1、第九章直线和圆的方程第一讲直线方程与两直线的位置关系练好题考点自测1.改编题下列说法正确的是()A.直线的倾斜角越大,其斜率越大B.若直线的斜率为tan ,则其倾斜角为C.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示D.直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离2.2020全国卷,5,5分理若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()A.55B.255C.355D.4553.2021安徽示范高中联考已知点(1,-1)关于直线l1:y=x的对称点为A,设直线l2经过点A,
2、则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为()A.2x+3y+5=0B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0D.2x-3y+5=04.2016浙江,4,5分若平面区域x+y-30,2x-y-30,x-2y+30夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.355B.2C.322D.55.2016四川,9,5分理设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0x1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)6.20
3、20四川五校联考过直线x+y=0上一点P作圆(x+1)2+(y-5)2=2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线x+y=0对称时,APB=()A.30B.45C.60D.907.2021上海模拟过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.8.2021山西摸底测试已知a0,b0,若直线(a-1)x+2y-1=0与直线x+by=0互相垂直,则ab的最大值是.拓展变式1.(1)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0a0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答 案第一讲直线方程与两直线的位置关系1.C对于选项A,当
4、直线的倾斜角1=135,2=45时,12,但其对应斜率k10),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为|21-1-3|22+(-1)2=255或|25-5-3|22+(-1)2=255,故选B.3.B易知A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB,又-1kAB=32,所以直线l2的方程为y-1=32(x+1),即3x-2y+5=0.故选B.4.B不等式组x+y-30,2x-y-30,x-2y+30表示的平面区
5、域如图D 9-1-1中阴影部分所示,其中A(1,2),B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A,点B,又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为-1,所以线段AB的长度就是分别过A,B两点的两平行直线间的距离,易得|AB|=2,即两条平行直线间的距离的最小值是2,故选B.图D 9-1-15.A不妨设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2),P(xP,yP),由于l1l2,所以1x1(-1x2)=-1,则x1=1x2.又切线l1:y-ln x1=1x1(x-x1),l2:y+ln x2=-1x2(x-x2),于是A(0,ln x1-1),B(0,1+ln x1)
6、,所以|AB|=2.由y-lnx1=1x1(x-x1),y+lnx2=-1x2(x-x2),解得xP=2x1+1x1,所以SPAB=122xP=2x1+1x1.因为x11,所以x1+1x12,所以SPAB的取值范围是(0,1),故选A.6.C解法一如图D 9-1-2,设圆(x+1)2+(y-5)2=2的圆心为C,则C(-1,5),则点C不在直线y=-x上,要满足l1,l2关于直线y=-x对称,则PC必然垂直于直线y=-x,所以线段PC所在直线的斜率kPC=1,则线段PC所在的直线l:y-5=x+1,即y=x+6,与y=-x联立,得P(-3,3).所以|PC|=(-1+3)2+(5-3)2=22
7、.设APC=,则APB=2,在APC中,sin =|AC|PC|=222=12,故=30,所以APB=2=60.故选C.图D 9-1-2解法二如图D 9-1-2,设圆(x+1)2+(y-5)2=2的圆心为C,则C(-1,5),则点C不在直线y=-x上,要满足l1,l2关于直线y=-x对称,则PC必然垂直于直线y=-x,所以|PC|=412+12=22,易知圆的半径r=2,sinAPC=|AC|PC|=12,则APC=30,所以APB=60.故选C.7.3x-2y=0或x-y+1=0 当直线过原点时,直线的斜率为k=3-02-0=32,此时直线方程为y=32x,即3x-2y=0.当直线不过原点时
8、,设直线方程为xa+y-a=1,把(2,3)代入可得a=-1,此时直线方程为x-y+1=0.故填3x-2y=0或x-y+1=0.8.18由两条直线互相垂直得(a-1)1+2b=0,即a+2b=1,又a0,b0,所以ab=12(a2b)12(a+2b2)2=18,当且仅当a=12,b=14时取等号.故ab的最大值是18.1.(1)12由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,因为0a0,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=122(2-a)+122(a2+2)=a2-a+4=(a-12)2+154,所以当a=12时,面积最小.(2)21x-28y-13=0或
9、x=1因为A,B到直线7x-21y-1=0的距离不相等,所以可设所求直线方程为2x+7y-4+(7x-21y-1)=0,即(2+7)x+(7-21)y+(-4-)=0,由点A(-3,1),B(5,7)到所求直线的距离相等,可得|(2+7)(-3)+(7-21)1-4-|(2+7)2+(7-21)2=|(2+7)5+(7-21)7-4-|(2+7)2+(7-21)2,整理可得|43+3|=|113-55|,解得=2935或=13,所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=1.2.(1)解法一直线l的方程可化为y=-34x+3,可知l的斜率为-34,因为l与l平行,所以直线l的斜率为-34
10、.又l过点(-1,3),所以由点斜式得直线l的方程为y-3=-34(x+1),即3x+4y-9=0.解法二由l与l平行,可设l的方程为3x+4y+m=0(m-12),将(-1,3)代入,得m=-9,于是所求直线方程为3x+4y-9=0.(2)解法一直线l的方程可化为y=-34x+3,可知l的斜率为-34,因为l与l垂直,所以直线l的斜率为43.又l过点(-1,3),所以由点斜式得直线方程为y-3=43(x+1),即4x-3y+13=0.解法二由l与l垂直,可设l的方程为4x-3y+n=0,将(-1,3)代入,得n=13,于是所求直线方程为4x-3y+13=0.(3)由l与l垂直,可设直线l的方
11、程为4x-3y+p=0,则l在x轴上的截距为-p4,在y轴上的截距为p3.由题意可知,l与两坐标轴围成的三角形的面积S=12|p3|-p4|=4,求得p=46.所以直线l的方程为4x-3y+46=0或4x-3y-46=0.3.(1)C 过点C作直线l,使lAB,则点P在直线l上.由题意易知,A(3,0),B(0,1),则|AB|=2,所以点C到直线AB的距离d=22-12=3.直线AB的方程可化为3x+3y-3=0,由ABP和ABC的面积相等,可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离,即|3m+312-3|(3)2+32=3,解得m=-332或m=532.因为点P在第一象限,所以m=532.故选C.(2)4解法一设P(x,x+4x),x0,则点P到直线x+y=0的距离d=|x+x+4x|2=2x+4x222x4x2=4,当且仅当2x=4x,即x=2时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.解法二由y=x+4x(x0)得y=1-4x2,令1-4x2=-1,得x=2,则当点P的坐标为(2,32)时,点P到直线x+y=0的距离最小,最小值为|2+32|2=4.
