1、第二章 数 列 2.3 等比数列 2.3.1 等比数列 第1课时 等比数列 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.理解等比数列的定义(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q 表示(q0)(2)符号语言：an1an(q 为常数，q0，nN)2同一常数公比q课时分层作业当堂达
2、标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考 1：等比数列还可以用哪种符号语言表示？提示 anan1q(q 为常数，q0，n2，nN)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2等比中项(1)前提：三个数 x，G，y 成等比数列(2)结论：叫做 x，y 的等比中项(3)满足的关系式：G2.思考 2：任意两数都有等比中项吗？提示 不是，只有同号的两数才有Gxy课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第 n 项 an，有公式 an.这就是等比数列an的通项公式，其中 a1 为首项，q 为公比4等比数列与指数函数的
3、关系等比数列的通项公式可整理为 an ，而 ya1q qx(q1)是一个不为 0的常数a1q 与指数函数 qx 的乘积，从图象上看，表示数列a1q qn 中的各项的点是函数 y 的图象上的点a1qn1孤立a1q qna1q qn课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)常数列一定是等比数列()(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列()(3)等比数列中的项可以为零()答案(1)(2)(3)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2在等比数列an中，a14，公比 q3，则通项公式 an_.【导学号：122
4、32188】43n1 ana1qn143n1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知an是等比数列，a22，a514，则公比 q_.12 a2a1q2，a5a1q414，得：q318，q12.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4在等比数列an中，已知 a23，a524，则 a8_.【导学号：12232189】192 由a2a1q3，a5a1q424，得a132，q2，所以 a83227192.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难等比数列的判定 数列an满足 a11，且 an3an12n3(n2
5、,3，)(1)求 a2，a3，并证明数列ann是等比数列；(2)求 an.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)a23a12234，a33a223315.下面证明ann是等比数列：an1n1ann3an2n13n1ann3an3nann 3(n1,2,3，)又 a112，ann是以2 为首项，以 3 为公比的等比数列(2)由(1)知 ann23n1，ann23n1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：(1)定义法：an1an q(q 为常数且不为零)an为等比数列.(2)等比中项法：a2n1
6、anan2(nN且 an0)an为等比数列.(3)通项公式法：ana1qn1(a10 且 q0)an为等比数列.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1已知数列an的前 n 项和 Sn2an1，求证an是等比数列，并求出通项公式课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页证明 Sn2an1，Sn12an11.an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an，an12an，又S12a11a1，a110.又由 an12an 知 an0，an1an 2，an是等比数列an12n12n1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页
7、等比中项的应用 在等差数列an中，公差 d0，且 a1，a3，a9 成等比数列，则a1a3a9a2a4a10等于多少？【导学号：12232190】解 由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项，a23a1a9，(a12d)2a1(a18d)，得 a1d，a1a3a9a2a4a1013d16d1316.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 由等比中项的定义可知：GabGG2abG ab.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若 G2ab，则GabG，即 a，G，b 成等比数列.所以 a，G，b 成等比数列G2ab(
8、ab0).课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2已知 a，32，b，24332，c 这五个数成等比数列，求 a，b，c 的值课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 由题意知 b232 24332 326，b278.当 b278 时，ab322，解得 a23；bc2433223210，解得 c327.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页同理，当 b278 时，a23，c327.综上所述，a，b，c 的值分别为23，278，327或23，278，327.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页等比数
9、列的通项公式探究问题1类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为 a1，公比为 q 的等比数列an的通项公式吗？提示 由等比数列的定义可知：a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，a5a4qa1q4由此归纳等比数列an的通项公式为 ana1qn1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2由等比数列的定义式an1an q(q0)你能用累乘法求出用首项 a1，公比 q表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项 am及公比 q 表示 an 吗？提示 由an1an q，知a2a1q，a3a2q，a4a3q，anan1q，将以上各式两边分别相乘可得ana1qn1，则
10、 ana1qn1；由ana1qn1，ama1qm1两式相比得anamqnm，则 anamqnm，事实上该式为等比数列通项公式的推广课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3在等比数列的通项公式 ana1qn1 中，若已知 a12，q12，你能求出a3 吗？若已知 a12，a38，你能求出公比 q 吗？这说明了什么？提示 若 a12，q12，则 a3212212；若 a12，a38，则 2q28，所以 q2，由此说明在 ana1qn1 中所含四个量中能“知三求一”课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)在等比数列an中，已知 a2a518，a3a69
11、，an1，求 n；(2)已知等比数列an为递增数列，且 a25a10,2(anan2)5an1，求数列an的通项公式 an.【导学号：12232191】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)先由 a2a518，a3a69，列出方程组，求出 a1，q，然后再由 an1 解出 n.(2)根据条件求出基本量 a1，q，再求通项公式课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)法一：因为a2a5a1qa1q418，a3a6a1q2a1q59，由得 q12，从而 a132.又 an1，所以 3212n11，即 26n20，所以 n6.课时分层作业
12、当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：因为 a3a6q(a2a5)，所以 q12.由 a1qa1q418，得 a132.由 ana1qn11，得 n6.(2)由 2(anan2)5an12q25q20q2 或12，由 a25a10a1q90a10，又数列an递增，所以 q2.a25a100(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为 an2n.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1 和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两
13、个基本量，问题便迎刃而解.2.关于 a1 和 q 的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再求 an，这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练3在等比数列an中，(1)若它的前三项分别为 5，15,45，求 a5；(2)若 a42，a78，求 an.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)a5a1q4，而 a15，qa2a13，a5405.课时分层作业当堂达标固
14、双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)因为a4a1q3，a7a1q6，所以a1q32，a1q68，由得 q34，从而 q3 4，而 a1q32，于是 a12q312，所以 ana1qn122n53.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1在等比数列an中，若 a10，a218，a48，则公比 q 等于()【导学号：12232192】A32 B23C23D23或23课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页C 由a1q18，a1q38，解得a127，q23或a127，q23.又 a10，因此 q23.课时分层作业当堂达标固双基
15、自主预习探新知合作探究攻重难返首页2如果1，a，b，c，9 成等比数列，那么()Ab3，ac9Bb3，ac9Cb3，ac9Db3，ac9B 因为 b2(1)(9)9，a21bb0，所以 b0，所以 b3，且 a，c 必同号所以 acb29.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3在等比数列an中，若 a33，a46，则 a5_.【导学号：12232193】12 法一：由 qa4a3632，所以 a5a4q12.法二：由等比数列的定义知，a3，a4，a5 成等比数列，a4a3a5a4，a24a3a5，a5a24a312.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难
16、返首页4已知等比数列an的前三项依次为 a1，a1，a4，则 an_.432n1 由已知可知(a1)2(a1)(a4)，解得 a5，所以 a14，a26，所以 qa2a16432，所以 an432n1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5在等比数列an中，a332，a58，(1)求数列an的通项公式 an；(2)若 an12，求 n.【导学号：12232194】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)因为 a5a3q2，所以 q2a5a314.所以 q12.当 q12时，ana3qn33212n328n；当 q12时，ana3qn33212n3.所以 an28n 或 an3212n3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)当 an12时，28n12或 3212n312，解得 n9.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十二）点击上面图标进入 谢谢观看
