1、数学试卷第卷（选择题）一、选择题1.在不等式表示的平面区域内的点是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，可知点在不等式表示的平面区域内故B正确考点：不等式表示平面区域2.设的内角所对的边分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理求解即可得到所求结果【详解】由正弦定理得，又，为锐角，故选B【点睛】在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题3.已知等比数列满足，则数列前项的和（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设等比数列an的
2、公比为q，a1+a2=6，a4+a5=48，a1（1+q）=6，（1+q）=48，联立解得a1=q=2则数列an前10项的和为S10=2046，故选C4.在中，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理可求得，进而得到的度数.【详解】由余弦定理得：，.故选：A.【点睛】本题考查余弦定理解三角形的知识，属于基础题.5.在中，的对边分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知等式可求得，根据同角三角函数关系可求得结果.【详解】由得：，.故选：【点睛】本题考查余弦定理解三角形、同角三角函数值的求解的问题，属于基础题.6.已知，
3、则的最小值为（ ）A. 4B. C. 8D. 16【答案】C【解析】【分析】根据，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.【详解】（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活利用“”，配凑出符合基本不等式形式的式子，属于常考题型.7.在等比数列中，且前项和，则此数列的项数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质得出，结合，得出和的值，并设等比数列的公比为，由，求出的值，然后利用等比数列的通项公式可求出的值.【详解】设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得：，又，和是方程的两
4、根，解方程得或.若等比数列递增，则，解得，解得；若等比数列递减，则，解得，解得.则此数列的项数等于故选：B.【点睛】本题考查等比数列项数的计算，涉及等比数列性质和等比数列前项和的计算，解题的关键就是求出等比数列的公比，考查运算求解能力，属于中等题.8.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最大值的求解，通过直线平移可确定截距取最大值的点，将点坐标代入目标函数可求得结果.详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将目标函数化为，则最大时，在轴截距最大，平移可知当直线过时，截距最大，
5、由得：，.故选：B.【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距最值的求解问题，属于常考题型.9.设等比数列的公比为，前项和为，且，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据和可得到关于的不等式，结合可解得结果.【详解】由得：，又，解得：.又为等比数列公比，的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略等比数列公比不能为零的问题，造成区间求解错误.10.“珠算之父”程大为是我国明代伟大数学家，他的应用数学巨著算法统综的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成，程大位在算法统综中常以诗歌的形
6、式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节储三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”（【注】三升九：升，次第盛；盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】B【解析】【分析】设相差同一数量为升，下端第一节盛米升，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可计算出中间两节盛米的容积升.【详解】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为升，下端第一节盛米升，由题意得，解得，所以，中间两节盛米的容积为（升），故选：B.【点
7、睛】本题考查等差数列的应用，解题的关键就是将问题转化为等差数列的问题，并建立首项和公差的方程组求解，考查方程思想的应用，属于中等题.11. 下列函数中，最小值为2的函数是A. B. C. D. 【答案】D【解析】令，所以，则，所以函数当时取到最小值，不符合；的定义域为，当或时，此时单调递减；当或时，此时单调递增所以在定义域上没有最小值，不符合；，因为，所以当时，函数取到最大值2，不符合；，令，所以，则，所以函数当时取到最小值2，符合，故选D12.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】采用裂项相消法可直接求得结果.【详解】原式.故选：B.【点睛】本题考查裂项相消法求和的问题，属
8、于基础题.二、填空题13.写出数列，的一个通项公式_【答案】【解析】【分析】根据分子和分母的数字特征，以及摆动数列的特点可总结得到通项公式.【详解】分子为，即.分母为，即.又数列为摆动数列，首项为负，可得一个通项公式为：.故答案为：.【点睛】本题考查根据数列的项写出通项公式的问题，关键是能够准确观察出数列中的项的各个构成部分的变化规律.14.已知，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求出所求代数式的最小值.【详解】，当且仅当时等号成立.故答案为：.【点晴】本题考查基本不等式求和的最小值，基本不等式需要满足一正、二定、三相等，也就是说，利用基本不等式必须
