1、核心概念掌握 知识点一 平面与平面平行的判定定理1文字语言：如果 ，那么这两个平面平行2符号语言：02 a03 b04 abP05 a06 b.01 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行3图形语言：如图所示4作用：证明两个平面 07 平行知识点二 平面与平面平行的性质定理1定理：两个平面平行，如果 ，那么两条交线 2符号表示：若 ，则 .3作用：01 另一个平面与这两个平面相交02 平行03，a，b04 ab05 证明或判断线线平行1证明面面平行的方法(1)面面平行的定义(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(3)两个平面同时平行于第三个
2、平面，那么这两个平面平行2平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可(1)两个平面平行，即.(2)第一个平面与第三个平面相交，即 a.(3)第二个平面与第三个平面也相交，即 b.3三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行()(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行()(3)若平面，都与平面 相交，且交线平行，则.()2做一做(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是 ()A一定平行B一定相交C平行或相交D以上判断都不对(2)已知平面
3、，和直线 a，b，c，且 abc，a，b，c，则 与 的关系是_(3)设 a，b 是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列结论：若 a，b，则 ab；若，a，a，则 a；若，A，过点 A 作直线 l，则 l；平行于同一个平面的两个平面平行其中所有正确结论的序号是_(4)平面 平面，直线 l，则直线 l 与平面 的位置关系是_答案(1)C(2)相交或平行(3)(4)l 或 l答案 核心素养形成 题型一平面与平面平行判定定理的理解例 1 下列命题中正确的是()若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内任何一
4、条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行A B C D解析 对于：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在，故错误；对于：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，此时两平面不一定平行如果这无数条直线都与两平面的交线平行时，两平面可以相交，故错误；对于：一个平面内任何一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行这是两个平面平行的定义，故正确；解析 对于：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行这是两个平面平行的判定定理，故正
5、确故选 D.解析 答案 D答案 应用平面与平面平行判定定理的注意事项(1)平面与平面平行判定定理把判定面面平行转化为判定线面平行，同时应注意是两条相交直线都平行于另一平面(2)解决此类问题，若认为命题正确，必须用相关定理严格证明；而要否定它，只需要举出一个反例，此时借用常见几何模型是非常有效的方法设直线 l，m，平面，下列条件能得出 的有()l，m，且 l，m；l，m，且 lm，l，m；l，m，且 lm；lmP，l，m，且 l，m.A1 个 B2 个 C3 个 D0 个答案 A答案 解析 错误，因为 l，m 不一定相交；错误，一个平面内有两条直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；错误，两个
6、平面可能相交；由面面平行的判定定理可知，正确.解析 题型二平面与平面平行的判定例 2 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，E，F，N 分别是 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 的中点求证：(1)E，F，B，D 四点共面；(2)平面 MAN平面 EFDB.证明(1)如图，连接 B1D1，E，F 分别是边 B1C1，C1D1的中点，EFB1D1.而 BDB1D1，BDEF.E，F，B，D 四点共面答案(2)易知 MNB1D1，B1D1BD，MNBD.又 MN平面 EFDB，BD平面 EFDB，MN平面 EFDB.连接 MF，M，F 分别是 A1B1，C1D1的中点，MFA1D1
7、，MFA1D1，MFAD，MFAD，四边形 ADFM 是平行四边形，AMDF.又 AM平面 BDFE，DF平面 BDFE，AM平面 BDFE.AMMNM，平面 MAN平面 EFDB.答案 线线平行、线面平行与面面平行的转化(1)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题此即为面面平行判定定理的推论产生的依据(2)在转化为线面平行证面面平行时，首先观察面内已有的直线是否平行，若不平行，再利用条件有针对性地构造平面找出平行直线如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：(1
8、)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明(1)因为 G，H 分别是 A1B1，A1C1的中点，所以 GH 是A1B1C1 的中位线，所以 GHB1C1.又因为 B1C1BC，所以 GHBC，所以 B，C，H，G 四点共面(2)因为 E，F 分别是 AB，AC 的中点，所以 EFBC.因为 EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，所以 EF平面 BCHG.答案 因为 A1GEB，A1GEB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1EGB.因为 A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG，所以 A1E平面 BCHG.因为 A1EEFE，所以平面 EFA1平面 BC
9、HG.答案 题型三平面与平面平行性质定理的应用例 3 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ与平面 PAO 平行？解 如图，设平面 D1BQ平面 ADD1A1D1M，点 M 在 AA1 上，由于平面 D1BQ平面 BCC1B1BQ，平面 ADD1A1平面 BCC1B1，由面面平行的性质定理可得 BQD1M.答案 假设平面 D1BQ平面 PAO，由平面 D1BQ平面 ADD1A1D1M，平面PAO平面 ADD1A1AP，可得 APD1M，所以 BQAP.因为 P 为
