至少有一个不为0D. ，全不为0【答案】D【解析】【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，即可得解；【详解】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“若，”，则“，至少有一个为0”的否定为“若，”，则“，全不为0”.故选：D【点睛】本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题3. 欧拉公式把自然对数的底数
3、，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数，则（ ）.A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用欧拉公式求出，然后再求其模【详解】解：由题意得，所以，故选：C【点睛】此题考查了复数的三角形式及其运算，考查了复数的模，属于基础题.4. 下列框图中，可作为流程图的是（ ）A. 整数指数幂有理指数幂无理指数幂B. 随机事件频率概率C. 入库找书阅览借书出库还书D. 推理图像与性质定义【答案】C【解析】【分析】利用结构图、流程图的定义直接对各选项进行分析.【详解】观察选项，只有C满足一个工作过程的具体步骤，属于流程图，而选项A、B、D不属于流
4、程图.故选：C【点睛】本题主要考查了流程图和结构图的定义，辨析结构图和流程图是解题的关键，属于基础题.5. 点的直角坐标为，则点的极坐标为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用直角坐标与极坐标的互化公式求解即可【详解】解：设点的极坐标为， 因为的直角坐标为，所以，即，解得，因为点在第二象限，所以，所以点的极坐标为故选：B【点睛】此题考查直角坐标与极坐标的互化，属于基础题.6. 观察下列各式：，则的末四位数字为（ ）A. 3125B. 5625C. 0625D. 8125【答案】C【解析】【分析】根据，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解.【详解】因为，观察
5、可知的末四位数字3125，的末四位数字5625，的末四位数字8125，的末四位数字0625，又，则的末四位数字为0625.故选：C【点睛】本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题.7. 2020年初，新型冠状病毒（）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：周数（）12345治愈人数（）21736103142由表格可得关于的回归方程为，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ）.A. 5B. C. 13D. 0【答案】C【解析】【分析】设，求出，的值，由最小
6、二乘法得出回归方程，代入，即可得出答案.【详解】设，则，所以.令，得.故选：C【点睛】本题考查回归分析的应用，重在计算，属于中档题.8. 德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有割圆密率捷法一书，为我国用级数计算开创先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式计算的近似值（其中表示的近似值）”.若输入，输出否的结果可以表示为（ ）.A. B. C. D.
7、 【答案】D【解析】【分析】执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第9次循环：，此时满足判定条件，输出结果，故选：D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9. 以平面直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（为参数）上的点到曲线的最短距离是（ ）.A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，计算出直线的直角坐标方程
8、，然后假设曲线上任意一点，根据点到直线的距离公式以及辅助角公式进行计算即可.【详解】由，则曲线的直角坐标方程为设曲线曲线（为参数）上的任意一点位则点到直线的距离位所以当时，故选：B【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的转化以及使用参数方程来解决点到直线的最值问题，重在计算，考查逻辑推理以及计算能力，属中档题.10. 某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】
9、【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案.【详解】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确.故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.11. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 曼德尔布罗特( )在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路下图按照的分形规律生长成一个树形图,则第13行的实心圆点的个数是( )A. 55个B. 89个C. 144个D. 233个【答案】C【解析】分析：一一的列举出每行的实心圆点的个数，观察其规律，猜想：，得
10、出结论即可，选择题我们可以不需要完整的理论证明详解：行数12345678910111213球数01123581321345589144，由此猜想：，故选C点睛：观察规律，把行数看成数列的项数，个数看作数列的项，尽可能的多推导前面有限项看出规律12. 若，则，的大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】,则欲比较大小的三个式子结构相同，可以构造函数，再利用其单调性即可判断答案.【详解】设函数，则，当时，单调递减.由，可得，则，所以，即.故选：D.【点睛】本题考查导数应用，利用导数判断函数的单调性，进而比较函数值的大小.遇到比较结构相同(或可以化成相同)的式子的大小，
11、可以构造函数，然后利用函数的单调性求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在一组样本数据，（，互不相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为_.【答案】；【解析】【分析】由所有样本点都在一条直线上，可知这组样本数据完全负相关，结合相关系数的意义，可得出答案.【详解】由题意，所有样本点都在直线上，所以这组样本数据完全负相关，即相关系数为-1.故答案位：-1.【点睛】本题考查相关系数，考查正相关及负相关，属于基础题.14. 化简：_.【答案】【解析】【分析】利用的幂的性质化简即可得答案.【详解】，所以原式.故答案为：.【点睛】本题考查复数的计算.
