1、3.3导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值知识梳理1函数的极值条件f(x0)0x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在区间a，b上的最大(小)值的步骤：求函数yf(x)在区间(a，b)上的极值；将函数y
2、f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值常用结论对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值()(2)函数的极小值一定是函数的最小值()(3)函数的极小值一定不是函数的最大值()(4)函数yf(x)的零点是函数yf(x)的极值点()教材改编题1如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A1B2C3D4答案A解析由题意知只有在x1处f(1)0，且其两侧导数符号为左负右正
3、2函数f(x)x3ax22x1有极值，则实数a的取值范围是()A(，)B(，)(，)C(，)D，答案B解析f(x)3x22ax2，由题意知f(x)有变号零点，(2a)24320，解得a或a.3若函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4，则m_.答案4解析f(x)x24，x0,3，当x0,2)时，f(x)0，所以f(x)在0,2)上单调递减，在(2,3上单调递增又f(0)m，f(3)3m.所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m4.题型一利用导数求函数的极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(2022广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(x1)f(x)的
4、图象如图所示，则下列结论中正确的是()A函数f(x)有极大值f(3)和f(3)B函数f(x)有极小值f(3)和f(3)C函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(3)D函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(3)答案D解析由题图知，当x(，3)时，y0，x10f(x)0，f(x)单调递减；当x(3,1)时，y0，x10，f(x)单调递增；当x(1,3)时，y0，x10f(x)0，f(x)单调递增；当x(3，)时，y0f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a0时，令f(x)0，则xlna，所以f(x)在(lna，)上单调递增，令f(x)0，则x0时，f(x)在
5、xlna处取得极小值lna，但是无极大值命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022南宁模拟)函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则ab等于()A7B0C7或0D15或6答案A解析由题意知，函数f(x)x3ax2bxa2，可得f(x)3x22axb，因为f(x)在x1处取得极值10，可得解得或检验知，当a3，b3时，可得f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a4，b11时，可得f(x)3x28x11(3x11)(x1)，当x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，当x1时，函数f(x)取
6、得极小值，符合题意所以ab7.(2)(2022南京模拟)已知函数f(x)x(lnxax)在区间(0，)上有两个极值，则实数a的取值范围为()A(0，e) B.C.D.答案C解析f(x)lnxaxxlnx12ax，由题意lnx12ax0在(0，)上有两个不等实根，2a，设g(x)，则g(x)，当0x0，g(x)单调递增，当x1时，g(x)1时，g(x)0，x时，g(x)0，x0时，g(x)，所以02a1，即0a.教师备选1(2022榆林模拟)设函数f(x)xcosx的一个极值点为m，则tan等于()A.B.C.D.答案B解析由f(x)cosxxsinx0，得tanx，所以tanm，故tan.2已
7、知a，bR，若xa不是函数f(x)(xa)2(xb)(ex11)的极小值点，则下列选项符合的是()A1baBba1Ca1bDab1答案B解析令f(x)(xa)2(xb)(ex11)0，得x1a，x2b，x31.下面利用数轴标根法画出f(x)的草图，借助图象对选项A，B，C，D逐一分析对选项A，若1ba，由图可知xa是f(x)的极小值点，不符合题意；对选项B，若ba1，由图可知xa不是f(x)的极小值点，符合题意；对选项C，若a1b，由图可知xa是f(x)的极小值点，不符合题意；对选项D，若a0)在上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析f(x)lnxx2ax(x
8、0)，f(x)xa，yf(x)在上只有一个变号零点令f(x)xa0，得ax.设g(x)x，则g(x)在上单调递减，在1,3上单调递增，g(x)ming(1)2，又g，g(3)，当a时，yf(x)在上只有一个变号零点实数a的取值范围为.题型二利用导数求函数最值例4已知函数g(x)alnxx2(a2)x(aR)(1)若a1，求g(x)在区间1，e上的最大值；(2)求g(x)在区间1，e上的最小值h(a)解(1)a1，g(x)lnxx23x，g(x)2x3，x1，e，g(x)0，g(x)在1，e上单调递增，g(x)maxg(e)e23e1.(2)g(x)的定义域为(0，)，g(x)2x(a2).当1
9、，即a2时，g(x)在1，e上单调递增，h(a)g(1)a1；当1e，即2aa4，求实数a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，由f(x)lnxax2(a0)可得f(x)a，当a0，所以f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令f(x)0，得x，所以当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减，综上所述，当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以当x时，f(x)取得最大值，即f(x)maxflna2ln3lna3，因此有lna3a4，得lnaa10，所以g(a)在(0，)上单调递增，又g
10、(1)0，所以g(a)g(1)，得0a0，且r0，可得0r0，故V(r)在(0,5)上单调递增；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上单调递减由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大课时精练1若函数f(x)的极大值点与极小值点分别为a，b，则ab等于()A4B.C0D2答案C解析f(x)，当x0；当x时，f(x)0.故f(x)的极大值点与极小值点分别为，则a，b，所以ab0.2如图是函数yf(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是()Af(x)在2，1上单调递增B当x3时，f(x)取得最小值C当x1时，f(x)取得极大值Df(x)在1
