1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 必修1 函 数 第二章 2.1 函 数第二章 2.1.3 函数的单调性第1课时 函数的单调性的定义课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课后强化作业 5课前自主预习 1思想方法技巧 4课前自主预习很多数学概念都是现实世界的一种反映从本质上看，函数单调性揭示的是一种变化趋势趋势有很多种，例如股票震荡上升的趋势；全球的气候变化趋势；虽然不断有局部的战争和冲突，“和平与发展”却是国际关系的基本趋势数学上的单调性，是绝对上升或下降的趋势，这是数学单调趋势的特征怎样表示这种绝对的上升和下降呢？如果是有限个数字，把它们一个个排列起来就行了，现在的问题是有无限
2、多个变量的值，没法排数学的思考是“任意取两个，都是上升(下降)，保证不出意外”，这就是无限多个变量时，对“一个不能少”的数学处理下面我们就一起来探索吧！1一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA如果取区间M中的任意两个值x1、x2，改变量xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是_，当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是_2如果一个函数在某个区间M上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间M上具有_增函数 减函数单调性3函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐_的，若f(x)是单调
3、减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐_的4用定义证明单调性的步骤：_，_，_，_，_.上升 下降取值 作差 变形 定号 结论1函数f(x)2在2,4上的单调性为()A减函数 B增函数C先减后增D不具备单调性答案 D解析 当x2,4时，f(x)的值恒等于2，故函数f(x)2在2,4上不具有单调性导学号622403492对于函数yf(x)，在给定区间内有两个值x1，x2，且x1x2，使f(x1)f(x2)成立，则yf(x)()A一定是增函数B一定是减函数C可能是常数函数D单调性不能确定答案 D解析 由函数单调性的定义可知，判断单调性时不能用特殊值代替任意值，故选D导学号622403503(20
4、142015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数f(x)x22x3的单调递增区间为_答案 1，)解析 f(x)x22x3(x1)22，函数f(x)的图象的对称轴为x1，故函数f(x)的单调递增区间为1，)导学号622403514若函数f(x)是R上的减函数，且f(x1)x2解析 根据减函数的定义可知，x1x2.导学号622403525(20142015 学年度宁夏育才中学高一上学期月考)设函数 f(x)x2x1，用单调性定义证明 f(x)在(1，)上是减函数证明 设任意 x1(1，)，x2(1，)，且 x1x2.f(x2)f(x1)x22x21x12x11x1x2x21x11导学号622
5、40353x1x2，x1(1，)，x2(1，)，x1x20，x210，x1x2x21x110，f(x2)f(x1)，函数 f(x)在(1，)上是减函数课堂典例讲练证明：函数f(x)2x24x在(，1上是减函数分析 函数解析式和区间已给出，要证明函数是减函数，只需用定义证明即可证明 设x10，yf(x2)f(x1)(2x4x2)(2x4x1)2(xx)4(x2x1)2(x2x1)(x1x22)x1x21，x1x220，y0.f(x)在(，1上是减函数用定义证明函数的单调性导学号62240354证明函数 f(x)x在定义域上是减函数证明 易知 f(x)x的定义域为0，)设 x1、x2 是0，)内的
6、任意两个实数，且 x10，yf(x2)f(x1)x2(x1)x1 x2 x1 x2 x1 x2x1 x2x1x2x1 x2.x1x2x0，y0.f(x)x在0，)上是减函数导学号62240355证明含参数的函数的单调性已知函数 f(x)axx21(a 为常数且 a0)，试判断函数 f(x)在(1,1)上的单调性解析 任取 x1、x2，使得1x1x20.yf(x2)f(x1)ax1x21x1x2x211x221，导学号622403561x1x20，x2110，x2210，x1x21x1x2x211x221 0 时，f(x2)f(x1)0，故此时函数 f(x)在(1,1)上是减函数，当 a0，故此
