1、第42课时 曲线与方程一、选择题1方程|x|1 所表示的曲线是()A一个圆 B两个圆 C半个圆 D两个半圆解析：|x|1 或则方程|x|1所表示的曲线如图所示答案：D2如图所示，已知两点A(2，0)、B(1,0)，动点P不在x轴上，且满足APOBPO，其中O为坐标原点，则点P的轨迹方程是()A(x2)2y24(y0) B(x1)2y21(y0)C(x2)2y24(y0)D(x1)2y21(y0)解析：由APOBPO，设P点坐标为(x，y)，则|PA|PB|AO|BO|2，即|PA|2|PB|， 2 整理得(x2)2y24，且y0.答案：C3与圆x2y24x0外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方
2、程是()Ay28x By28x(x0)和y0 Cy28x(x0) Dy28x(x0)和y0(x0)解析：如图，设与y轴相切且与圆C：x2y24x0外切的圆心为P(x，y)，半径为r，则|x|2，若x0，则y28x；若x0，则y0.答案：D4如图，设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为() A.1 B.1C.1 D.1解析：M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，a，c1，则b2a2c2.椭圆的标准方程为1.答案：D二、填空题5两条直线axy10和xay10(
3、a1)的交点的轨迹方程是_解析：由 yx得y2yx2x0，即(x)2(y)2且xy0.答案：(x)2(y)2，且xy06设F1、F2是双曲线x2y24的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从F1引F1QF2平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹方程是_解析：如图，延长F1P交QF2于F1点，连结PO.则在F1F2F1中，|PO|F2F1|(|QF1|QF2|)(|QF1|QF2|)2，即|PO|2，P点的轨迹方程为x2y24.答案：x2y247已知圆C：(x3)2y24，过原点的直线与圆C相交于A、B两点，则A、B两点中点M的轨迹方程是_解析：如图，连接CM，则CMAB，因此点M在以OC为直径的圆上，
4、此圆的方程为2y2，将2y2与(x3)2y24.相减整理得x，因此M点的轨迹方程是2y2，且x.答案：2y2三、解答题8已知点F(0，)，P点在直线y4上方，且P到点F和直线y4的距离之和为.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设动点P的轨迹是C，曲线C交y轴于点M，在曲线C上是否存在两点A、B，使AMB.解答：(1)解法一：如图，设P点坐标为(x，y)，过P作PQ垂直于直线y4，垂足为Q；根据题意得|PF|PQ|，即 y4.整理得x2y(y4)解法二：如图，由|PF|PQ|可观察出|PF|与P点到直线y的距离相等，则P点在以F(0，)为焦点，O(0,0)为顶点的抛物线x22py(p0)上，即p，
5、x2y，又点P在y4上方，则y4. 即所求点P的轨迹方程为x2y(y4)(2)当y1时，x1，因此存在A(1，1)，B(1，1)，使OAOB0，即AMB.9A、B分别是直线yx和yx上的动点O是坐标原点，且|OA|OB|a2b2(a，b为常数值，b0)求线段AB的中点P的轨迹方程解答：设P、A、B三点的坐标分别为(x，y)、(x1，y1)、(x2，y2)，则x，y，y1x1，y2x2，又|OA|OB| |x1| |x2|x1x2|，且|OA|OB|a2b2，|x1x2|a2.将代入得y(x1x2)，即y，22得x2y2x1x2，即x2y2a2.所求轨迹方程为1.10(原创题)如图，已知定点F，
6、定直线l：y，过定直线l上任意一点M作l的垂线MP，线段MF的垂直平分线与直线MP相交于P点(1)求P点的轨迹C的方程；(2)证明：PN与曲线C相切解答：(1)由已知条件知|PF|PM|，根据抛物线定义，P点在以F，准线为y的抛物线上，因此点P的轨迹方程为x22py.(2)证明：设M，则kFM，N，kNP，则直线NP的方程为y，将上式代入x22py，整理得：x22x0xx0，则(2x0)24x0，因此，直线PN与曲线x22py相切1设A1、A2是椭圆1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点M的轨迹方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解析：如图，设
7、M、P1、P2点坐标分别为(x，y)、(x0，y0)、(x0，y0)，则1，即.直线A1P1的方程为y(x3)直线A2P2的方程为y(x3)得y2(x29)(x29)，整理得1.答案：C2如图，设抛物线C：yx2的焦点为F，动点P在直线l：xy20上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点 (1)求APB的重心G的轨迹方程；(2)证明PFAPFB.解答：设切点A、B的坐标分别为(x1，x)，(x2，x)(1)由yx2知焦点为F(0，)，y2x，则PA，PB的方程分别为2x1xyx0,2x2xyx0，解方程组得即P(，x1x2)，x1x220设G(x，y)，则xy由消去x1、x2得y；(2)证明：kAF，kFP，tanPFA，同理可求tanPFB，PFAPFB.可检验x10，或x1x20时，PFAPFB.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m