1、21 数列学习目标预习导学典例精析栏目链接情 景 导 入12010年第16届广州亚运会中国代表团夺得金、银、铜牌数分别为：199，119，98.22006年世界几个主要大国：美国、日本、德国、英国、中国、法国、意大利的GDP(万亿美元)分别为：14.5，4.66，2.73，2.23，2.05，1.97，1.71.32010年7月国内某企业一科室7人的工资为(单位：元)：2 500，2 600，2 700，2 800，2 900，3 000，3 100.以上这些例子中的数字有规律吗？1、2与3有共同点吗？不同点是什么？学习目标预习导学典例精析栏目链接课 标 点 击 学习目标预习导学典例精析栏目链
2、接1了解数列的概念、数列的分类、数列的表示方法2了解数列是一种特殊的函数，理解通项公式的概念，并能通过观察寻找规律，写出一些简单数列的通项公式学习目标预习导学典例精析栏目链接要 点 导 航 知识点1 数列的定义、表示及有关问题学习目标预习导学典例精析栏目链接(1)数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫做数列数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项第n项(2)数列的表示：数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号如第5项可记为a5，a10就表示数列的第10项数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，其中an是数列的第n项，叫做数列的
3、通项，我们常把一般形式的数列简记作an，如数列1，3，5，7，可以简记为2n1学习目标预习导学典例精析栏目链接(3)注意的问题：an与an的关系an与an是两个不同的概念，an是数列，而an是an中的第n项；数列的项与项数数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n；数列与集合的区别集合中的元素具有确定性、无序性和互异性与集合中的元素相比较，数列中的项也有三个性质：(a)确定性：一个数是不是数列中的项是确定的(b)有序性：一个数列不仅由“数”构成，而且与学习目
4、标预习导学典例精析栏目链接这些数的排列次序有关次序对于数列来讲是十分重要的，几个相同数列，如果它们的排列次序不同，构成的数列就不是相同的数列如数列1，2，3，4与数列3，4，2，1是不同的数列，而集合1，2，3，43，4，2，1(c)可重复性：数列中的数可以重复如1，1，1，1，1，；2，2，2，2，.知识点2 数列的通项公式学习目标预习导学典例精析栏目链接如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式例如数列4，5，6，7，8，9，10，其通项公式是ann3(n7)，这里n7表示n取不大于7的正整数，这是因为该数列只有7项；又如数列1
5、，的通项公式是an，这里n取所有正整数，该数列有无穷多项；再如数列1，1，1，1，其通项公式可以写成an(1)n，也可学习目标预习导学典例精析栏目链接以写成 an1，n为奇数，1，n为偶数.这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式，如：素数 2，3，5，7，11，13，从小到大排列而成的数列就没有通项公式，有的数列，虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯学习目标预习导学典例精析栏目链接一如某数前四项为 1，2，3，4，其通项公式可以
6、归纳为 ann，也可写成an(n1)(n2)(n3)(n4)n.再如某数列前3项为2，4，8，其通项公式可写成 an2n，也可写成 ann2n2.由于表示数列的公式不同，由公式写出的后续项也就不一样了因此通项公式的归纳不仅要看数列的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式没有通用的方法可循学习目标预习导学典例精析栏目链接警示(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*或它的有限子集1，2，n为定义域的函数的表达式(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用 1，2，3，替代公式中的 n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可
7、以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项 知识点3 数列的函数性质学习目标预习导学典例精析栏目链接数列作为一种特殊的函数，也具备一些函数所具有的性质，如图象、单调性、有界性、最值等(1)由于anf(n)中，nN*，故函数的图象是一群孤立的点(2)递增数列、递减数列：按照数列的项与项之间的关系an1an或an1an来分，数列可分为递增数列或递减数列，递增数列和递减数列统称为单调数列学习目标预习导学典例精析栏目链接(3)有界性：按照数列的任何一项的绝对值是否都小于某一正常数来分，数列可分为有界数列、无界数列(4)最值：由数列的通项公式可以确定数列中的最大(小)项学习目标预习导学典例精析
8、栏目链接典 例 解 析 题型1 数列的有关概念学习目标预习导学典例精析栏目链接例1 下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由(1)0，1，2，3，4是有穷数列；(2)所有自然数能构成数列；(3)3，1，1，x，5，7，y，11是一个项数为8的数列；(4)数列1，3，5，7，2n1，的通项公式是an2n1(nN*)学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)错误0，1，2，3，4是集合，不是数列(2)正确如将所有自然数按从小到大的顺序排列(3)错误当x、y代表数时为项数为8的数列；当x、y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成(4)错误数列1，3，
9、5，7，2n1，的第n项为2n1，故通项公式为an2n1(nN*)学习目标预习导学典例精析栏目链接名师点评：(1)数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n.(2)数列表示数列a1，a2，a3，an，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别学习目标预习导学典例精析栏目链接变式迁移1已知下列数列：(1)2 000，2 004，2 008，2 012；(2)0，12，23，n1n，；(3)1，12，14，12n1，；(4)1，23，35，（
