1、专题八 系列 4 选讲 1 几何证明选讲 真题热身 1(2011陕西)如图，BD，AEBC，ACD90，且 AB6，AC4，AD12，则 BE_.解析 AC4，AD12，ACD90，CD2AD2AC2128，CD8 2.又AEBC，BD，ABEADC，ABADBEDC，BEABDCAD 68 2124 2.4 22(2010广东)如图，在直角梯形 ABCD 中，DCAB，CBAB，ABADa，CDa2，点 E，F 分别为线段 AB，AD 的中点，则 EF_.解析 连接 DE，由于 E 是 AB 的中点，故 BEa2.又 CDa2，ABDC，CBAB，四边形 EBCD 是矩形在 RtADE 中，
2、ADa，F 是 AD 的中点，故 EFa2.a2考点整合 1平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等2平行截割定理(平行线分线段成比例定理)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例3相似三角形的判定定理判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似判定定理 2：如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似4相似三角形的性质(1)
3、相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方5直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项6圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半7圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数8圆内接四边形的性质定理：(1)圆的内接四边形的对角互补(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角9圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆10圆的切线的判定定理：经过半径的外端并
4、且垂直于这条半径的直线是圆的切线11切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径12弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角13相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等14切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项分类突破一、相似三角形与比例线段例 1 如图，AEBFCGDH，AB12BCCD，AE12，DH16，AH 交 BF 于 M，则 BM_，CG_.解析 AEBFCGDH，AB12BCCD，AE12，DH16，ABAD14，BMDHABAD.BM16 14，BM4.取 BC 的中点 P，作 PQDH 交 EH 于 Q
5、，如图，则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线，PQ12(AEDH)12(1216)14.同理：CG12(PQDH)12(1416)15.答案 4 15归纳拓展 有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果变式训练 1 如右图，在梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB2CD，E、F 分别是AB、BC 的中点，EF 与 BD 相交于点M.若 DB9，则 BM_.解析 E 是 AB 的中点，AB2EB.AB2CD，CDEB.又 ABCD，四边形 CBED 是平行四边形CBDE，DEMBFM
6、，EDMFBM，EDMFBM.DMBMDEBF.F 是 BC 的中点，DE2BF.DM2BM，BM13DB3.3 点评 与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用：相交弦定理；割线定理；切割线定理；相似三角形的判定和性质等 二、与圆有关的比例线段例 2如图，PC 是O 的切线，C 为切点，PAB 为割线，PC=4，PB=8，B=30，则 BC=.解析 连接 AC，PC 2=PAPB，PA=2，AC P=B=30，在PAC 中，由正弦定理得sinPAC=1，从而PAC=90，P=60，PC B=90，,sin430sin2PAC224 3.BCPBPC4 3变式训练 2 如图所示，PT 为O 的切线，
7、T 为切点，PA 是割线，它与O 的交点是 A、B，与直径 CT 的交点是 D，已知 CD2，AD3，BD4，那么 PB_.解析 由相交弦定理，得 CDDTADBD，DTADBDCD 342 6，PT2(PB4)262PB(PB7)解得 PB20.20 三、有关圆的综合应用例 3 如右图，梯形 ABCD 内接于O，ADBC，过 B 引O 的切线分别交 DA、CA 的延长线于E、F.已知 BC8，CD5，AF6，则 EF 的长为_解析 BE 切O 于 B，ABEACB.又 ADBC，EABABC，EABABC，BEACABBC.又 AEBC，EFAFBEAC，ABBCEFAF.又 ADBC，AB
