1、5.1平面向量的概念及线性运算考试要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义知识梳理1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：abba
2、；结合律：(ab)ca(bc)减法aba(b)数乘|a|a|，当0时，a的方向与a的方向相同；当|b|，则ab.()(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量()教材改编题1给出下列命题：若a与b都是单位向量，则ab；直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量；若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合；海拔、温度、角度都不是向量则所有正确命题的序号是()ABCD答案D解析错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；正确
3、，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量2下列各式化简结果正确的是()A.B.C.0D.答案B3已知a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.答案解析由题意知存在kR，使得abk(b3a)，所以解得题型一平面向量的概念例1(1)给出下列命题，正确的有()A若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形Cab的充要条件是|a|b|且abD已知，为实数，若ab，则a与b共线答案B解析A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为，所以|且，又A，B，C
4、，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则下列等式中成立的是()A.B.C.D.答案D教师备选下列命题为假命题的是()A若a与b为非零向量，且ab，则ab必与a或b平行B若e为单位向量，且ae，则a|a|eC两个非零向量a，b，若|ab|a|b|，则a与b共线且反向D“两个向量平行”是“
5、这两个向量相等”的必要不充分条件答案B思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量(4)是与a同方向的单位向量跟踪训练1(1)下列命题不正确的是()A零向量是唯一没有方向的向量B零向量的长度等于0C若a，b都为非零向量，则使0成立的条件是a与b反向共线D若ab，bc，则ac答案A解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故C正确；D项，由向
6、量相等的定义知D正确(2)对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若ab0，则ab，则ab，即充分性成立；若ab，则ab不一定成立，即必要性不成立，即“ab0”是“ab”的充分不必要条件题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2(2022济南模拟)已知单位向量e1，e2，e2023，则|e1e2e2023|的最大值是_，最小值是_答案20230解析当单位向量e1，e2，e2023方向相同时，|e1e2e2023|取得最大值，|e1e2e2023|e1|e2|e2023|2023；当单位向量e1，e2
7、，e2023首尾相连时，e1e2e20230，所以|e1e2e2023|的最小值为0.命题点2向量的线性运算例3如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABAD，AB2AD2CD，E是BC边上一点，且3，F是AE的中点，则下列关系式不正确的是()A.B.C.D.答案C解析因为，所以选项A正确；因为()，而，代入可得，所以选项B正确；因为，而，代入得，所以选项C不正确；因为，而，代入得，所以选项D正确命题点3根据向量线性运算求参数例4(2022青岛模拟)已知平面四边形ABCD满足，平面内点E满足3，CD与AE交于点M，若xy，则xy等于()A.BC.D答案C解析如图所示，易知BC4AD，CE2AD，
8、()(6)2，xy.教师备选1(2022资阳模拟)在ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足2，则等于()AB.C.D答案A解析如图所示，D为BC的中点，()，2，.2(2022长春调研)在ABC中，延长BC至点M使得BC2CM，连接AM，点N为AM上一点且，若，则等于()A.B.CD答案A解析由题意，知()()，又，所以，则.思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值跟踪训练2(1)点G为ABC的重心，设a，b，则等于()Ab2aB.abC.abD2a
9、b答案A解析如图所示，由题意可知，故2b2a.(2)(2022大连模拟)在ABC中，2，2，P为线段DE上的动点，若，R，则等于()A1B.C.D2答案B解析如图所示，由题意知，设x，所以xx()x(1x)x(1x)，所以x，(1x)，所以x(1x).题型三共线定理及其应用例5设两向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线(1)证明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，
