1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 必修1 函 数 第二章 2.4 函数与方程第二章 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法二分法课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课后强化作业 5课前自主预习 1思想方法技巧 4课前自主预习在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，问如何迅速查出故障所在？如果沿着线路小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？1变号零点与不变号零点如果函数yf(x)在区间a，b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的
2、函数值异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0(a，b)，使f(x0)0，这样的零点常称作_零点有时曲线通过零点时不变号，这样的零点称作_零点变号 不变号2用“二分法”求函数变号零点的近似值的一般步骤第 一 步：在 D 内 取 一 个 闭 区 间 a，bD，使 f(a)与f(b)_，即f(a)f(b)_，令a0a，b0b.第二步：取区间a0，b0的_(如图)，则该中点对应的横坐标为 x0a012(b0a0)12(a0b0)异号 0 中点 计算 f(x0)和 f(a0)：判断：如果 f(x0)0，则_就是 f(x)的零点，计算终止；如果 f(a0)f(x0
3、)_0，则零点位于区间a0，x0中，令 a1a0，b1x0；如果 f(a0)f(x0)_0，则零点位于区间x0，b0中，令 a1x0，b1b.第三步：取区间a1，b1的中点，则该中点对应的横坐标为x1a112(b1a1)12(a1b1)x0 实施上述步骤，直到an，bn精确到规定的精确度的近似值_时，那么这个值就是方程f(x)0的一个近似解，计算终止求函数零点的近似值，所选取的起始区间可以不同，最后结果也不尽相同，但相同精确度、取相同位数的近似值一定_相等 相同1如图所示，函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()导学号62240638A B C D答案 B解析 本题考查
4、用二分法求函数零点时，函数值在零点左右变号用二分法求函数的零点时，若f(a)f(b)0，f(2.3)55.290.290，故选C导学号622406404用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点2.5，那么下一个有根区间是_答案 2,2.5解析 由计算器可算得f(2)1，f(3)16，f(2.5)5.625，f(2)f(2.5)0，所以下一个有根区间是2,2.5导学号622406415在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币，但质量稍轻，若现在只有一台天平，最多需要称_次就可以发现这枚假币答案 4解析 第一次两端各13枚称重，选出较轻的一端的13枚，继续称；第二
5、次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚，继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚，继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币，若平衡，则剩下的是假币即最多称四次就可以发现这枚假币导学号622406426已知f(x)x5x3在区间1,2内有零点，求方程x5x30在区间1,2内的一个近似解(精确到0.1)解析 设f(x)x5x3，取1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端点(中点)坐标计算中点函数值取值区间f(1)101,2x1122 1.5f(x1)6.0937501,1.5x211.521.25f(x2)1.30175701,1.25导学号6224064
6、3端点(中点)坐标计算中点函数值取值区间x311.2521.125f(x3)0.07296801.125,1.1875x51.1251.187521.15625f(x5)0.22286101.125,1.15625x61.1251.1562521.140625f(x6)0.071323401.125,1.140625由上表可知方程的近似解为1.1.课堂典例讲练函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是()二分法的概念导学号62240644分析 题目中给出了各个函数的图象，通过图象与x轴的交点，结合二分法的概念以及使用二分法求函数零点的条件，判断是否可以使用二分法解析 选项B中的
7、函数零点是不变号零点，不能用二分法求解答案 B函 数 y f(x)在 区 间 a，b 上 的 图 象 不 间 断，并 且f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上()A只有一个变号零点B有一个不变号零点C至少有一个变号零点D不一定有零点答案 C导学号62240645解析 如图所示，因为f(x)在a，b上的图象不间断，且f(a)与f(b)异号，故f(x)在a，b上必有零点，并且可能不止一个，故选C求函数f(x)x32x23x6的一个为正数的零点(精确到0.1)分析 先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值解析 由于f(1)
