1、5 导数及其应用(一)真题热身 1(2011重庆)曲线 yx33x2 在点(1,2)处的切线方程为()Ay3x1 By3x5Cy3x5 Dy2x解析 y3x26x，y|x13.曲线 yx33x2 在点(1,2)处的切线方程为 y23(x1)，即y3x1.A 2(2011福建)若 a0，b0，且函数 f(x)4x3ax22bx2在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于()A2 B3C6 D9解析 f(x)12x22ax2b，f(x)在 x1 处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又 a0，b0，ab2 ab，2 ab6，ab9，当且仅当 ab3 时等号成立，ab 的最大值为 9.D 3(2
2、011江西)若 f(x)x22x4ln x，则 f(x)0 的解集为()A(0，)B(1,0)(2，)C(2，)D(1,0)解析 由题意知 x0，且 f(x)2x24x，即 f(x)2x22x4x0，x2x20，解得 x1 或 x2.又x0，x2.C 4(2011湖南)设直线 xt 与函数 f(x)x2，g(x)ln x 的图象分别交于点 M，N，则当|MN|达到最小时 t 的值为()A1 B.12C.52D.22解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|yt2ln t(t0)y2t1t2t21t2(t 22)(t 22)t.当 0t 22 时，y 22 时，y0，可知 y 在此区
3、间内单调递增故当 t 22 时，|MN|有最小值答案 D考点整合 1导数的几何意义(1)函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)就是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即 kf(x0)(2)曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)导数的物理意义：s(t)v(t)，v(t)a(t)2基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xn(nN*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0 且 a1)f(x)a
4、xln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0 且 a1)f(x)1xln af(x)ln xf(x)1x(2)导数的四则运算法则u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2(v(x)0)(3)复合函数求导复合函数 yf(g(x)的导数和 yf(u)，ug(x)的导数之间的关系为 yxf(u)g(x)3函数的性质与导数(1)在区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增；在区间(a，b)内，如果 f(x)0)与曲线 C2：x2y252的一个公共点，若 C
5、1 在 A处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是_解析 设 A(x0，y0)，所以 C1 在 A 处的切线的斜率为 f(x0)3ax20，C2 在 A 处的切线的斜率为 1kOAx0y0，又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，所以(x0y0)3ax201，即y03ax30，又 ax30y01，所以 y032，代入 C2：x2y252，得x012，将 x012，y032代入 yax31(a0)，得 a4.4 二、利用导数研究函数单调性例 2 已知函数 f(x)x2xa(2ln x)，a0，讨论 f(x)的单调性解题导引 确定定义域求导对 a 进行分
6、类讨论确定f(x)的正、负解(1)f(x)的定义域是(0，)，导函数 f(x)12x2axx2ax2x2.设 g(x)x2ax2，二次方程 g(x)0 的判别式 a28.当 0 即 0a0 都有 f(x)0.此时 f(x)是(0，)上的单调递增函数当 0 即 a2 2时，仅对 x 2时，有 f(x)0，对其余的x0 都有 f(x)0.此时 f(x)也是(0，)上的单调递增函数当 0 即 a2 2时，方程 g(x)0 有两个不同的实根 x1a a282，x2a a282，0 x1x2.x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值此时 f(x)在0，a a282，
7、a a282，上单调递增，在a a282，a a282上单调递减归纳拓展 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制变式训练 2 已知函数 f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b 的值；(2)若函数 f(x)在区间(1,1)上不单调，求 a 的
