1、34.1 基本不等式的证明学习目标预习导学典例精析栏目链接情 景 导 入如下图所示，以线段ab的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使ACa，CBb，过点C作垂直于直径AB的弦DD，连接AD、DB，则DC能否用a，b表示，DD与AB的关系如何？由此你得到怎样的不等式？学习目标预习导学典例精析栏目链接课 标 点 击 学习目标预习导学典例精析栏目链接 1探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法2理解基本不等式的几何意义，并掌握取“”的条件 学习目标预习导学典例精析栏目链接要 点 导 航 知识点1 基本不等式学习目标预习导学典例精析栏目链接1如果 a、b 是正数，那么ab2 ab(
2、当且仅当 ab 时取“”号)2对基本不等式的理解(1)称ab2 为 a，b 的算术平均数，称 ab为 a，b 的几何平均数基本不等式可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)abab2 ab.也就是说若 ab，则ab2 ab；若ab2 ab，则(a b)20，即 ab；若 ab，则ab2 ab.这种关系可叙述为：当且仅当 ab 时，基本不等式 abab2 中的等号成立若 a 与 b 不能相等，abab2 中的等号就不能成立，例如：x221x222（x22）1x222 中就不能取等号，因为 x221x22，与推出 x21 产生矛盾事实上，令 tx2
3、2，则 t2，易证 f(t)t1t(t2)是增函数，也就是 f(t)的最小值为 f(2)52，即 f(t)不可能等于 2.知识点2 基本不等式的其他形式与拓展学习目标预习导学典例精析栏目链接1基本不等式的四种形式：(1)a2b22ab(a，bR)；(2)aba2b22(a，bR)；(3)ab2 ab(a，bR)；(4)abab22(a，bR)注意：(1)前两种形式的前提条件是 a、b 为实数，后两种形式的前提条件是 a、b 为正实数(2)四种形式等号成立的条件都是 ab.学习目标预习导学典例精析栏目链接2平方平均数a2b22，算术平均数ab2，几何平均数 ab，调和平均数 21a1b的大小顺序
4、为a2b22ab2 ab 21a1b.注意：这里 a、b 都为正实数，当且仅当 ab 时，a2b22ab2 ab 21a1b.3常用的几个不等式：(1)a2b2c2abbcca(a、b、cR，当且仅当 abc 时等号成立)(2)(abc)23(a2b2c2)(a、b、cR，当且仅当 abc 时等号成立)学习目标预习导学典例精析栏目链接典 例 解 析 题型1 利用基本不等式比较大小学习目标预习导学典例精析栏目链接 例 1 若 a0 且 a1，M(1an)(1a)n，N2n1an(nN*)，则 M、N 之间的大小关系是()AMN BMNCMNDM、N 大小关系不定分析：如果用公式展开，计算量很大，
5、且也不好比较大小，如何出现 2n1an 呢？可利用基本不等式 学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：a0 且 a1，1an2 an，(1a)n(2 a)n2n(a)n，(1an)(1a)n2 an2n(a)n2n1an.MN，故选 A.答案：A名师点评：在利用基本不等式比较大小时，注意不等式性质的运用 学习目标预习导学典例精析栏目链接变式迁移1已知 ab0，设 Pb2a a2b，Qab，试比较 P 与 Q 的大小 解析：PQb2a a2b abb2a（a）a2b(b)2b2a（a）2a2b（b）2 b22 a22(ba)2(ab)2Q，即PQ2QQP.题型2 用基本不等式证明不等式学习目标预习
6、导学典例精析栏目链接例 2 若 a、bR，求证：a2b22|ab|.分析：利用基本不等式 a2b22ab 及推论，联想到|a|2|b|22|ab|2ab.可以用已证的基本不等式来证明 证明：a2b2|a|2|b|22|a|2|b|22|ab|，当且仅当|a|b|时取“”号 名师分析：不等式等号成立的条件，往往是学生易忽视的，或有的学生在解答此题时把等号成立的条件写成 ab.排除错误的办法是准确理解基本不等式中等号成立的条件，要在变量指定的取值范围内进行检验学习目标预习导学典例精析栏目链接变式迁移2已知a，b，cR，求证：ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc.证明：ab(ab)bc(bc
7、)ca(ca)a2bab2b2cbc2c2aca2(a2bbc2)(b2cca2)(ab2ac2)2abc2abc2abc6abc.当且仅当abc时取“”号学习目标预习导学典例精析栏目链接3已知 x、y 都是正数，求证：(1)yxxy2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.证明：x，y 都是正数，xy0，yx0，x20，y20，x30，y30.(1)xyyx2xyyx2，即xyyx2.当且仅当 xy 时取“”号 学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)xy2 xy0，x2y22 x2y20，x3y32 x3y30，(xy)(x2y2)(x3y3)2 xy2 x2y22 x3y38x
8、3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.当且仅当 xyz 时取“”号 学习目标预习导学典例精析栏目链接例 3 已知 a，b，cR，且 abc1，求证：1a1b1c9.证明：abc1，1a1b1c abcaabcbabcc 3bacaabcbacbc 学习目标预习导学典例精析栏目链接3baab caac cbbc 32229.当且仅当 abc13时，取等号 名师点评：使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立学习目标预习导学典例精析栏目链接4设实数 x，y 满足 yx20，且 0a1，求证：loga(axay)18loga2.证明：ax0，ay0，axay2 axy.又0a1，loga(axay)loga2 axy12logaaxyloga212(xy)loga2.因为 yx20，loga(axay)12(xx2)loga212x12218loga218loga2.又上式中等号不能同时取到，所以原不等式得证基础巩固