1、5 解析几何 考情解读 解析几何是代数与几何的完美结合，是数形结合的典范，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一常考的题型如下：求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题其中直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、切线)的研究与讨论仍然是重中之重；随着导数的引入，抛物线的切线问题将有可能进一步“升温”；解析几何与平面向量的关系将进一步密切，会使得很多问题具有向量背景；抛物线、椭圆与圆之间位置
2、关系的研究与讨论也将是常考查的问题；函数、方程与不等式与解析几何问题的有机结合将继续成为高考数学的“重头戏”要掌握好解析几何问题，对如下重点题型要熟练掌握，如：(1)中点弦问题：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数(2)焦点三角形问题：椭圆或双曲线上一点，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥(3)直线与圆锥曲线位置关系问题：直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题：圆锥曲线中的有关最值(范围)问
3、题，常用代数法和几何法解决若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决；若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，基本不等式)求最值(5)求曲线的方程问题：曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决；曲线的形状未知求轨迹方程常见的方法有直译法、定义法、动点转移法、参数法等除此之外还要加深对几个二次曲线的理解要让学生将其数量关系、图形结构及相关性质融为一体；加强运算训练，突出方程思想，提高运算技能；有关弦长公式、韦达定理、判别式等常用结构的应用要得心应手，了然于心；加强几何分析，提高学生的平面几何应用能力(如三角形中的相关性质应用、共
4、圆问题研究、圆的性质应用等)；重视向量、三角在解析几何中的渗透，提高综合应用知识、灵活选择方法的能力分类突破 热点一 圆锥曲线中的定值题与最值题例 1 在平面直角坐标系 xOy 中，过定点C(0，p)作直线与抛物线 x22py(p0)相交于 A，B 两点(1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面积的最小值；(2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程，若不存在，说明理由规范解答示例解(1)设直线 AB 的斜率为 k，A(x1，y1)B(x2，y2)，由题意知：C(0，p)，N(0，p)，则 l 的方
5、程为 ykxp，与 x22py 联立消去 y 得，x22pkx2p20.所以 x1x22pk，x1x22p22 分又因为 SANBSANCSBNC，CN2p.所以 SANB122p|x1x2|p(x1x2)24x1x22p2 k22.4 分所以，当 k0 时，(SABN)min2 2p2.6 分(2)易得以 AC 为直径的圆的方程为(x0)(xx1)(yp)(yy1)0.8 分假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 ya，代入圆的方程，整理得 x2x1x(ap)(ay1)0.设直线 l 与圆的交点为 P(x3，y3)，Q(x4，y4)由弦长公式并结合根与系数的关系，得|PQ|x3x4|4(ap
6、2)y14a(pa)2(ap2)y1a(pa).10 分由此知，当 ap2时，|PQ|p 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为 yp2.12 分构建答题模板第一步：联立方程，写出根与系数的关系，并求出 0 时，参数的范围；第二步：建立关于所求问题的目标函数；第三步：最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出；定值问题只证明函数为常数函数，与变量无关；第四步：反思回顾，有无忽略特殊情况归纳拓展 关于过定值问题，另一种常用的方法为：先根据特殊性求出定值，然后再给出一般证明热点二 解析几何中的探索性问题例 2 已知定点 C(1,0)及椭圆 x23y25，过点 C 的动直线与椭圆相交于 A，B
7、两点(1)若线段 AB 中点的横坐标是12，求直线 AB 的方程；(2)在 x 轴上是否存在点 M，使MA MB 为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由规范解答示例解(1)依题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，将 yk(x1)代入 x23y25，消去 y 整理得(3k21)x26k2x3k250.因为 C 在椭圆内部，所以 0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 6k23k21.3 分由线段 AB 中点的横坐标是12，得x1x22 3k23k2112，解得 k 33.所以直线 AB 的方程为 x 3y10 或 x 3y10.6
8、 分(2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0)，使MA MB 为常数()当直线 AB 与 x 轴不垂直时，由(1)知x1x2 6k23k21，x1x23k253k21.所以MA MB(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.将代入，整理得MA MB(6m1)k253k21m22m13(3k21)2m1433k21m2m22m13 6m143(3k21).10 分注意到MA MB 是与 k 无关的常数，从而有6m140，m73，此时MA MB 49.12 分()当直线 AB 与 x 轴垂直时，此时点 A、B 的坐标分别为1，23、1，23，当 m73时，也有MA MB 49.综上，在 x 轴上存在定点 M73，0，使MA MB 为常数14 分构建答题模板第一步：假设结论存在第二步：以存在为条件，进行推理求解第三步：明确规范表述结论若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设第四步：反思回顾查看关键点，易错点及解题规范如本题中第(1)问容易忽略 0 这一隐含条件第(2)问易忽略直线 AB 与 x 轴垂直的情况返回