8、取值范围解(1)由函数 f(x)的图象过原点，得 b0，又 f(x)3x22(1a)xa(a2)，f(x)在原点处的切线斜率是3，则a(a2)3，所以 a3，或 a1.(2)由 f(x)0，得 x1a，x2a23.又 f(x)在(1,1)上不单调，即1a1，aa23，或1a23 1，aa23.解得1a1，a12，或 5a0，求函数 yf(x)在区间(a1，a1)内的极值解(1)由函数 f(x)的图象过点(1，6)，得 mn3.由 f(x)x3mx2nx2，得 f(x)3x22mxn，则 g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而 g(x)的图象关于 y 轴对称，所以2m623 0，所以 m3
9、.代入得 n0.于是 f(x)3x26x3x(x2)由 f(x)0 得 x2 或 x0，故 f(x)的单调递增区间是(，0)和(2，)；由 f(x)0，得 0 x2，故 f(x)的单调递减区间是(0,2)(2)由(1)得 f(x)3x(x2)，令 f(x)0 得 x0 或 x2.当 x 变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值由此可得：当 0a1 时，f(x)在(a1，a1)内有极大值 f(0)2，无极小值；当 a1 时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当 1a3 时，f(x)在(a1，a1)内有极小值 f(2)6，无极大值
10、；当 a3 时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得，当 0a1 时，f(x)有极大值2，无极小值；当 1a3 时，f(x)有极小值6，无极大值；当 a1 或 a3 时，f(x)无极值归纳拓展(1)求单调递增区间，转化为求不等式 f(x)0(不恒为 0)的解集即可，已知 f(x)在 M 上递增f(x)0 在 M 上恒成立，注意区别(2)研究函数的单调性后可画出示意图讨论区间与 0,2 的位置关系，画图截取观察即可变式训练 3(2011北京)已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0,1上的最小值解(1)f(x)(xk1)ex.令 f(x)0，得
11、xk1.f(x)与 f(x)的变化情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(0)k；当 0k11，即 1k2 时，由(1)知 f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(k1)ek1；当 k11，即 k2 时，函数 f(x)在0,1上单调递减，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(1)(1k)e.综上，当 k1 时，f(x)在0,1上的最小值
12、为k，当 1k2 时，f(x)在0,1上的最小值为ek1，当 k2 时，f(x)在0,1上的最小值为(1k)e.规范演练 1已知函数 f(x)kcos x 的图象经过点 P(3，1)，则函数图象上过点 P 的切线斜率等于()A1 B.3C 3D1解析 f(3)kcos 31k2，f(x)ksin x，f(3)2sin 3 3，即所求切线斜率为 3.C 2设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0，且 g(3)0，则不等式f(x)g(x)0 知，F(x)0，即当 x0 时，F(x)是增函数又g(3)0，F(x)的图象大体如图所示，f(x)g(x)0；当x(1,2)时，f
13、(x)0，所以f(x)有两个极值点 1 和 2，且当 x2 时函数取得极小值，当x1 时函数取得极大值只有不正确答案 5(2011江西)设 f(x)13x312x22ax.(1)若 f(x)在(23，)上存在单调递增区间，求 a 的取值范围；(2)当 0a0，得 a19.所以当 a19时，f(x)在(23，)上存在单调递增区间即 f(x)在(23，)上存在单调递增区间时，a 的取值范围为(19，)(2)令 f(x)0，得两根 x11 18a2，x21 18a2，所以 f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当 0a2 时，有 x11x24，所以 f(x)在1,4上
14、的最大值为f(x2)又 f(4)f(1)272 6a0，即 f(4)0 时，判断 f(x)在定义域上的单调性；(2)若 f(x)在1，e上的最小值为32，求 a 的值；(3)若 f(x)0，f(x)0，故 f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由(1)知：f(x)xax2.若 a1，则 xa0，即 f(x)0 在1，e上恒成立，此时 f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)a32，a32(舍去)若 ae，则 xa0，即 f(x)0 在1，e上恒成立，此时 f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)1ae32ae2(舍去)若ea1，令 f(x)0，得 xa，当 1xa 时，f(x)0，f(x)在(1，a)上为减函数；当ax0，f(x)在(a，e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)132a e.综上可知，a e.(3)f(x)x2，ln xax0，axln xx3.令 g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)1x6x16x2x，h(x)在1，)上是减函数，h(x)h(1)2，即 g(x)g(x)，当 f(x)x2 在(1，)恒成立时，a1.返回