1、河北省张家口市2021届高三数学三模试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1已知M，N均为R的子集，若N（RM）N，则（）AMNBNMCMRNDRNM2若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3某中学春季运动会上，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩从高到低取前6位进入决赛如果小明知道了自己的成绩后（）A中位数B平均数C极差D方差4“a0”是“点（0，1）在圆x2+y22ax2y+a+10外”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5为了得到函数的图象，可以将函数（）A向右平移单位长度B向右平移个单位长度C向
2、左平移个单位长度D向左平移个单位长度6我国东汉末数学家赵爽在周牌算经中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，则+（）ABCD7（x+2y3z）5的展开式中所有不含y的项的系数之和为（）A32B16C10D648已知a，b（0，3），且4lnaaln4，clog0.30.06，则（）AcbaBacbCbacDbca二、选择题（共4小题）.9已知方程表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则（）AB点（2，0）是该双曲线的一个焦点CD该双曲线的渐近线方程可能为x2y010已知一个圆柱的上、下底面圆周均在球O的表面上，若圆
3、柱的体积为4，则球O的表面积不可能为（）A6B8C12D1611已知正数a，b满足（a1）b1，则（）Aa+b3B24C2log2a+log2b2Da2+b22a12已知函数，则下列结论正确的是（）A函数f（x）是偶函数B函数f（x）的最小正周期为2C函数f（x）在区间（1，2）存在最小值D方程f（x）1在区间（2，6）内所有根的和为10三、填空题（共4小题）.13在等差数列an中，a112a8+6，则a2+a6+a7 142021年3月18日至19日的中美高层战略对话结束后，某校高二1班班主任王老师利用班会时间让学生观看了相关视频，见识了强大的祖国对中美关系的霸气表态，爱国情感油然而生为使班
4、会效果更佳，班主任王老师计划从由3名女生（分别记为甲、乙、丙）（分别记为A，B，C，D）组成的学习小组中选出4名进行观后体会交流，则男生A和女生甲没有被同时选中的概率为 15若对任意的非零实数a，均有直线l：yax+b与曲线相切 16已知为椭圆的右焦点，B两点，P为AB的中点，且OFP外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为 四、解答题（共6小题，满分72分）17已知数列an的前n项和为An，数列bn的前n项和为Bn，且（1）求anbn的通项公式；（2）若，求数列anbn的前n项和Tn18在四边形ABCD中，ABCD，AB1，BD2，且sinDBCsinDCB（1）求AD的长；（2）求ABC的面积1
5、9某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展、百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，并由县政府公开招聘事业编制教师招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，第一题考查教育心理学知识，答对得10分；第二题考查学科专业知识，答对得10分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布N（65，152），80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；（2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为，第三题被评为优秀的概率为，每道题正确与否、优秀与否互不影响附：若随机变量XN（，2），则P（X+）0.6827，P
6、（2X+2），P（3X+3）0.997320如图，在四棱锥PABCD中，PAPBAB，且PBC2PAD90（1）求证：平面PAD平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值21已知抛物线C：y24px（p0）的焦点为F，且点M（1，2）（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l：xm（y+2）50与抛物线C交于A，B两点？若存在，求出m的值，请说明理由22已知函数f（x）x3xalnx（aR）（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a3时，求证：对任意的x1，x21，+），且x1x2，有2f（x2）2f（x1）+（x1x2）f（x1）+f（x2）0恒成
7、立参考答案一、选择题（共8小题）.1已知M，N均为R的子集，若N（RM）N，则（）AMNBNMCMRNDRNM解：由题意知，RMN，其韦恩图如图所示，由图知，只有D正确故选：D2若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：由已知得，所以12i，所以在复平面内对应的点（8故选：D3某中学春季运动会上，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩从高到低取前6位进入决赛如果小明知道了自己的成绩后（）A中位数B平均数C极差D方差解：12位同学参赛，按成绩从高到低取前6位进入决赛，因此可根据中位数判断小明是否能进入决赛故选：A4“a0”是“点（0，1）在圆x