8、CD，CDBCEFAF，58EF6，EF308 154.154AB=CD，）归纳拓展 证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；若两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补变式训练 3(2010辽宁改编)如图，ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.若ABC 的面积 S12ADAE，则BAC_.解析 由已知条件，可得BAECAD.因为AEB 与ACD 是同弧所对的圆周角，所以AEBACD.故ABEADC.所以ABAEADAC，即 ABACADAE.又 S12ABACsinBAC，且 S12ADAE，故
9、 ABACsinBACADAE，则 sinBAC1.又BAC 为ABC 的内角，所以BAC90.规范演练 1(2011湖南)如图，A，E 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC4，ADBC，垂足为 D，BE 与 AD 相交于点 F，则 AF的长为_解析 如图，连接 CE，AO，AB.根据 A，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得CEB90，CBE30，AOB60，故AOB 为等边三角形，AD 3，ODBD1，DF 33，AFADDF2 33.2 332(2010北京)如图，O 的弦 ED，CB的延长线交于点 A.若 BDAE，AB4，BC2，AD3，则 DE_，CE_.解析 由圆的割
10、线定理知：ABACADAE，AE8，DE5，连接 EB，EDB90，EB 为直径，ECB90.由勾股定理，得EB2DB2ED2AB2AD2ED21692532.在 RtECB 中，EB2BC2CE24CE2，CE228，CE2 7.5 2 73(2010陕西)如图，已知 RtABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm,4 cm，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D，则BDDA _.解析 C90，AC 为圆的直径，BC 为圆的切线，AB 为圆的割线BC2BDBA，即 16BD5，解得 BD165.DABABD5165 95.BDDA169.1694(2011广东)如图所示，过圆
11、O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A，B，且 PB7，C 是圆上一点使得 BC5，BACAPB，则 AB_.解析 根据圆的性质有PABACB，而BACAPB，故PABACB，故有ABPBBCAB，将 PB7，BC5 代入解得AB 35.355(2011天津)如图，已知圆中两条弦 AB 与 CD相交于点 F，E 是 AB 延长线上一点，且 DFCF 2，AFFBBE421.若 CE与圆相切，则线段 CE 的长为_解析 设 BEa，则 AF4a，FB2a.AFFBDFFC，8a22，a12，AF2，FB1，BE12，AE72.又CE 为圆的切线，CE2EBEA127274，CE 72.7
12、26如图，EB、EC 是O 的两条切线，B、C 是切点，A、D是O 上两点，如果E46，DCF32，则A 的度数是_解析 如图，连接 OB、OC、AC，根据弦切角定理，可得BADBACCAD12(180E)DCF673299.99 7如图，已知梯形 ABCD 中，上底长为 2，下底长为 6，高为 4，对角线 AC 和 BD相交于点 P，若 AP 的长为 4，则 PC_，ABP 和CDP 的高的比为_解析 ABCD，APBCPD.APPCABCD，即 4PC26，解得 PC12.SABPSCDPABCD226219.从而这两个三角形的高的比为 13.12 13 8如图，ABC 是O 的内接三角形
13、，PA 是O 的切线，PB 交 AC 于点 E，交O 于点 D，若 PEPA，ABC60，PD1，BD8，则 BC_.解析 根据切割线定理，得 PA2PDPB9，故 PA3.又根据弦切角定义，可得PACABC60，且 PEPA，故PAE为等边三角形所以 BE6，DE2.根据相交弦定理，可得BEDEAECE，解得 CE4.在BCE 中用余弦定理，可解得BC2 7.2 79.(2010天津)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P.若PB1，PD3，则BCAD的值为_解析 PP，APCB，PCBPAD.PBPDBCAD13.1310如图，PA 切O 于点
14、A，割线 PBC 经过圆心 O，OBPB1，OA 绕点 O 逆时针旋转 60到 OD，则 PD 的长为_解析 方法一 连接 AB，PA 切O 于点 A，B 为 PO 中点，ABOBOA，AOB60，POD120.在POD 中，由余弦定理得PD2PO2DO22PODOcosPOD414(12)7.PD 7.方法二 过 D 作 DEPC，垂足为 E，POD120，DOE60，可得 OE12，DE 32，在 RtPED 中，PD PE2DE2254 34 7.11(2010湖南)如图所示，过O 外一点 P 作一条直线与O交于 A，B 两点已知 PA2，点 P 到O 的切线长 PT4，则弦 AB 的长为_解析 由切割线定理知 PT2PAPB，PB422 8.弦 AB 的长为 PBPA826.6 12已知圆 O 的半径为 3，从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC，圆心 O 到 AC 的距离为 2 2，AB3，则切线 AD的长为_解析 作 OEBC 垂足为 E，连接 OC，由题意知，OC3，OE2 2，则 CEBE1，所以 AC5，由切割线定理得，AD2ABAC15，所以 AD 15.15返回