11、,2上单调递增，在2,4上单调递减答案D解析根据题图知，当x(2，1)，x(2,4)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以yf(x)在2，1上单调递减，在(1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，)上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；故当x1时，f(x)取得极小值，选项C不正确；当x3时，f(x)不是取得最小值，选项B不正确3已知函数f(x)2lnxax23x在x2处取得极小值，则f(x)的极大值为()A2BC3ln2D22ln2答案B解析由题意得，f(x)2ax3，f(x)在x2处取得极小值，f(2)4a20，解得a，f(x)2lnxx23x，f(x)x3，f(x)在(0
12、,1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减，f(x)的极大值为f(1)3.4已知函数f(x)mlnx2x，x(0，)有两个极值点，则实数m的取值范围是()A(，0 B(，1C1，) D(0,1)答案D解析f(x)x2，因为f(x)有两个极值点，故f(x)有两个变号零点，故x22xm0在(0，)上有两个不同的解，故所以0m1.5(2022重庆联考)函数f(x)x2cosx在0，上的最大值为()A2B.C2D.答案D解析由题意得，f(x)12sinx，当0sinx，即x在和上时，f(x)0，f(x)单调递增；当sinx1，即x在上时，f(x)f(0)f()f，f(x)在0，上的最大值为.6
13、函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是()A0,1) B(0,1)C(1,1) D.答案B解析由题意，f(x)3x23a3(x2a)，当a0时，在(0,1)上f(x)0，f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值当a0时，f(x)3(x)(x)，不妨只讨论x0时的情况当x，f(x)0，f(x)单调递增，当0x时，f(x)0，f(x)单调递减，f(x)在x处取得最小值，当1，即0a时，f(x)2x12lnx，所以f(x)2，当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(x)minf(1)212ln11；当0lne1.综上，f(x)min1.9已知函数f(x)x3ax2bxc
14、(a，b，cR)(1)若函数f(x)在x1和x2处取得极值，求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,3时，f(x)2c恒成立，求c的取值范围解(1)由题可得，f(x)3x22axb，函数f(x)在x1和x2处取得极值，1,2是方程3x22axb0的两根，经检验，符合题意(2)由(1)知f(x)x3x26xc，f(x)3x23x6，当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化如下表：x2(2，1)1(1，2)2(2，3)3f(x)00f(x)c2cc10c当x2,3时，f(x)的最小值为c10，要使f(x)2c恒成立，只要c102c即可，c0，x(1，)，f(x)0，舍去；当a0时，由f(x)
15、a0，得x，当0时，x时，f(x)0；x时，f(x)0，f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，又f(x)在(0，e上的最大值为3，f(x)maxf1lna3，ae2；当e，即0，舍去综上，存在a符合题意，此时ae2.11若函数f(x)(x2a)ex的两个极值点之积为3，则f(x)的极大值为()A.BC2eD.答案A解析因为f(x)(x2a)ex，所以f(x)(x22xa)ex，由f(x)(x22xa)ex0，得x22xa0，由函数f(x)(x2a)ex的两个极值点之积为3，则由根与系数的关系可知，a3，即a3，f(x)(x23)ex，f(x)(x22x3)ex.当x1时，f(x)0；当3x
16、1时，f(x)0)，则a，b的值为()Aa2，b29Ba3，b2Ca2，b3D以上都不对答案C解析函数f(x)的导数f(x)3ax212ax3ax(x4)，因为a0，所以由f(x)0，计算得出0x0，计算得出x4或xf(2)，即函数的最小值为f(2)16a329，计算得出a2，b3.13(2021全国乙卷)设a0，若xa为函数f(x)a(xa)2(xb)的极大值点，则()AabCaba2答案D解析当a0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知ba.图1当ab.图2综上，可知必有aba2成立14(2022丹东质检)当1x1时，ax33x1，则a的取值范围为()A(，4 B2,
17、4C2，) D4答案D解析当x0时，a0301，aR，当0x1时，由ax33x1得a，令g(x)，则g(x)，当0x0，g(x)单调递增，当x1时，g(x)0，g(x)单调递减，当0x1时，g(x)maxg4，a4；当1x0时，由ax33x1得a，由上知g(x)在1,0)上单调递增，g(x)ming(1)4，a4，综上可知，a4.15已知函数f(x)xlnxx2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是_(填序号)0x0；f(x0)2x00.答案解析函数f(x)xlnxx2(x0)，f(x)lnx12x，x0是函数f(x)的极值点，f(x0)0，即lnx012x00，f0，当x时，f
18、(x)0，当x0时，f(x)，0x00，即正确，不正确16(2022宣城模拟)已知函数f(x)x3ax7的极小值为5.(1)求a的值，并求出f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)f(x)mx在(3，a1)上的极大值不小于10m，求实数m的取值范围解(1)f(x)3x2a，当a0时，f(x)0恒成立，f(x)在R上单调递增，无极值，当a0时，令f(x)3x2a0，解得x，当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化如下：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极小值f5，即3a75，解得a3.f(x)的单调递增区间是(，1)，(1，)，单调递减区间是(1,1)(2)由(1)知a3，故g(x)x3(m3)x7，g(x)3x2m3，当m30时，g(x)0恒成立，g(x)在R上单调递增，无极值，当m30时，令g(x)0，解得x，当x变化时，g(x)，g(x)随x的变化如下：x(，)(，)(，)g(x)00g(x)极大值极小值g(x)极大值g10m，即3(m3)710m，解得m，又32，解得24m3，24m，即实数m的取值范围是.