10、1）n1n2n1，；(5)1，0，1，sinn2，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，摆动数列是_，周期数列是_(将合理的序号填在横线上)学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列因为n1n 11n；(3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为 4.答案：(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)(5)题型2 数列的通项公式及其应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例 2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1，7，13，19，；(
11、2)12，2，92，8，252，；(3)0.8，0.88，0.888，；(4)12，14，58，1316，2932，6164，；(5)32，1，710，917，.学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)符号问题可通过(1)n 或(1)n1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1)n(6n5)(nN*)(2)类似(1)统一分母为 2，则有12，42，92，162，252，因而有 ann22(nN*)(3)将数列变形为89(10.1)，89(10.01)，89(10.001)，an891 110n(nN*)学习目标预习导学典例精析栏目
12、链接(4)各项的分母分别为 21，22，23，24，易看出第 2，3，4 项的分子分别比分母少 3，因此把第 1 项变为232，至此原数列已化为21321，22322，23323，24324，an(1)n2n32n(nN*)学习目标预习导学典例精析栏目链接(5)将数列统一为32，55，710，917，对于分子 3，5，7，9，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn2n1(nN*)，对于分母 2，5，10，17，联想到数列 1，4，9，16，即数列n2，可得分母的通项公式为 cnn21(nN*)，可得原数列的一个通项公式为 an2n1n21(nN*)学习目标预习导学典例精析栏目链接名
13、师点评：此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法，具体方法为：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系 学习目标预习导学典例精析栏目链接变式迁移2写出下列数列的一个通项公式(1)3，33，333，3 333，；(2)1，0，1，0，1，0，1，0，；(3)23，1，107，179，2611，3713，.学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)数列可改写成93，993，99
14、93，9 9993，易得 an13(10n1)(nN*)(2)ansin n2(nN*)(3)an(1)n1n212n1(nN*)学习目标预习导学典例精析栏目链接例 3 已知数列 an 的通项公式为 an3n228n(nN*)(1)写出数列的第 4 项和第 6 项；(2)问49 和 68 是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由解析：(1)an3n228n(nN*)，a434228464，a636228660.(2)令 3n228n49，即 3n228n490，学习目标预习导学典例精析栏目链接n7 或 n73(舍)49 是该数列的第 7 项，即 a749.令 3n228n68，即 3
15、n228n680，n2 或 n343.2N*，343 N*，68 不是该数列的项 学习目标预习导学典例精析栏目链接名师点评：(1)数列的通项公式给出了第 n 项 an 与它的位置序号 n 之间的关系，只要用序号代替公式中的 n，就可以求出数列的相应项(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项，若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项学习目标预习导学典例精析栏目链接变式迁移3已知数列an的通项公式为 an1n（n2）(nN*)，那么 1120是这个数列的第_项解析：1n（n2）1120，n(n2)1012.n10.答案：10题型3 判
16、断一个数列增减性学习目标预习导学典例精析栏目链接例 4 写出数列 1，24，37，410，513，的通项公式，并判断它的增减性分析：用观察法得到数列的通项公式，判断前一项 an与 an1之间的关系，用作差法 解析：数列的通项公式 ann3n2(nN*)又an1ann13（n1）2n3n22（3n1）（3n2）0，an1an.an是递减数列 学习目标预习导学典例精析栏目链接名师点评：(1)对于数列an来说：若 anan1(nN*)，则称数列an为递增数列；若 anan1(nN*)，则称数列an为递减数列；若 an 与 an1 大小关系不定，交替变化，则称数列an为摆动数列；若 anan1，则数列
17、an是常数列(2)数列是一个特殊的函数，因此，判断函数单调性的方法同样适用于数列学习目标预习导学典例精析栏目链接变式迁移4已知数列an的通项公式为 an1n(nN*)求证数列 an 为递减数列 证明：an1n(nN*)，且 an1an 1n11n1n（n1）0，an1an.数列 an 为递减数列题型4 数列的最值学习目标预习导学典例精析栏目链接例 5 已知数列an的通项公式为 ann25n4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值解析：(1)由 n25n40，解得 1n4.nN*，n2，3.数列中有两项是负数 学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)ann2
18、5n4n52294，可知对称轴方程为 n522.5.又nN*，故 n2 或 3 时，an 有最小值，且 a2a3，其最小值为 225242.学习目标预习导学典例精析栏目链接名师点评：求数列an的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由anan1，anan1来确定 n，求最大项可由anan1，anan1来确定 n.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大项或最小项学习目标预习导学典例精析栏目链接变式迁移5已知数列an的通项公式 an(n1)1011n(nN*)，试问数列an有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由 解析：假设数列an中存在最大项 an1an(n2)1011n1(n1)1011n1011n9n11，学习目标预习导学典例精析栏目链接当 n9 时，an1an0，即 an1an；当 n9 时，an1an0，即 an1an；当 n9 时，an1an0，即 an1an.故 a1a2a3a9a10a11a12.所以数列中有最大项，最大项为第 9，10 项，且 a9a101010119.