1、徐州七中2016届数学百分精练（寒假自主训练）2016-1-16数学百分精练系列（十）（1-14题35min；15-16题各20min）1已知集合，则= .S1For I From 1 To 7 step 2SS + IEnd ForPrint S第4题图2已知复数（是虚数单位），则 .3书架上有本数学书，本物理书，从中任意取出本，则取出的两本书都是数学书的概率为 .4运行如图所示的伪代码，其结果为 .5某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人，其中从高一年级学生中抽出人，则从高三年级学生中抽取的人数为 .ABCD第11题图6在平面直角坐标系中，已知抛物线
2、的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为 .7已知实数满足则目标函数的最小值为 .8设一个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 .9在中，设分别为角的对边，若，则边= .10设是等比数列的前项和，若，则的最小值为 .11如图，在中，则的值为 .12过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为 .13设是定义在上的奇函数，且，设 若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 .14设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是 .15(本小题满分14分)
3、BA居民生活区第15题图北如图所示，是两个垃圾中转站，在的正东方向千米处，的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面建一个垃圾发电厂. 垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求（可看成三个点）：垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大）. 现估测得两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？16(本小题满分16分)xO第16题图yMPQ如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别
4、记为.（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；（2）若.求证：；求的最大值.数学百分精练系列（十一）（1-14题35min；15-16题各20min）1函数y2sin(3x)的最小正周期为 2. 设复数z满足z(1+2i)=2i，则|z| 3集合x|1log10，xN*的真子集的个数是 4从1，2，3，18中任取两个不同的数，则其中一个数恰好是另一 个数的3倍的概率为 5运行如图的算法，则输出的结果是 x0While x0，B=x|x22ax+40若a0，且AB中恰有1个整数，则a的取值范围是 11已知点A(1，-1)，B(4,0)，C(2,2)平面区域D由所有满足 (1a，1b)的点P
5、(x，y)组成的区域若区域D的面积为8，则a+b的最小值为 12设函数f(x)ax+sinx+cosx的图象上存在两条切线垂直，则a的值是 13实数x、y、z满足0xyz4如果它们的平方成公差为2的等差数列，则|xy|+|yz|的最小可能值 14若实数x, y满足x42，则x的取值范围是 15(本小题满分14分)汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.某型汽车的刹车距离s(单位米)与时间t(单位秒)的关系为，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒
6、钟，求k的取值范围16(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆T的中心在坐标原点，一条准线方程为，且经过点(1，0)（1）求椭圆T的方程；（2）设四边形ABCD是矩形，且四条边都与椭圆T相切求证：满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上；数学百分精练系列（十二）（1-14题35min；15-16题各20min）1. 已知集合,，则 . 2. 已知复数（为虚数单位），则复数的模为 . 3. 某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的值是 . 甲 乙 5 7 69 8 8 5 9a 8 9 8 74如图所示茎叶图是甲乙两组各5名学生的数学竞赛成绩（70分99分），若甲乙两组的平均成绩一样，则
7、a= ；甲乙两组成绩中相对整齐的是 .5. 假设在6分钟内的任意时刻，两架相同型号的飞机机会均等地进入同一飞机场，若这两架飞机进入机场的时间之差不小于2分钟，飞机不会受到干扰；则飞机受到干扰的概率为_.6. 若将函数ysin(0)的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为_.7. 实数x，y满足如果目标函数z=xy的最小值为-2，则实数m的值为_.8.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于，母线与轴的夹角为，则这个圆台的高为_.9在平面直角坐标系中，圆C的方程为若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是_.10. 在矩形中，已知，点
8、E是BC的中点，点F在CD上，若则的值是 . 11曲线在点处的切线方程为_ 12.在中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且若的面积为，则的最小值为_.13. 若对任意的xD，均有f1(x)f(x)f2(x)成立，则称函数f(x)为函数f1(x)到函数f2(x)在区间D上的“折中函数”已知函数f(x)(k1)x1，g(x)0，h(x)(x1)ln x，且f(x)是g(x)到h(x)在区间1,2e上的“折中函数”，则实数k的取值集合为_14. 已知并且m+3n=1则的最小值_ .15.（本小题满分14分）如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建