10、(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个向量，kk10，k210，k1.教师备选1已知P是ABC所在平面内一点，且满足2，若SABC6，则PAB的面积为()A2B3C4D8答案A解析22()，3，且两向量方向相同，3，又SABC6，SPAB2.2设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，(ab)的终点在同一条直线上，则实数t的值为_答案解析a，tb，(ab)的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，atb与a(ab)共线，即atb与ab共线，存在实数，使atb，又a，b为两个不共线的非零向量，解得思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要
11、依据(2)若a与b不共线且ab，则0.(3)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.跟踪训练3(1)若a，b是两个不共线的向量，已知a2b，2akb，3ab，若M，N，Q三点共线，则k等于()A1B1C.D2答案B解析由题意知，a(k1)b，因为M，N，Q三点共线，故存在实数，使得，即a2ba(k1)b，解得1，k1.(2)如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若(，R)，则的取值范围是()A(0,1) B(1，)C(1， D(1,0)答案B解析因为线段CO与线段AB交于点D，所以O，C，D三点共线，所以与共线，设m，则m1，因为，所以m，可
12、得，因为A，B，D三点共线，所以1，可得m1，所以的取值范围是(1，)课时精练1.如图所示，在正六边形ABCDEF中，等于()A0B.C.D.答案D解析根据正六边形的性质，易得，.2若a，b为非零向量，则“”是“a，b共线”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案B解析，分别表示与a，b同方向的单位向量，则有a，b共线，而a，b共线，则，是相等向量或相反向量，所以“”是“a，b共线”的充分不必要条件3设a()()，b是一个非零向量，则下列结论不正确的是()AabBabaCabbD|ab|a|b|答案B解析由题意得，a()()0，且b是一个非零向量，所以ab成立
13、，所以A正确；由abb，所以B不正确，C正确；由|ab|b|，|a|b|b|，所以|ab|a|b|，所以D正确4(2022汕头模拟)下列命题中正确的是()A若ab，则存在唯一的实数使得abB若ab，bc，则acC若ab0，则a0或b0D|a|b|ab|a|b|答案D解析若ab，且b0，则可有无数个实数使得ab，故A错误；若ab，bc(b0)，则ac，若b0，则a，c不一定平行，故B错误；若ab0，也可以为ab，故C错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，|a|b|ab|a|b|成立，故D正确5在平行四边形ABCD中，与交于点O，E是线段OD的中点若a，b，则等于()A.abB.a
14、bC.abD.ab答案C解析如图所示，a，b，ab，abbab.6下列说法正确的是()A向量与向量的长度相等B两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反D向量的模是一个正实数答案A解析A项，与的长度相等，方向相反，正确；B项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C项，向量a与b平行时，若a或b为零向量，不满足条件，故错误；D项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若x，则x等于()A.B.C.D.答案C解析连接AE(图略)，因为F为DE的中点，所以(
15、)，而，所以()，又x，所以x.8.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是()A.B.C.D.答案A解析由题意得，所以A正确；，所以B错误；，所以C错误；，若，则0，不符合题意，所以D错误9(2022太原模拟)已知不共线向量a，b，tab(tR)，2a3b，若A，B，C三点共线，则实数t_.答案解析因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得k，所以tabk(2a3b)2ka3kb，即(t2k)a(3k1)b.因为a，b不共线，所以
16、解得10已知ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，则_.答案3解析如图，设F为BC的中点，则()，又，又G，D，E三点共线，1，即3.11若正六边形ABCDEF的边长为2，中心为O，则|_.答案2解析正六边形ABCDEF中，在AEF中，AFE120，AFEF2，|2，即|2.12在平行四边形ABCD中，点M为BC边的中点，则_.答案解析()()，又因为，所以解得所以.13点P是ABC所在平面内一点，且满足|2|0，则ABC是_三角形答案直角解析因为点P是ABC所在平面内一点，且|2|0，所以|()()|0，即|，所以|，等式两边平方并化简得0，所以，BAC90，则ABC为
17、直角三角形14在ABC中，A60，A的平分线交BC于点D，若AB4，且(R)，则_，AD的长为_答案3解析B，D，C三点共线，1，解得.如图，过D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则，在ABC中，A60，A的平分线交BC于D，四边形AMDN是菱形，AB4，ANAM3，AD3.15(2022滁州模拟)已知P为ABC所在平面内一点，0，|2，则ABC的面积为()A.B2C3D4答案B解析设BC的中点为D，AC的中点为M，连接PD，MD，BM，如图所示，则有2.由0，得2，又D为BC的中点，M为AC的中点，所以2，则，则P，D，M三点共线且D为PM的中点，又D为BC的中点，所以四边形CPBM为平行四边形又|2，所以|2，则|4，且|2，所以AMB为等边三角形，BAC60，则SABC242.16若230，SAOC，SABC分别表示AOC，ABC的面积，则SAOCSABC_.答案16解析若230，设2，3，可得O为ABC的重心，如图，设SAOBx，SBOCy，SAOCz，则SAOB2x，SBOC3y，SAOC6z，由2x3y6z，可得SAOCSABCz(xyz)16.