8、60，可取区间1,2作为计算的初始区间用二分法逐次计算，列表如下：用二分法求函数零点的近似值导学号62240646端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间a01，b02f(1)6，f(2)41,2x1122 1.5f(x1)2.62501.5,1.75x31.51.7521.625f(x3)1.302 701.625,1.75x41.6251.7521.6875f(x4)0.561 801.687 5,1.75x51.687 51.7521.718 75f(x5)0.17101.718 75,1.734 375因此可以看出，区间1.718 75,1.734 375内的所有值精确到0.1都为1.7
9、，所以1.7就是所求函数精确到0.1的实数解试用计算器求出函数f(x)x2，g(x)2x2的图象交点的横坐标(精确到0.1)解析 令h(x)f(x)g(x)x22x2.h(2)2222220，h(2)h(3)0，h(x)x22x2在2,3上有零点x0.取2,3的中点x12.5，则h(2.5)0.750，x02.5,2.75；导学号62240647取2.5,2.75的中点x32.625，则h(2.625)0，x02.625,2.75；取2.625,2.75的中点x42.687 5，则h(2.687 5)0，x02.687 5,2.75；取x02.687 5,2.75的中点x52.718 75，h
10、(2.718 5)0.由于区间2.687 5,2.718 75的左、右端点精确到0.1的近似值都是2.7，所以2.7是函数的零点，即f(x)x2与g(x)2x2的一个交点的横坐标约为2.7.类似可得另一交点的横坐标为0.7.一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致，要想检验出哪一处焊接点脱落，问运用二分法至多需要检测的次数是多少？二分法在实际问题中的应用解析 对焊接点一一检测很麻烦，当然也是不需要的如图所示，只需选线路 AB 的中点C，然后判断出焊接点脱落处所在的线路是 AC 还是 BC，然后依次循环上述过程即可很快检测出焊接点脱落的位置根据二分法的
11、思想，具体分析如下：导学号62240648第1次取中点把焊接点数减半为64232个，第2次取中点把焊接点数减半为32216个，第3次取中点把焊接点数减半为1628个，第4次取中点把焊接点数减半为824个，第5次取中点把焊接点数减半为422个，第6次取中点把焊接点数减半为221个，所以至多需要检测6次2008年初我国南方遭遇了50年不遇的雪灾雪灾发生后，停水断电，交通受阻一日，某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？导学号62240649解析 可以利用二分法的思想进行方案的设计如图所示，可首先从中点 C 开始检查，用随身携带的
12、工具检查，若发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段，再到 BC 段中点 D 检查，若 BD 段正常，可见故障在 CD 段，再到 CD 段中点 E 检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过 7 次查找，即可将故障缩小到 50100 m 之间，于是可迅速查出故障所在易错疑难辨析中央电视台曾有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一商标某次猜一种品牌的手机，手机价格在5001 000元之间选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元
13、，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？导学号62240650错解 选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元恭喜你，猜中了！辨析 虽然最后结果猜对了，但是此方法很不科学，为了解决这个实际问题，正确的思维方法是使用数学中的“二分法”，它能更有效地解答生活中的应用问题正解 取价格区间500,1 000的中点750，如果主持人说低了，就再取750,1 000的
14、中点875；否则取另一个区间500,750的中点；若遇到小数，则取整数照这样的方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格思想方法技巧“无限逼近”思想如图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子(1)求出盒子的体积 y 以 x 为自变量的函数的解析式，并讨论这个函数解析式的定义域；(2)如果要做成一个容积是 150 cm3 的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长 x 是多少厘米？(精确到 0.1 cm)导学号62240651解析(1)由题意可知，长方体底面的长、宽都是(152x)cm，高为x cm，则它的体积y(152x)(152x)x4x360 x2225x.0 x15，且0152x15，它的定义域是x|0 x0，f(5)250f(5)04.5,5x24.5524.75f(x2)6.312 504.625,4.75x44.6254.687 524.687 5f(x4)1.684 60由上表可知，区间4.625,4.687 5的长度小于0.1，所以该区间的中点x54.656 25即为方程4x360 x2225x150的一个正零点的近似解，即此时截去的小正方形的边长约为4.7 cm.课后强化作业（点此链接）