10、DD1 的中点，所以 Q 为 CC1的中点故当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.答案 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤如图，已知 AB，CD 是夹在两个平行平面，之间的线段，M，N 分别为 AB，CD 的中点求证：MN.证明 若 AB，CD 在同一平面内，则平面 ABDC 与，的交线分别为BD，AC.，ACBD.M，N 分别为 AB，CD 的中点，MNBD.又 BD，MN，MN.答案 若 AB，CD 异面，如图，过 A 作 AECD 交 于点 E，取 AE 的中点 P，连接 MP，PN，BE，ED.AECD，AE，CD 确定平面 AEDC，且与，的交线分别为 ED，AC
11、.，EDAC.又 P，N 分别为 AE，CD 的中点，PNED，PN，同理可证 MPBE，MP，平面 MPN，又 MN平面 MPN，MN.答案 题型四直线、平面平行的综合应用例 4 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，如图(1)求证：平面 AB1D1平面 C1BD；(2)试找出体对角线 A1C 与平面 AB1D1 和平面 C1BD 的交点 E，F，并证明：A1EEFFC.解(1)证明：因为在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD 綊 B1C1，所以四边形 AB1C1D 是平行四边形，所以 AB1C1D.又因为 C1D平面 C1BD，AB1平面 C1BD.所以 AB1平面 C1BD.同理
12、 B1D1平面 C1BD.又因为 AB1B1D1B1，AB1平面 AB1D1，B1D1平面 AB1D1，所以平面 AB1D1平面 C1BD.答案 (2)如图，连接 A1C1 交 B1D1于点 O1，连接 AO1 与 A1C 交于点 E.又因为 AO1平面 AB1D1，所以点 E 也在平面 AB1D1内，所以点 E 就是 A1C 与平面 AB1D1的交点；连接 AC 交 BD 于点 O，连接 C1O 与 A1C 交于点 F，则点 F 就是 A1C 与平面 C1BD 的交点答案 下面证明 A1EEFFC.因为平面 A1C1C平面 AB1D1EO1，平面 A1C1C平面 C1BDC1F，平面 AB1
13、D1平面 C1BD，所以 EO1C1F.在A1C1F 中，O1 是 A1C1的中点，所以 E 是 A1F 的中点，即 A1EEF；同理可证 OFAE，又因为 O 为 AC 的中点，所以 F 是 CE 的中点，即CFFE，所以 A1EEFFC.答案 三种平行关系的相互转化线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行相互转化相互间的转化关系如图因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定理，并进一步理解转化的数学思想，是解决“
14、平行关系”问题的关键所在如图所示，P 是ABC 所在平面外一点，平面 平面 ABC，分别交线段 PA，PB，PC 于 A，B，C.若PAAA23，求SABCSABC 的值解 平面 平面 ABC，平面 PAB平面 AB，平面 PAB平面 ABCAB，ABAB.同理可证 BCBC，ACAC.BACBAC，ABCABC，ACBACB.ABCABC.又 PAAA23，PAPA25.ABAB25.SABCSABC425.答案 随堂水平达标 1已知直线 l，m，平面，下列命题正确的是()Aml，lmBl，m，l，mClm，l，mDl，m，l，m，lmM答案 D答案 解析 A 中，m 可能在 内，也可能与
15、平行；B 中，与 可能相交，也可能平行；C 中，与 可能相交，也可能平行；D 中，lmM，且 l，m 分别与平面 平行，依据面面平行的判定定理可知.故选 D.解析 2设，A，B，C 是 AB 的中点，当 A，B 分别在平面，内运动时，得到无数个 AB 的中点 C，那么所有的动点 C()A不共面B当且仅当 A，B 分别在两条直线上移动时才共面C当且仅当 A，B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D不论 A，B 如何移动，都共面答案 D答案 解析 如图所示，A，B分别是 A，B 两点在，上运动后的两点，此时 AB 的中点变成 AB的中点 C，连接 AB，取 AB 的中点 E.连接CE，CE，A
16、A，BB，CC.则 CEAA，解析 CE.CEBB，CE.又，CE.CECEE.平面 CCE平面.CC.所以不论 A，B 如何移动，所有的动点 C 都在过 C 点且与，平行的平面上解析 3如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，若经过 D1B 的平面分别交 AA1，CC1 于点 E，F，则四边形 D1EBF 的形状不可能是()A矩形B菱形C平行四边形D正方形答案 D答案 解析 若点 E 与点 A1重合，则点 F 与点 C 重合，此时四边形 D1EBF 是矩形；若点 E 在 AA1的中点处，则点 F 也在 CC1 的中点处，此时四边形 D1EBF是菱形但不是正方形；其他情况下为普通的平行四
17、边形故选 D.解析 4如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形，E，F，G，H 分别为 PA，PD，PC，PB 的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：平面 EFGH平面 ABCD；PA平面 BDG；EF平面 PBC；FH平面 BDG；EF平面 BDG.其中正确的结论是_答案 答案 解析 还原几何体可知该几何体是一个如图所示的正四棱锥 PABCD，逐一考查所给的命题：易知 EF平面 ABCD，FG平面 ABCD，且 EFFGF，则平面 EFGH平面 ABCD，正确解析 设 AC，BD 的交点为点 O，连接 OG，由三角形中位线的性质可知 OGPA，结合线面平行的判定定理可得
18、 PA平面 BDG，正确由三角形中位线的性质可知 EFDA，又 DABC，故 EFBC，EF平面 PBC，正确由三角形中位线的性质可知，FHBD，结合线面平行的判定定理可知，FH平面 BDG，正确由可知 EFBC，由于直线 BC 与平面 BDG 相交，故 EF平面 BDG不成立，错误解析 5已知在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AA1，CC1 的中点，求证：平面 BDF平面 B1D1E.证明 如图所示，取 BB1的中点 G，连接 EG，C1G，则有 EG 綊 A1B1.答案 又 A1B1 綊 C1D1，EG 綊 C1D1.四边形 EGC1D1 为平行四边形D1E 綊 GC1.又 BG 綊 C1F，四边形 BGC1F 为平行四边形答案 BFGC1.BFED1.BF平面 B1D1E，D1E平面 B1D1E，BF平面 B1D1E.又 BDB1D1，BD平面 B1D1E，B1D1平面 B1D1E，BD平面 B1D1E.又 BDBFB，平面 BDF平面 B1D1E.答案 课后课时精练 点击进入PPT课件