7、时 f(x)在(1,1)上是增函数综上所述，当 a0 时，f(x)在(1,1)上为减函数，当 a0 时，f(x)在(1,1)上为增函数判断函数 f(x)ax(a 为常数且 a0)在(0，)上的单调性解析 任取 x1、x2，使得 0 x10.yf(x2)f(x1)ax2ax1ax1x2x1x2，导学号622403570 x10，x1x20，x1x2x1x2 0 时，f(x2)f(x1)0，故此时函数 f(x)在(0，)上是减函数，当 a0，故此时函数 f(x)在(0，)上是增函数综上所述，当 a0 时，f(x)在(0，)上是减函数，当 a0时，f(x)在(0，)上是增函数已知函数 yf(x)在(
8、0，)上为增函数，且f(x)0)，试判断 F(x)1fx在(0，)上的单调性，并证明分析 利用单调性的定义，判断F(x2)F(x1)的符号即可解析 F(x)在(0，)上为减函数下面给出证明：任取x1、x2(0，)，且xx2x10.证明抽象函数的单调性导学号62240358yF(x2)F(x1)1fx2 1fx1fx1fx2fx2fx1，又 yf(x)在(0，)上为增函数，且 xx2x10，yf(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)，f(x1)f(x2)0.而 f(x1)0，f(x2)0，F(x2)F(x1)0，F(x)在(0，)上为减函数已知函数yf(x)在(0，)上为减函数，且f(x
9、)0)，试判断F(x)f 2(x)在(0，)上的单调性，并证明解析 F(x)在(0，)上为增函数任取x1、x2(0，)，且xx2x10.yF(x2)F(x1)f2(x2)f2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)，又yf(x)在(0，)上为减函数，且xx2x10，f(x2)f(x1)0，而f(x1)0，f(x2)0，f(x2)f(x1)0，F(x)在(0，)上为增函数导学号62240359易错疑难辨析证明函数f(x)x3x在R上是增函数错解 设 x1、x2R，且 x1x2，则f(x1)f(x2)(x31x1)(x32x2)(x31x32)(x1x2)x1x2，x31x32，x1x20
10、.x31x320.两个负数相加依然为负，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)f(x)x3x 在 R 上是增函数辨析 本题实质上就是证明 yx3 在 R 上是增函数而由x1x2 直接推出 x31x32，这是将 yx3 为增函数作为依据，犯了循环论证的错误，即把要证明的结论当成了条件导学号62240360正解 设 x1、x2R，且 x10，f(x2)f(x1)(x32x2)(x31x1)(x32x31)(x2x1)(x2x1)(x22x2x1x21)(x2x1)(x2x1)(x22x2x1x211)(x2x1)x2x12234x211.(x2x12)234x2110，f(x2)f(x1
11、)0，即 f(x2)f(x1)f(x)x3x 在 R 上是增函数思想方法技巧赋值法定义在(，)上的函数yf(x)，对于任意实数m、n，恒有f(mn)f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1.(1)求f(0)的值；(2)求当x0，则有f(n)f(0n)f(0)f(n)，又由已知，n0时，0f(n)1，f(0)1.导学号62240361(2)设 x0，f(0)fx(x)f(x)f(x)1，则f(x)1fx，又x0，0f(x)1，f(x)(1，)(3)f(x)在(，)上是单调减函数证明：设 x1、x2(，)，且 x10.又 x1(x1x2)x2，f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)，fx1fx2f(x1x2)x1x2，x1x21，fx1fx21.由题设及(1)、(2)，知 f(x1)、f(x2)R，故 f(x1)f(x2)，yf(x2)f(x1)0，即 f(x)在(，)上是单调减函数点评 1.根据要求研究抽象函数的单调性，是一类重要的题型，其解法常采用定义法2遇到抽象函数问题，首先在问题区间上设 x1x2，然后向已知区间转化，利用已知条件和函数单调性的定义解决问题3一般寓于特殊之中，抽象函数的求值可用赋值法，如何给变量赋值，要根据条件与结论的暗示与联系，有时要进行多次尝试方可解决问题课后强化作业（点此链接）