8、2+y22ax2y+a+10外”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：将x2+y27ax2y+a+13化为标准方程，得（xa）2+（y1）3a2a当点（0在圆x2+y22ax5y+a+10外时，有解得a1所以“a3”是“点（0，1）”在圆x7+y22ax2y+a+10外”的必要不充分条件故选：B5为了得到函数的图象，可以将函数（）A向右平移单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度解：，将函数的图象向右平移，可得f（x）的图象，故选：A6我国东汉末数学家赵爽在周牌算经中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”
9、，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，则+（）ABCD解：以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，建立如图直角坐标系，设|EF|1由E为AF的中点，可得E（0，8），1），0），8），2），所以，因为，所以（1，5）+（1，即解得 则故选：D7（x+2y3z）5的展开式中所有不含y的项的系数之和为（）A32B16C10D64解：在（x+2y3z）7的展开式中，通项公式为若展开式中的项不含y，则r65展开式中的所有项令xz1，得这些项的系数之和为（3）532，故选：A8已知a，b（0，3），且4lnaaln4，clog0.30.06，则（）AcbaBacbCbacD
10、bca解：由4lnaaln43aln2，得令，则，所以当x（3，e）时，f（x）单调递增；当x（e，+）时，f（x）单调递减又f（a）f（4），f（b）f（16）又clog0.33.06log0.3（5.20.2）log0.35.2+1，log7.30.8+1log0.40.3+42，所以ca，所以bac故选：C二、选择题（共4小题）.9已知方程表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则（）AB点（2，0）是该双曲线的一个焦点CD该双曲线的渐近线方程可能为x2y0解：因为方程表示的曲线是双曲线，所以（m22）（m2+2）3，解得；将化为，故选项B错误；因为2m3+24，所以；因为双曲线的渐近线斜率的
11、平方，所以选项D错误故选：AC10已知一个圆柱的上、下底面圆周均在球O的表面上，若圆柱的体积为4，则球O的表面积不可能为（）A6B8C12D16解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则所以，所以，所以当h（0，2）时6）0；当h（2，（R3）0，所以当h2时，R2有最小值此时球O的表面积有最小值，且最小值为，即球O的表面积S球O12故选：AB11已知正数a，b满足（a1）b1，则（）Aa+b3B24C2log2a+log2b2Da2+b22a解：由（a1）b1，得，又b0，所以，当且仅当b，即b1时取等号；因为，所以当b2时，此时；，当且仅当b，即b1时取等号，所以2log5a+log2b2，故
12、C正确；又（a5）2+b26（a1）b2，当且仅当a8b时取等号，所以a2+b28+2a2a，故D正确故选：ACD12已知函数，则下列结论正确的是（）A函数f（x）是偶函数B函数f（x）的最小正周期为2C函数f（x）在区间（1，2）存在最小值D方程f（x）1在区间（2，6）内所有根的和为10解：，A.，所以f（x）是偶函数；B因为f（0）1，f（0）f（2），选项B错误；C当x（1，所以因为，所以f（x）在区间，在区间，所以f（x）在区间（6，不存在最小值；D因为f（x）f（x+4），当x（2，6）时，因为，所以f（x）在（2同理，可得f（x）在（0因为f（0）2，f（2）f（2）1，5）内有
13、5个根又所以f（x）的图象关于直线x8对称，所以方程f（x）1在区间（2故选：AD三、填空题（共4小题）.13在等差数列an中，a112a8+6，则a2+a6+a718解：设等差数列an的公差为d，由a112a8+8，得2a8a118，即a83da56，所以a2+a3+a73a518故答案为：18142021年3月18日至19日的中美高层战略对话结束后，某校高二1班班主任王老师利用班会时间让学生观看了相关视频，见识了强大的祖国对中美关系的霸气表态，爱国情感油然而生为使班会效果更佳，班主任王老师计划从由3名女生（分别记为甲、乙、丙）（分别记为A，B，C，D）组成的学习小组中选出4名进行观后体会交
14、流，则男生A和女生甲没有被同时选中的概率为解：从3名女生和4名男生组成的学习小组中选4名共有（种）选法，男生A和女生甲被同时选中有种）选法，故所求概率故答案为：15若对任意的非零实数a，均有直线l：yax+b与曲线相切解：设切点横坐标为m，因为，所以，又a3，所以，将其代入yax+b，有a，解得，所以，所以直线l必过定点故答案为：16已知为椭圆的右焦点，B两点，P为AB的中点，且OFP外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为解：因为OFP外接圆的面积为，所以其外接圆半径为又OFP是以OF为底边的等腰三角形，设OFP，则OPF2，所以，所以，所以或不妨设点P在x轴下方，所以或又根据点差法可得，所以或此