9、筑物的顶部看建筑物的视角（1）求的长度；（2）在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？16. (本小题满分16分) 已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、（1）当切线PA的长度为时，求点的坐标；来源:学,科,网Z,X,X,K（2）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求线段长度的最小值数学百分精练系列（十三）（1-14题35min；15-16题各20min）1复数 2 设全集1,2,3,4,5，2,4，则 3 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是
10、另一个数的两倍的概率是 4某单位有职工52人,现将所有职工按l,2,3,52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号,32号,45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是_.5执行如图所示的程序框图,若输出的值为11,则输入自然数的值是 6一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_7 已知各项均为正数的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为 .8 给出下列几个命题：若函数是定义域为的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；已知是函数定义域内的两个值，当时，则是减函数；设函数的最大值和最小值分别为和，则；
11、若是定义域为的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数其中正确的命题序号是 （写出所有正确命题的序号）9设F1、F2是双曲线y21的两个焦点，P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时， 的值为 10已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 11已知正实数满足，则的最大值为 12已知圆C：，点P在直线l：上，若圆C上存在两点A、B使得，则点P的横坐标的取值范围是 13在中，内角所对的边分别为，令若函数（是常数）只有一个零点则实数的取值范围是 14设两个向量和，其中若，则的取值范围是 15.（本小题满分14分）如图，欲在矩形空地中规划出一个草坪（如图中阴影部分），形状为直角梯形（
12、线段和为两个底边），点，点，点曲线上，已知其中是以为顶点、为对称轴的抛物线的一段现以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系.设抛物线的一段所在抛物线的方程为(1)求抛物线方程；(2)设点的横坐标为，当为何值时草坪面积最大，并求出该草坪的最大面积16.（本小题满分16分）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，长轴长为4椭圆的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为(1)求椭圆的方程；(2)求证：点三点共线；(3)求面积 数学百分精练系列（十四）（1-14题35min；15-16题各20min）1.若复数z满足（1+i）z=2 (i为虚数
13、单位)，则z= 2.已知集合A0，1，2，则满足AB0，1，2的集合B的个数为 3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图根据图形推断，该时段时速超过50km/h输入输出(第4题图)的汽车辆数为 4.右图是一个算法流程图，若输入的的值为1，则输出的值为 5.设函数，则的概率为 6.在为边，为对角线的矩形中，则实数 7.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，双曲线与抛物线的准线交于两点，则双曲线C的实轴长为 8.已知函数ysinx(0)在区间0，上为增函数，且图象关于点(3，0)对称，则的取值集合为 9.已知数列为等比数列，前项和为，若，且、成
14、等差数列，则数列的通项公式 10.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 11.已知棱长为1的正方体，是棱的中点，是线段上的动点，则与的面积和的最小值是 12.函数是定义域为R的奇函数，且x0时，则函数的零点个数是 13.设正实数，满足，则的最大值是 14.在直角坐标中，圆：，圆：，点，动点P、Q分别在圆和圆上，满足，则线段的取值范围是 15. 某生态农庄池塘的平面图为矩形,已知为上一点，且为池塘内一临时停靠点，且到的距离均为3，为池塘上的浮桥，为了固定浮桥，现准备经过临时停靠点再架设一座浮桥，其中分别是浮桥上点.（浮桥宽度、池塘岸边宽度不计）设.（1）当为何值时，为浮桥中点?（2）怎样架
15、设浮桥才能使得面积最小，求出面积最小时的值？(第16题图)16. （本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线相交于两点（从左至右），过点作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点（1）若椭圆的离心率为，点的坐标为，求椭圆的方程；（2）若以为直径的圆恰好经过点，求椭圆的离心率 数学百分精练系列（十五）（1-14题35min；15-16题各20min）1已知集合，集合，则= 2已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且虚部为1，模为，则复数的实部为 3采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，420，则抽取的21人中，编号落入区间上的人数为 4运行如图算法
16、语句，则输出的结果为 5将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 6已知是等差数列，满足，则a9 = 7若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 8若双曲线与直线无交点，则离心率e的取值范围是 9若，则= 10是直角边等于4的等腰直角三角形，是斜边的中点，向量的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是 11已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围为 12. 已知直线经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为，则直线的方程为 13已知函数，当时，给出以下几个结论：； ，其中正确的命题的序号是 14对于集合
