1、第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.2.1 平面向量基本定理 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示(重点)2.理解直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式(难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知 1平面向量基本定理(1)平面向量基本定理：如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 a，存在唯一的一对实数 a1，a2，使 a_.(2)基底：把不共线向量 e1
2、，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2_叫做向量 a 关于基底e1，e2的分解式不平行任一向量一对实数a1e1a2e2不共线a1e1a2e2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2直线的向量参数方程式(1)向量参数方程式：图 2-2-1已知 A，B 是直线 l 上任意两点，O 是 l 外一点(如图 2-2-1 所示)，对直线 l 上任意一点 P，一定存在唯一的实数 t 满足向量等式OP _；反之，对每一个实数 t，在直线 l 上都有唯一的一个点 P 与之对应向量等式OP(1t)OA tOB 叫做直线 l 的向量参数方程式，其中实数 t 叫做参变数，简
3、称参数任意(1t)OA tOB唯一参数课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)线段中点的向量表达式：在向量等式OP(1t)OA tOB 中，令 t_，点 M 是 AB 的中点，则OM _这是线段 AB 的中点的向量表达式1212(OA OB)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考：平面向量的基底选取有什么要求？它是唯一的吗？提示 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，基底不唯一，但选取时应尽量选有利于解决问题的基底，并且基底一旦选中，给定向量沿基底的分解是唯一确定的课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1判断
4、(正确的打“”，错误的打“”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底()(2)若 e1，e2 是同一平面内两个不共线向量，则 1e12e2(1，2 为实数)可以表示该平面内所有向量()(3)若 ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则 ac，bd.()课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1)错误根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底(2)正确根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量 e1，e2 线性表示(3)错误当 e1 与 e2 共线时，结论不一定成立答案(1)(2)(3)课时分层作业当
5、堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知 AD 为ABC 的边 BC 上的中线，则AD 等于()A.ABAC B.ABACC.12AB12ACD.12AB12ACD 根据线段 BC 的中点向量表达式可知AD 12(ABAC)12AB12AC，故选D.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3下列关于基底的说法正确的是_(填序号)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底基底中的向量可以是零向量平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的解析 正确；对于，由于零向量与任意向量平行，所以基底中不能有零向量答案 课时分层作业当堂达标固双基自
6、主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难 设 M，N，P 是ABC 三边上的点，且BM 13BC，CN 13CA，AP13AB，若ABa，ACb，试用 a，b 将MN，NP，PM 表示出来图 2-2-2用基底表示向量课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 把 a，b 看成基底，先将三角形三边上的有关向量表示出来，然后再根据向量加法或减法的三角形法则，即可将MN，NP，PM 用基底来表示解 NPAPAN13AB23AC13a23b，MN CN CM 13AC23CB13b23(ab)23a13b，PM MP(MN NP)13(ab)课时分层作业当堂达
7、标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 平面向量基本定理的作用以及注意点：1根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.2要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1.如图 2-2-3，设点 P，Q 是线段 AB 的三等分点，若OA a，OB b，则OP _，OQ _.(用 a，b 表示)图 2-2-3课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新
8、知合作探究攻重难返首页解析 OP APAO 13ABOA13(OB OA)OA23OA 13OB 23a13b，OQ AQ AO 23ABOA 23(OB OA)OA13OA 23OB 13a23b.答案 23a13b 13a23b课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 已知平面内两定点 A，B，对该平面内任一动点 C，总有OC 3OA(13)OB(R，点 O 为直线 AB 外一点)，则点 C 的轨迹是什么图形？并说明理由思路探究 将所给向量式与直线的向量参数方程式比较易得答案，也可以考虑将所给向量式化简后再观察特点直线的向量参数方程式的应用课时分层作业当堂达标固双基自主
