1、4 函数与导数 考情解读 以函数为载体，以导数为工具，考查函数图象、极(最)值、单调性及其应用为目标，是最近几年函数、导数及不等式交汇试题的显著特点和命题趋向常考的题型为：(1)导数与函数性质的交汇点命题：主要考查导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等命题的热点：三次函数求导后为二次函数，结合一元二次方程根的分布，考查代数推理能力、语言转化能力和待定系数法等数学思想(2)导数与含参数函数的交汇点命题：主要考查含参数函数的极值问题，分类讨论思想及解不等式的能力，利用分离变量法求参数的取值范围等问题(3)导数与函数模型的交汇点命题：主要考查考生将实际问题转化为数学问
2、题，运用导数工具和不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识和实践能力要解决这类问题关键是要先让学生理解函数的概念，掌握好各类函数的结构特征和基本性质，并能将其用于解决具体问题之中要让学生形成函数思想，真正树立函数观念和变量意识，并能主动利用导数、方程、不等式处理问题，让他们能够在具体问题中顺利实施有效的化归与转化重视逻辑推理，加强逻辑命题的结构分析和命题转化训练(如当且仅当、存在、恒成立、能成立等语言涵义理解)加强实际运用，提高综合应用能力多研究函数性质及解不等式、证明不等式的基本方法，尤其是：构造函数、建立方程、挖掘不等式关系，含参数字母的分类讨论，比较法、分析法、综合法、放缩法等常见的证明
3、方法分类突破 热点一 函数的单调性、最值、极值问题例 1 已知函数 f(x)2axa21x21(xR)其中 aR.(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当 a0 时，求函数 f(x)的单调区间与极值规范解答示例解(1)当 a1 时，f(x)2xx21，f(2)45，又 f(x)2(x21)2x2x(x21)2 22x2(x21)2，f(2)625.2 分所以，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y45 625(x2)，即 6x25y320.4 分(2)f(x)2a(x21)2x(2axa21)(x21)22(xa)(ax1)(x21)2.5 分
4、由于 a0，以下分两种情况讨论当 a0，令 f(x)0，得到 x11a，x2a.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1a)1a(1a，a)a(a，)f(x)00f(x)极小值极大值所以 f(x)在区间，1a，(a，)内为减函数，在区间1a，a 内为增函数函数 f(x)在 x11a处取得极小值 f 1a，且 f 1a a2.函数 f(x)在 x2a 处取得极大值 f(a)，且 f(a)1.8 分当 a0 时，令 f(x)0，得到 x1a，x21a，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a，1a)1a(1a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以
5、f(x)在区间(，a)，1a，内为增函数，在区间a，1a 内为减函数函数 f(x)在 x1a 处取得极大值 f(a)，且 f(a)1.函数 f(x)在 x21a处取得极小值 f(1a)，且 f 1a a2.12 分构建答题模板第一步：确定函数的定义域如本题函数的定义域为 R.第二步：求 f(x)的导数 f(x)第三步：求方程 f(x)0 的根第四步：利用 f(x)0 的根和不可导点的 x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格第五步：由 f(x)在小开区间内的正、负值判断 f(x)在小开区间内的单调性第六步：明确规范地表述结论第七步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范如本题中
6、 f(x)0 的根为 x11a，x2a.要确定 x1，x2的大小，就必须对 a 的正、负进行分类讨论这就是本题的关键点和易错点热点二 含参数不等式的恒成立问题例 2 已知 f(x)2xax22(xR)在区间1,1上是增函数(1)求实数 a 的值所组成的集合 A；(2)设关于 x 的方程 f(x)1x的两个非零实根为 x1、x2，试问：是否存在实数 m，使得不等式 m2tm1|x1x2|对任意aA 及 t1,1恒成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由解题导引(1)f(x)在1,1上是增函数f(x)0 在1,1上恒成立根据式子特点，转化为带参二次函数在1,1上的符号问题解关于 a
7、 的不等式(2)f(x)1xx2ax20 利用韦达定理 x1x2a，x1x22|x1x2|a28h(a)，在 A 上求 h(a)的最大值 h(a)max转化为 t1,1不等式 m2tm1h(a)max恒成立规范解答示例解(1)f(x)42ax2x2(x22)22(x2ax2)(x22)2.2 分f(x)在1,1上是增函数，f(x)0 对 x1,1恒成立，即 x2ax20 对 x1,1恒成立设(x)x2ax2，(1)1a20(1)1a20 1a1.4 分对 x1,1，f(x)是连续函数，且只有当 a1 时，f(1)0 以及当 a1 时，f(1)0，Aa|1a1.5 分(2)由2xax221x，得
8、 x2ax20.a280，x1，x2 是方程 x2ax20 的两个非零实根，x1x2a，x1x22，从而|x1x2|(x1x2)24x1x2 a28.1a1，|x1x2|a283.8 分要使不等式 m2tm1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，当且仅当 m2tm13 对任意 t1,1恒成立即 m2tm20，对任意 t1,1恒成立设 g(t)m2tm2mt(m22)，则g(1)m2m20g(1)m2m20m2 或 m2.11 分综上知：存在实数 m，使得不等式 m2tm1|x1x2|对任意 aA及 t1,1恒成立，其取值范围是m|m2 或 m2.12 分构建答题模板第一步：将问题转化为形如不等式 f(x)a(或 f(x)a)恒成立的问题第二步：求函数 f(x)的最小值 f(x)min 或 f(x)的最大值 f(x)max.第三步：解不等式 f(x)mina(或 f(x)maxa)第四步：明确规范地表述结论第五步：反思回顾查看关键点、易错点及规范解答如本题重点反思每一步转化的目标及合理性，最大或最小值是否正确本题的易错点是在求 g(t)m2tm2 的最小值时忽略 m的符号讨论返回