12、合理利用常见结论可使计算简便，如，等等.15. 刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释九章算术，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式是一个确定值（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式，则，即，解得，取正数得.用类似的方法可得_.【答案】2；【解析】分析】根据题干中给出的提示，利用和自身的相似性列出方程求解。【详解】由题得，令原式，则，化简为，解得：.故答案为：2【点睛】本题考查了知识迁移能力，是一道中档题.16.
13、 已知数列的通项公式为，这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为_.【答案】.【解析】【分析】根据数阵,求得,设,前和为,即可求得,根据裂项求和,即可求得答案.【详解】数列的通项公式为,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列,从上到下的行共个数的和设,前和为故答案为：【点睛】本题的解题关键是掌握裂项相消求数列的前和的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17. 设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的
14、角平分线上.（1）求复数；（2）若为纯虚数，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，且，由条件可得，由联立的方程组得、的值，即可得到的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解【详解】解：（1）设，.由题意：.，得，联立，解得，得.（2）由（1）可得所以由题意可知解得且且所以【点睛】本题主要考查复数的基本概念，复数的几何意义，属于基础题18. 在新冠肺炎流行期间，为了指导不同人群科学合理选择和使用口罩，现在对口罩的使用范围进行调查.现随机抽取40人进行调查，其中45岁以下的有20人.在接受调查的40人中，对于这种口罩了解的占50%，在了解的人中45岁以上（含45岁）的人数
15、占.（1）将答题卡上的列联表补充完整；了解不了解总计45岁以下45岁以上（含45岁）总计40（2）判断是否有99%的把握认为对这种口罩的了解与否与年龄有关.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）答案见解析；（2）有99%的把握认为对这种口罩的了解与否与年龄有关.【解析】【分析】（1）根据题意先计算出对于这种口罩了解的人有20人，其中45岁以上（含45岁）的人数有5人，完成表格；（2）由题意先求出，然后再作判断.【详解】（1）由题意可得对于这种口罩了解的人数为，则45岁以上人对这种口罩了解的人数为.故列联表如下：了
16、解不了解总计45岁以下1552045岁以上（含45岁）51520总计202040（2）由题意可得，因为，所以有99%的把握认为对这种口罩的了解与否与年龄有关.【点睛】本题考查完善列联表，考查独立性检验，属于基础题.19. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）过点作直线的垂线，交曲线于，两点，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由直线的参数方程消去参数即可求出直线的普通方程，由曲线的极坐标方程，根据求出曲线的直角坐标方程（2）首先求出过点与直线垂直的直线的
17、参数方程，再代入抛物线方程，根据直线的参数方程的参数的几何意义计算可得；【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，曲线的极坐标方程为，所以根据，所以曲线的直角坐标方程为.（2）过点与直线垂直的直线的参数方程为（为参数），代入，可得设，对应的参数分别为，异号故【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数的几何意义的应用，属于中档题20. 对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立.（1）试给出这个常数的值（不需要证明）；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，利用特
18、殊值法，令可得，分析即可得的值；（2）由分析法的思路：先证明，再类比可以证明，综合即可得证明；【详解】解：（1）根据题意，由于对任意正数，恒成立，令得：，故；（2）先证明.，要证上式，只要证，即证，即证，这显然成立.再证明.，要证上式，只要证，即证，即证，这显然成立.【点睛】考查用分析法证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，找出的值，是解题的突破口，属于中档题21. 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程，并指出是何种曲线；（2）若射线与曲线交于、两点，射线与曲线交于、两
19、点，求面积的取值范围.【答案】（1）；曲线是以为圆心，2为半径的圆；（2）.【解析】【分析】（1）先把曲线的参数方程为化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程；（2）由题意令，则，从而得，进而可求出面积的取值范围.【详解】解：（1）由（为参数）化为普通方程为，整理得极坐标方程曲线是以为圆心，2为半径的圆.（2）令，.面积的取值范围为【点睛】此题考查了参数方程化为普通方程，普通方程化极坐标方程，利用极坐标的几何意义表示弦长，考查了运算能力，属于中档题.22. 某芯片公司为制定下一年研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立
20、了两个函数模型:，其中均为常数，为自然对数的底数现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值令，经计算得如下数据：（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？ 附：相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； 参考数据：，【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元.【解析】【分析】（1）由
21、相关系数求出两个系数，比较大小可得；（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；（ii）把代入（i）中的回归方程可得值【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性解：（1），则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好 （2）（i）先建立关于的线性回归方程.由，得，即由于，所以关于的线性回归方程为， 所以，则（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，代入得，又，所以，所以，所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性