15、时焦点在y轴上因为为椭圆，所以，故椭圆C的长轴长为故答案为：2四、解答题（共6小题，满分72分）17已知数列an的前n项和为An，数列bn的前n项和为Bn，且（1）求anbn的通项公式；（2）若，求数列anbn的前n项和Tn解：（1）记数列anbn的前n项和为Sn，所以，所以当n2时，两式作差，得当n2时，因为当n1时，S1a4b12，也符合上式，所以anbn的通项公式为（2）由（1）知因为，所以，所以数列anbn的前n项和.所以数列anbn的前n项和18在四边形ABCD中，ABCD，AB1，BD2，且sinDBCsinDCB（1）求AD的长；（2）求ABC的面积解：（1）因为在四边形ABCD
16、中，ABCD在DBC中，由sinDBCsinDCB及正弦定理可得BDCD2设ADx在ABD和ACD中，由及余弦定理，得，所以5（x2+16）（x2+45）解得，即（2）在ACD中，得AD8+CD2AC2，所以ADCD，所以所以ABC的面积为19某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展、百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，并由县政府公开招聘事业编制教师招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，第一题考查教育心理学知识，答对得10分；第二题考查学科专业知识，答对得10分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布N（
17、65，152），80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；（2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为，第三题被评为优秀的概率为，每道题正确与否、优秀与否互不影响附：若随机变量XN（，2），则P（X+）0.6827，P（2X+2），P（3X+3）0.9973【解答】解（1）因为X服从正态分布N（65，152），所以，因为20007.15865317，所以进入面试环节的人数约为317人（2）记该应聘者第i（i1，2）题答对为事件Ai，第8题优秀为事件B，Y的可能取值为5，15，35，则，所以Y的分布列为：Y5152535P所以Y的数学期望为20如图，在四棱锥PABCD中，
18、PAPBAB，且PBC2PAD90（1）求证：平面PAD平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值解：（1）证明：如图，在平面PAD内，垂足为H因为PBC90，所以PBBC，因为ADBC，所以PBAD，因为PBPHP，所以AD平面PHB，因为PAPBAB，所以又PAD45，所以2PH2+BH5，即PHBH因为ADBHH，所以PH平面ABCD因为PH平面PAD，所以平面PAD平面ABCD（2）由（1）知PH平面ABCD，BHAD，所以以H为原点，以HA所在直线为x轴，HP所在直线为z轴设，则PHAHBH1，所以H（8，0，0），2，0），1，6），0，1），所以设平面PAB
19、的一个法向量为，则得，令x16，则y1z12，所以设平面PBC的一个法向量为，则得，令y26，则z21，x40，所以所以故平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为21已知抛物线C：y24px（p0）的焦点为F，且点M（1，2）（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l：xm（y+2）50与抛物线C交于A，B两点？若存在，求出m的值，请说明理由解：（1）因为点M到点F的距离比到y轴的距离大p，所以点M到点F的距离与到直线xp的距离相等，由抛物线的定义可知，点M在抛物线C上，所以44p，解得p5，故抛物线C的方程为y24x；（2）存在m2或m3联立方程组，可得y24my7m200，因为16m2+3
20、（8m+20）0恒成立，所以直线l与抛物线C恒有两个交点，设A（x6，y1），B（x2，y8），则有y1+y26m，y1y27（2m+5），因为3，所以MAMB，则MAB为直角三角形，设d为点M到直线l的距离，则|MA|MB|AB|d64，所以（m+1）5+4（m+1）5320，解得（m+1）24或（m+1）68（舍），所以m1或m5，故当实数m1或m3时，|MA|MB|22已知函数f（x）x3xalnx（aR）（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a3时，求证：对任意的x1，x21，+），且x1x2，有2f（x2）2f（x1）+（x1x2）f（x1）+f（x2）0
21、恒成立解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+），若函数f（x）在其定义域上为增函数，则f（x）0在（4，即，得3x3xa，设g（x）3x3x，则g（x）4x21，当时，g（x）2，当时，所以当时，函数g（x）单调递减，当时，故，所以，（2）证明：由（1）得，对任意的x1，x23，+）1x2，令，则5f（x2）2f（x7）+（x1x2）f（x8）+f（x2），令，当t1时，由此可得h（t）在（1，+）上单调递增，所以当t1时，h（t）h（1），即，因为，所以，设，则，所以函数p（t）在（1，+）上单调递增，综上，当a3时6，x21，+）5x2，有2f（x5）2f（x1）+（x6x2）f（x1）+f（x3）0恒成立