9、预习探新知合作探究攻重难返首页解 将已知向量等式两边同时减去OA，得OC OA(31)OA(13)OB(13)(OB OA)(13)AB，即AC(13)AB，R，又AC，AB共始点，A，B，C 三点共线，即点 C 的轨迹是直线 AB.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 理解直线的向量参数方程式时要注意OP 1tOA tOB 中三向量共始点，左边向量的系数是 1，右边两向量的系数之和为 1，也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2如图 2-2-4，设一直线上三点 A，B，P 满足 APPB
10、(1)，O 是平面上任意一点，则()【导学号：79402073】A.OP OA OB1 B.OP OA OB1C.OP OA OB1D.OP OA 2OB1 图 2-2-4课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页A P，A，B 三点共线，一定存在实数 t，使得OP(1t)OA tOB，则 t 满足(1t)t1，只有选项 A：11 1111 符合课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页探究问题1在向量等式OP xOA yOB 中，若 xy1，则三点 P，A，B 具有什么样的位置关系？提示 三点 P，A，B 在同一直线上在向量等式OP xOA yOB 中，若
11、 xy1，则 P，A，B 三点共线；若 P，A，B 三点共线，则 xy1.2平面向量基本定理的实质是什么？提示 平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解平面向量基本定理的综合应用课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 如图 2-2-5 所示，在OAB 中，OA a，OB b，点 M 是 AB 的靠近 B的一个三等分点，点 N 是 OA 的靠近 A 的一个四等分点若 OM 与 BN 相交于点 P，求OP.图 2-2-5思路探究 可利用OP tOM 及OP ON NPON sNB两种形式来表示OP，并都转化为以 a，b 为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性求得
12、 s，t，进而求得OP.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 OM OA AMOA 23ABOA 23(OB OA)13a23b.因为OP 与OM 共线，故可设OP tOM t3a2t3b.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页又NP与NB共线，可设NPsNB，OP ON sNB34OA s(OB ON)34(1s)asb，所以341st3，s23t，解得t 910，s35，所以OP 310a35b.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量 a 和同一平面内两个
13、不共线向量 e1，e2条件二a1e11e2 且 a2e12e2结论12，12课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量 e1，e2 的线性组合 1e12e2.在具体求 1，2 时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理；(2)利用待定系数法，即利用定理中 1，2 的唯一性列方程组求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练3如图 2-2-6 所示，在ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且AN12NC，BN 与 C
14、M相交于点 E，设ABa，ACb，试用基底 a，b 表示向量AE.【导学号：79402074】图 2-2-6课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 易得AN13AC13b，AM 12AB12a，由 N，E，B 三点共线，设存在实数 m，满足AEmAN(1m)AB13mb(1m)a.由 C，E，M 三点共线，设存在实数 n 满足：AEnAM(1n)AC12na(1n)b.所以13mb(1m)a12na(1n)b，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页由于 a，b 为基底，所以1m12n，13m1n，解之得m35，n45，所以AE25a15b.课时分层
15、作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基 1已知平行四边形 ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.AB，DC B.AD，BCC.BC，CBD.AB，DAD 由于AB，DA 不共线，所以是一组基底课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知向量 ae12e2，b2e1e2，其中 e1，e2 不共线，则 ab 与 c6e12e2 的关系是()A不共线B共线C相等D不确定B ab3e1e2，c2(ab)，ab 与 c 共线课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3如果 e1，e2 是平面 内所有向量
16、的一组基底，那么，下列命题正确的是()A若实数 1，2，使 1e12e20，则 120B平面内任一向量 a 都可以表示为 a1e12e2，其中 1，2RC1e12e2 不一定在平面 内，1，2RD对于平面 内任意一向量 a，使 a1e12e2 的实数 1、2 有无数对A 考查平面向量基本定理因为 e1，e2不共线，所以 1e1 2e20，只能 1 20.B 选项 1，2R 不对，应该是唯一数对；C 选项 1e1 2e2一定在平面 内；D 选项应该是唯一一对课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4已知 A，B，D 三点共线，且对任意一点 C，有CD 43CACB，则 _.解
17、析 A，B，D 三点共线，存在实数 t，使AD tAB，则CD CAt(CBCA)，即CD CAt(CBCA)(1t)CAtCB，1t43，t，即 13.答案 13课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5已知 e1，e2 是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量 a 和 b 表示 c.解 a，b 不共线，可设 cxayb，则 xaybx(3e12e2)y(2e1e2)(3x2y)e1(2xy)e27e14e2.又e1，e2 不共线，3x2y7，2xy4，解得x1，y2，ca2b.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十八）点击上面图标进入 谢谢观看