17、（，定义集合，若，则集合中各元素之和为 15. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，其焦点在圆上（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的三点（异于椭圆的顶点），且存在锐角，使 求证:直线与的斜率的乘积为定值； 求的值16. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为.（）求椭圆的标准方程；（）（1）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，当为定值时求的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于时，试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由（第6题） 数学百分精练系列（十六）（1
18、-14题35min；15-16题各20min）1. 复数的虚部为 .2. 函数的最小正周期为，其中，则 .3. 函数的值域为集合A，函数的定义域为集合B，则AB = 4. 已知双曲线的一个焦点为（5，0），则实数m = 5 若五个数1,2,3,4，a的平均数为3，则这五个数的标准差是 6 执行右面的程序图，那么输出n的值为 7. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线xy = 5下方的概率为 8已知是定义在R上的奇函数，又是周期为2的周期函数，当时， ，则的值为_ 9已知正六棱锥P ABCDEF的底面边长为1 cm，侧面积为3 cm2，则该棱锥的体积为_cm3
19、. 10.在ABC中，则角A的最大值为_11. 已知圆与直线交于两点，点在直线上，且,则的取值范围为 .12.若关于x的方程 = kx + 1-2k(k为实数)有三个实数解，则这三个实数解的和 _ . 13. 已知数列满足，且对于任意，又，则= .14. 已知对于一切x，yR，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 15. (本小题满分14分) 如图，有一块矩形草坪ABCD，AB=100米，BC=米，欲在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且EOF=90；（1）设BOE=，试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；DABCOEF（2）
20、经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用16.在平面直角坐标系xOy中，动点M到两定点F1(0，)，F2(0，)的距离之和为4，设动点M的轨迹为曲线C.已知直线l与曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，向量m(2x1，y1)，n(2x2，y2)，且mn.(1)若直线l过曲线C的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线l的斜率k的值；(2)AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由数学百分精练系列（十七）（1-14题35min；15-16题各20min）1. 全集，集合，则 2. 已知复数满足，(是虚数单位)，则
21、复数的共轭复数= .3. 已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 日期频率组距051015202530(第4题图)（第5题图）While End WhilePrint b4. 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图已知从左到右各长方形的高的比为234641，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 5. 如图程序运行的结果是 6. 顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是 7. 给出下列命题：（1）
22、若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面则其中所有真命题的序号是 8. 已知，若存在，使对一切实数x恒成立，则= 9. 设实数x，y，b满足，若z2xy的最小值为3， 则实数b的值为 10. 若则的最小值为 11. 在RtABC中，CACB2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN，则的取值范围为 12. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆
23、C上一点若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60，则圆M的方程为 13三次函数的两个极值点为且重合，又在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值的最小值为_.14. 设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为 15. 在一段笔直的斜坡上竖立两根高16米的电杆，过架设一条十万伏高压电缆线假设电缆线呈抛物线形状，现以为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现视线恰与电缆线相切于点（1）求电缆线所在的抛物线的方程；（2）若高压电缆周围
24、10米内为不安全区域，试问一个身高1.8米的人在这段斜坡上走动时，这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁？请说明理由16. （本小题满分16分）已知函数.（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.BAyxOP答案验证：（十）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15解法一：由条件，得.2分设，则， 6分所以点到直线的距离，10分所以当，即时，取得最大值
25、15千米.即选址应满足千米，千米. 14分解法二：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. 2分则.由条件，得.4分设，则，化简得， 10分即点的轨迹是以点（）为圆心、为半径的圆位于轴上方的半圆.则当时，点到直线的距离最大，最大值为千米.所以点的选址应满足在上述坐标系中其坐标为即可. 16解：（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为， 2分从而圆的方程为.4分（2）因为圆与直线相切，所以，即， 6分同理，有，所以是方程的两根， 8分从而. 10分设点，联立，解得12分同理，所以 14分， 当且仅当时取等号. 所以的最大值为. 16分（十一）1； 21；3290-1； 4；
