1、第二章 数 列 2.3 等比数列 2.3.2 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.掌握等比数列的前 n 项和公式及其应用(重点)2.会用错位相减法求数列的和(难点)3.能运用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的实际问题课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知等比数列的前 n 项和公式课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考：等比数列求和应注意什么？提示 公比 q 是否等于 1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页
2、基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)求等比数列an的前 n 项和时可直接套用公式 Sna11qn1q来求()(2)首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前 n 项和为 Snna.()(3)若某数列的前 n 项和公式为 Snaqna(a0，q0 且 q1，nN)，则此数列一定是等比数列()答案(1)(2)(3)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2在等比数列an中，a12，S326，则公比 q_.【导学号：12232217】3 或4 S3a11q31q21q31q 26，q2q120，q3 或4.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重
3、难返首页3等比数列an中，公比 q2，S544，则 a1_.4 由 S5a11251244，得 a14.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4设 Sn 为等比数列an的前 n 项和，8a2a50，则S5S2_.【导学号：12232218】11 由 8a2a50，得a5a28，即 q38，所以 q2.S5S2a112512a11221212512211.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难前n项和公式基本量的运算 在等比数列an中，(1)若 q2，S41，求 S8；(2)若 a1a310，a4a654，求 a4 和 S5.课
4、时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)法一：设首项为 a1，q2，S41，a1124121，即 a1 115，S8a11q81q1151281217.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：S4a11q41q1，且 q2，S8a11q81qa11q41q(1q4)S4(1q4)1(124)17.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得a1a1q210，a1q3a1q554.即a11q210，a1q31q254，a10,1q20，得，q318，即 q12，a18.课时分层作业当堂达
5、标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页a4a1q381231，S5a11q51q81125112312.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.在等比数列an的五个量“a1，q，an，n，Sn”中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.2.在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要对公比 q1 或 q1 进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1若等比数列an满足 a2a420，a3a540，则公比 q_；前n 项和 Sn_.【导
6、学号：12232219】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2 2n12 设等比数列an的公比为 q，因为 a2a420，a3a540，所以a1qa1q320，a1q2a1q440.解得a12，q2.所以 Sna1qn1q122n1212n12.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页等比数列前n项和的综合应用 借贷 10 000 元，月利率为 1%，每月以复利计息，王老师从借货后笫 二 个 月 开 始 等 额 还 贷，分 6 个 月 付 清，试 问 每 月 应 支 付 多 少 元(1.0161.061,1.0151.051)?课时分层作业当堂达标固
7、双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 法一：设每个月还贷 a 元，第 1 个月后欠款为 a0 元，以后第 n 个月还贷 a 元后，还剩下欠款 an 元(1n6)，则 a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a0(11.011.015)a.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页由题意，可知 a60，即 1.016a0(11.011.015)a0，a1.0161021.0161.因为 1.0161.061，所以 a1.0611021.0611 1 739(元)故每月应支付 1 739 元课时分层作
8、业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存储 6 个月，则它的本利和为 S1104(10.01)6104(1.01)6(元)另一方面，设每个月还货 a 元，分 6 个月还清，到货款还清时，其本利和为 S2 a(1 0.01)5 a(1 0.01)4 a a10.01611.011 a(1.016 1)102(元)由 S1S2，得 a1.0161021.0161 1 739(元)故每月应支付 1 739 元课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，
9、所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为 SP(1r)n，其中 P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过1 25 m 吗？【导学号：12232220】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 用 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度，由题意，得 an145an，因此，数列an是首项 a1
10、25，公比 q45的等比数列热气球在前 n 分钟内上升的总高度为：Sna1a2ana11qn1q25145n145125145n125.故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页错位相减法求和探究问题1由项数相等的等差数列n与等比数列2n相应项的积构成新的数列n2n是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前 n 项和 Sn 的表达式是什么？提示 由等差数列及等比数列的定义可知数列n2n既不是等差数列，也不是等比数列该数列的前 n 项和 Sn 的表达式为 Sn121222323n2n.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重
11、难返首页2在等式 Sn121222323n2n 两边同乘以数列2n的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求 Sn 的问题转化为等比数列的前 n 项和问题吗？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示 在等式 Sn121222323n2n两边同乘以2n的公比可变形为2Sn122223324(n1)2nn2n1得：Sn1212223242nn2n1(2122232n)n2n1.此时可把求 Sn 的问题转化为求等比数列2n的前 n 项和问题我们把这种求由一个等差数列an和一个等比数列bn相应项的积构成的数列anbn前 n 项和的方法叫错位相减法课时分层
12、作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数列，且 anbnbn1.【导学号：12232221】(1)求数列bn的通项公式；(2)令 cnan1n1bn2n，求数列cn的前 n 项和 Tn.思路探究(1)利用 Sn 与 an 的关系求出 an，再利用待定系数法求出 bn.(2)先化简 cn，再利用错位相减法求和课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)由题意知，当 n2 时，anSnSn16n5，当 n1 时，a1S111，满足上式，所以 an6n5.设数列bn的公差为 d.由a1b1b2，a2b2b3
13、，即112b1d，172b13d，可解得b14，d3.所以 bn3n1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)由(1)知 cn6n6n13n3n 3(n1)2n1，又 Tnc1c2cn，得 Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n234412n12 n12n23n2n2，所以 Tn3n2n2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 错位相减法的适用范围及注意事项：(1)适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前 n 项和.(2)
14、注意事项：利用“错位相减法”时，在写出 Sn 与 qSn 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1q)Sn 的表达式.利用此法时要注意讨论公比 q 是否等于 1 的情况.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练3.121238n2n_.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2n1n22n 令 Sn122438 n2n，则12Sn1428 316n12n n2n1，由得，12Sn121418 12n n2n112112n112 n2n1，得 Sn2 22n n2n2n1n22n.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重
15、难返首页当 堂 达 标固 双 基1数列 2n1的前 99 项和为()【导学号：12232222】A21001 B12100C2991D1299C 数列2n1为等比数列，首项为 1，公比为 2，故其前 99 项和为 S99129912 2991.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2等比数列an中，a33S22，a43S32，则公比 q 等于()A2B12C4D14C a33S22，a43S32，等式两边分别相减得，a4a33a3 即 a44a3，q4.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知等比数列an中，q2，n5，Sn62，则 a1_.【导
16、学号：12232223】2 q2，n5，Sn62，a11qn1q62，即a11251262，a12.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S33a3，则公比 q_.12或 1 S3a1a2a33a3，a1a22a3，a10，1q2q2，即 2q2q10，q12或 1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足 b11，b213，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前 n 项和.【导学号：12232224】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b213，得 a12.所以数列an是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 an3n1.(2)由(1)知 anbn1bn1nbn，得 bn1bn3，因此bn是首项为 1，公比为13的等比数列记bn的前 n 项和为 Sn，则 Sn113n11332123n1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十四）点击上面图标进入 谢谢观看