9、确保每个数都是正数，必须确保右边是定值，必须确保等号能够成立.为了确保每个数是正数，根据题意，先减再加上，也就配成立基本不等式的形式，利用基本不等式求出最小值后，要验证等号是否成立.15.若，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式的性质即可得出.【详解】，当且仅当，时取等号，的最大值是，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等16.中，若，则_【答案】【解析】【分析】将化为，两已知等式平方作和可求得，得到或；当时，可验证出已知等式不成立，故.【详解】由得：.将与分别平方作和得：，又 或当时，不合题意，.故答案为：.【点睛】本
10、题考查利用三角恒等变换知识求解角的问题，易错点是根据正弦值求角时，忽略已知条件的限制，造成增根的出现.三、解答题17.在等差数列中，已知，（1）求该数列中的值；（2）求该数列的通项公式【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据等差数列下标和性质可得，进而求得结果；（2）设公差为，则，构造出方程求得，由等差数列通项公式可求得结果.【详解】（1）由等差数列性质得：，；（2）设等差数列公差为，解得：，即或【点睛】本题考查等差数列中的项、通项公式的求解问题，涉及到等差数列下标和性质的应用；属于等差数列部分基础知识的应用问题.18.已知的内角的对边分别为，（1）若为等腰三角形，求顶角的余弦值；
11、（2）若是以为直角顶点的三角形，且，求的面积【答案】（1）；（2）1.【解析】试题分析: （1）由正弦定理将角转化为边的关系：，再由等腰三角形条件得，解得，最后根据余弦定理求顶角的余弦值；（2）由正弦定理将角转化为边的关系：，再由直角三角形条件得，解得，最后根据面积公式求面积.试题解析:（1）由题设及正弦定理得：，又，可得，由余弦定理可得：.（2）由（1）知，得，所以的面积为1.19.已知关于x的不等式当时，解不等式；当时，解不等式【答案】（1）x|x2或x1；（2）见解析【解析】【分析】（1）a1时，不等式化为x2x+20，求解即可；（2）不等式化为（ax2）（x1）0，讨论a0、a0和a0
12、时，求出对应的解集【详解】（1）当a1时，此不等式为x2x+20，可化为x2+x20，化简得（x+2）（x1）0，解得即x|x2或x1； （2）不等式ax2（a+2）x+20化为（ax2）（x1）0，当a0时，x1；当a0时，不等式化为（x）（x1）0，若1，即a2，解不等式得x1；若1，即a2，解不等式得x；若1，即0a2，解不等式得1x；当a0时，不等式（x）（x1）0，解得x或x1；综上所述：当a0，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为x|x或x1；当0a2时，不等式的解集为x|1x；当a2时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为x|x1【点睛】本题考查了含参数的不等式的
13、解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，解题时应对参数进行讨论，是综合性题目20.已知数列中，前项和（1）求，及通项公式；（2）求的前项和，并证明：【答案】（1），；（2）；证明详见解析.【解析】【分析】（1）分别代入和可求得；利用时，采用累乘法可求得，验证时，满足所求的通项公式，从而得到结果；（2）由（1）得，采用裂项相消法求得，根据为单调递增数列可确定，由可求得，从而证得结论.【详解】（1）当时，当时，当时，即，又，.当时，满足，；（2）由（1）知：，为单调递增的数列，又，.【点睛】本题考查数列中的项和通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前项和的问题，涉及到与关系的应用、累乘法求解数列的通项
14、公式等知识，属于常考题型.21.在中，内角，的对边长分别为，已知，且（1）求； （2）若，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦定理进行角化边可得到，结合已知等式可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）利用已知等式求得，利用余弦定理求得，进而得到，由三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理和余弦定理可得：，又，解得：；（2），解得：，.【点睛】本题考查解三角形知识的应用，涉及到利用正弦定理和余弦定理进行边角关系的互化、三角形面积公式的应用等知识，关键是能够通过角化边得到关于边之间的等量关系，进而构造方程求得边长.22.在等比数列中，设，为数列的前项和
15、（1）求和； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）设等比数列公比为，由可构造方程求得，由等比数列通项公式求得；整理可得，采用裂项相消法可求得；（2）分别在为偶数和为奇数两种情况下，采用分离变量的方法，将问题转化为与不等式右侧关于的式子的最值的比较，通过求解最小值可得到的取值范围.【详解】（1）设等比数列公比为，解得：，.；（2）当为偶数时，即，随增大而增大，时，；当为奇数时，即（当且仅当，即时取等号），.综上所述：实数取值范围为.【点睛】本题考查等比数列通项公式求解、裂项相消法求解数列的前项和，数列中的恒成立问题的求解等知识，求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的大小关系的问题.