26、536； 671； 7； 8x+y30； 92或6. 10，).114. 120.【解析】f(x)=ax+sin(x+)，f (x)=a+cos(x+)由题设可知存在x1，x2使(a+cos(x1+)(a+cos(x2+)=-1，不妨设cos(x1+)cos(x2+)，则(a+cos(x1+)(a+cos(x2+)=-10,n0）P为MN的中点 此时，.答：当时，为中点. 7分（2） （）ECEB =当且仅当时取等号， .=，此时. 13分答：当时，三角形面积最小，最小为.14分16. （1）由题意，解得，所以椭圆的方程为 （2）方法一：设，则，因为三点共线，所以，由，得，即 又均在椭圆上，有
27、， ，得，所以直线的斜率， 由于以为直径的圆恰好经过点，所以，即，所以，所以椭圆的离心率 方法二：设，则，所以直线的方程为 由，消，得，即， 所以，从而，即，所以直线的斜率， 由于以为直径的圆恰好经过点，所以，即，所以，所以椭圆的离心率 （十五）1； 21； 36； 47； 5； 63 ；7； 8 (1,2 ； 9；10【解析】，根据向量分解基本定理，可得，所以 11【解析】的解集为，所以或恒成立，又，所以12或【解析】设直线与和的交点为，根据题意可得，令，可得，代入可得或，而所求直线的斜率，代入可得或，所以所求直线的方程为或13 .【解析】 ，所以，令，得，所以在内单调递减，而在内是单调递增
28、，可知不正确，令，则，可得在不是单调的，所以不正确，令，得是单调递增，所以正确14【解析】考察中，S中的元素组成项的等差数列，所以各元素之和为15. （1）根据题意得，于是,所以椭圆方程为 （2）设则，又设，由得， 又在椭圆上，整理得,，为定值 ,又, ,.16. 解：（）依题意，解得则，所以椭圆的方程为 4分（）（1）依题意，两条切线方程分别为，由,化简得，同理所以是方程的两个不相等的实数根，. 7分因为，所以，所以.据,为定值得：.10分（2）由（1）得，设,则,所以，因为，所以， 13分所以，所以， 所以 16分（十六）1. -4； 2. 8 ； 3. ； 4. 16； 5； 6. 6；
29、 7. ； 8. ； 9；10. 【解析】，设AB = c，AC = b，则c2 - 4bc + 3b2 = 00，得16-120，0，角A的最大值为 11. .【解析】直线与圆有交点得，再有和得，可得; 12. 6 . 提示：两个函数的图象均关于点（2，0）对称.13.4028. 【解析】由题意可得与已知式两式相减得，且，所以=.14. .【解析】数形结合;15. (1)RtBOE中，OB=50, B=90，BOE=，OE=. RtAOF中，OA=50, A=90，AFO=，OF=. 又EOF=90，EF=,即 当点F在点D时，这时角最小，求得此时=；当点E在C点时，这时角最大，求得此时=故
30、此函数的定义域为. (2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可.由（1）得，设，则，.由，得，从而，当，即BE=50时，,所以当BE=AE=50米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 16. 解(1)由题意知，MF1MF24F1F22，根据椭圆的定义，知动点M的轨迹是以F1(0，)，F2(0，)为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的标准方程为1(ab0)，则a2，c，a24，c23，b2a2c21，曲线C的方程为x21.设l的方程为ykx，由，消去y得，(k24)x22kx10，(2k)24(k24)0，且x1x2，x1x2.mn，mn0，4x1x2y1y24x1x2(kx1)
31、(kx2)(4k2)x1x2k(x1x2)3(k24)k30，解得k.即直线l的斜率k的值为.(2)当直线AB的斜率不存在时，有x1x2，y1y2.由mn0，得4x21y210，即y214x21.又A(x1，y1)在椭圆上，x1，|x1|，|y1|.SOAB|x1|y1y2|x1|y1|1(定值)当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为ykxt.由消去y得，(k24)x22ktxt240，4k2t24(k24)(t24)0，且x1x2，x1x2.mn0，4x1x2y1y20，4x1x2(kx1t)(kx2t)0，(k24)x1x2kt(x1x2)t20，(k24)ktt20，整理得2t2k24.
32、SOABAB|t|1(定值)综上，AOB的面积为定值（十七）1.； 2.； 3； 41200； 514； 6； 7 ； 8 ； 9 ； 10.【解析】，当且仅当时，取等号； 11 . 【解析】 以CA、CB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，设M(x,y)，则xy2，y2x，即M(x, 2x)，又MN，所以点N坐标为(x1，2x1)，即N(x1，1x)，于是x(x1)(2x) (1x)2x22x2(0x1)，所以x时取最小值，x0或1时取最大值2，因此的取值范围为； 12.【解析】当P在圆C上运动时APB恒为60，圆M与圆C一定是同心圆，可设圆M的方程为(x1)2y2r2.当点P坐标是(3
33、，0)时，设直线AB与x轴的交点为H，则MHHP2，MH，AB2，所以22，解得r1，所以所求圆M的方程为(x1)2y21；13.【解析】设，依题意知，故，由及点Q在其上，可设Q点的坐标为. 由Q为的一个极值点得，显然，存在最大值，数形结合可求得，其最小值为.1492 15. 解：（1）设电缆所呈现的抛物线方程为，点的坐标为，则抛物线在点处的切线的斜率为，又直线的斜率为，由题意可得，即 点在抛物线上， 由可得，即抛物线方程为（2）坡面所在直线方程为，作直线轴且分别与抛物线及交于，则（当且仅当时取等），这说明电缆线与坡面的铅直距离的最小值为12米，这个距离大于米，这根高压线是不会对这个人的安全构成威胁的16. （1）由得，因在区间上不是单调函数.所以在上最大值大于0，最小值小于0,，.(2)由，得,，且等号不能同时取，即.恒成立，即.令，求导得,当时，从而.在上是增函数，.(3)由条件，,假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧,不妨设，则，且,是以为直角顶点的直角三角形，, 是否存在等价于方程在且是否有解.当时，方程为，化简，此方程无解；当时，方程为，即设，则,显然，当时，即在上为增函数.的值域为，即，当时，方程总有解.对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上. 25 快乐寒假 充实一下