1、2 坐标系与参数方程 真题热身1(2011陕西)在直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，B 分别在曲线 C1：x3cos，y4sin(为参数)和曲线 C2：1 上，则 AB 的最小值为_解析 C1：(x3)2(y4)21，C2：x2y21，两圆心之间的距离为 d 32425.A曲线 C1，B曲线 C2，（|AB|）min523.3 2(2010广东)在极坐标系(，)(00)的参数方程为x2pt2y2pt.分类突破 一、参数方程例 1 过 点 P(3,0)且 倾 斜 角 为 30 的 直 线 和 曲 线xt1t，yt1t(t 为参数)相交于 A、B 两
2、点，则线段|AB|的长为_解析 直线的参数方程为x3 32 s，y12s(s 为参数)，又曲线xt1t，yt1t(t 为参数)可以化为 x2y24，将直线的参数方程代入上式，得 s26 3s100.设 A、B 对应的参数分别为 s1、s2，s1s26 3，s1s210.|AB|s1s2|(s1s2)24s1s22 17.答案 2 17归纳拓展 有些题目用参数方程解决起来不方便，这时，我们一般将参数方程转化为熟悉的普通方程，再结合我们以前学过的知识来解决这体现了从未知到已知，从不熟悉到熟悉的转化思想，同时会简化运算提高做题的准确率变式训练 1 直线 y2x12与曲线xsin，ycos 2(为参数
3、)的交点坐标是_解析 xsin ycos 2 xsin，y2cos2 112sin2，代入得 y12x22x2y1，y2x12，2x2y1，解方程得x12，y12，交点坐标为(12，12)12，12二 极坐标方程例 2 在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为 sin(4)1，圆 C 的圆心是 C(1，4)，半径为 1.则圆 C 的极坐标方程为_解析 设 O 为极点，OD 为圆 C 的直径，A(，)为圆 C 上的一个动点，则AOD4 或AOD4，OAODcos(4)或 OAODcos(4)，所以圆 C 的极坐标方程为 2cos(4)2cos(4)归纳拓展 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，
4、只要运用公式 xcos 及 ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 cos，sin，2 的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验变式训练 2(1)(2011江西)若曲线的极坐标方程为 2sin 4cos，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_解析 2sin 4cos，22sin 4cos，x2y22y4x，即 x2y22y4x0.x2y22y4x0(2)在极坐标系中，由三条直线 0，3，c
5、os sin 1围成图形的面积是_解析 将参数方程 0，3，cos sin 1，化为普通方程为 y0，y 3x，xy1，联立y 3x，xy1，得交点312，3 32.所围成三角形的面积为 S1213 323 34.3 34三、综合应用例 3(2010福建改编)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x3 22 ty 5 22 t(t 为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 2 5sin.(1)圆 C 的直角坐标方程为_；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B.若点 P 的坐标为(3，5)，则|P
6、A|PB|_.解析 方法一(1)由 2 5sin，得 x2y22 5y0，即 x2(y 5)25.(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得(3 22 t)2(22 t)25，即 t23 2t40.由于(3 2)24420，故可设 t1，t2 是上述方程的两实根，所以t1t23 2，t1t24.又直线 l 过点 P(3，5)，故由上式及 t 的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23 2.方法二(1)同方法一(2)因为圆 C 的圆心为点(0，5)，半径 r 5，直线 l 的普通方程为 yx3 5.由x2(y 5)25，yx3 5得 x23x20.解得x1，y2 5 或x2，y
7、1 5.不妨设 A(1,2 5)，B(2,1 5)，又点 P 的坐标为(3，5)，故|PA|PB|2 2 23 2.答案(1)x2(y 5)25(2)3 2变式训练 3 已知直线 l 的参数方程为x 312ty7 32 t(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为x4cos y4sin(为参数)，若直线 l与曲线 C 相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长为_解析 因为曲线 C 的普通方程为 x2y216，把 x 312ty7 32 t代入方程 x2y216，得 t28 3t360，则 t1t28 3，t1t236，所以线段 AB 的长为|AB|t1t2|(t1t2)24t1t24 3.答案 4
8、 3规范演练 1设直线参数方程为x2t2y332t(t 为参数)，则它的截距式方程为_解析 把直线参数方程x2t2y332t，化为直角坐标方程为 3xy9，x3y91.x3y912(2011湖南)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xcos，y1sin (为参数)，在极坐标系(与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，曲线 C2 的方程为(cos sin)10，则 C1与 C2 的交点个数为_解析 曲线 C1 化为普通方程为圆：x2(y1)21，曲线 C2 化为直角坐标方程为直线：xy10.因为圆心(0,1)在直线 xy10 上，故直
9、线与圆相交，交点个数为 2.2 3(2011广东)已知两曲线参数方程分别为x 5cos，ysin(0)和x54t2，yt(tR)，它们的交点坐标为_解析 将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x25y21(0y1，5x 5)和 y245x，联立解得交点坐标为1，2 55.1，2 554设直线 l1 的参数方程为x1t，y13t(t 为参数)，直线 l2 的方程为 y3x4，则 l1 与 l2 间的距离为_解析 将参数方程x1t，y13t(t 为参数)化为普通方程 3xy20，因此 l1 与 l2 间的距离为 d|42|32123 105.3 1055极坐标方程 324cos 表示的曲线是_解析
10、极坐标方程化为234cos.4x24y216x224x9.可化为(x1)214y2341，表示双曲线双曲线6直线x3at，y14t(t 为参数)恒过定点_解析 将参数方程化为普通方程得：x3a4(y1)，恒过定点(3，1)(3，1)7点 M5，6 为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：5，6；5，76；5，6；5，76.其中可以作为点 M 关于极点对称点的坐标的是_(填序号)8直线 l：3x4y120 与圆 C：x12cos，y22sin(为参数)公共点个数为_解析 圆的方程可化为(x1)2(y2)24，其圆心为 C(1,2)，半径为 2.由于圆心到直线 l 的距离d|3(1)4212|32
11、42752，即直线 l 与圆相交，故直线 l 与圆 C 的公共点个数为 2.2 9直线x24t，y13t(t 为参数)被圆x25cos，y15sin(为参数)所截得的弦长为_解析 将直线化为普通方程：3x4y100；将圆化为普通方程为：(x2)2(y1)225，圆心为(2,1)，半径为 5，则圆心到直线 3x4y100 的距离d|324110|3242205 4，则弦长的一半为 3，则弦长为 6.6 10一条直线的参数方程是x112ty5 32 t(t 为参数)，另一条直线的方程是 xy2 30，则两直线的交点与点(1，5)间的距离是_4 311已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 6，则直线 l 的参数方程为_解析 直线 l 的参数方程为x1tcos6y1tsin6，故答案为x1 32 ty112t(t 为参数)x1 32 ty112t(t 为参数)12一个圆的参数方程为x2cos y2sin(为参数)，一条直线的方程为 3x4y90，那么这条直线与圆的位置关系是_解析 圆心(0,0)到直线 3x4y90 距离为93242952，故直线与圆相交相交返回