1、3 数形结合思想 方法解读 1数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运
2、算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围3运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则，要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应(2)双方性原则，既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错(3)简单性原则，不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三是要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别
3、是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线4应用数形结合的思想方法解题，通常可以从以下几个方面入手：函数与函数图象不等式与函数图象曲线与方程参数本身的几何意义代数式的结构特点概念自身的几何意义可行域与目标函数最值向量的两重性分类突破一、数形结合思想在方程不等式中的应用例 1 设关于 的方程 3cos sin a0 在区间(0,2)内有相异的两个实根、.(1)求实数 a 的取值范围；(2)求 的值解 方法一(1)设 xcos，ysin，则由题设知，直线 l：3xya0 与圆 x2y21 有两个不同的交点 A(cos，sin)和 B(cos，sin)所以原点 O 到直线 l 的距离小于半径 1，
4、即d00a(3)212|a|2 1，2a2.又、(0,2)，且.直线 l 不过点(1,0)，即 3a0.a 3，即 a(2，3)(3，2)(2)如图，不妨设xOA，xOB，作 OHAB，垂足为 H，则BOH2.OHAB，kABkOH1.tan 2 33.又2(0,2)，3或 73.方法二(1)原方程可化为 sin(3)a2，作出函数ysin(x3)(x(0,2)的图象由图知，方程在(0,2)内有相异实根，的充要条件是 1a21a2 32即2a 3或 3a2.(2)由图知：当 3a2，即a21，32 时，直线 ya2与三角函数 ysin(x3)的图象交于 C、D 两点，它们中点的横坐标为76，2
5、 76，73.当2a 3，即a232，1 时，直线 ya2与三角函数 ysin(x3)的图象有两交点 A、B，由对称性知，2 6，3，综上所述，3或 73.归纳拓展(1)此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a 的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉 a 3的限制，而从图象中可以清楚地看出当 a 3时，方程只有一解(2)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的
6、个数变式训练 1 设有函数 f(x)a x24x和 g(x)43x1，已知 x4,0时恒有 f(x)g(x)，求实数 a 的取值范围解 f(x)g(x)，即 a x24x43x1，变形得 x24x43x1a，令 y x24x，y43x1a.变形得(x2)2y24(y0)，即表示以(2,0)为圆心，2 为半径的圆的上半圆；表示斜率为43，纵截距为 1a 的平行直线系设与圆相切的直线为 AT，AT 的直线方程为：y43xb(b0)，则圆心(2,0)到 AT 的距离为 d|83b|5，由|83b|52 得，b6 或23(舍去)当 1a6 即 a5 时，f(x)g(x)二、数形结合思想在求目标函数最值
7、、代数式或参数范围的应用例 2 已知实系数一元二次方程 x2ax2b0 有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)b2a1的取值范围；(3)(a1)2(b2)2 的值域解(1)方程 x2ax2b0 的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数 yf(x)x2ax2b 与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内由此可得不等式组f(0)0，f(1)0，f(2)0，b0，a2b10，ab20.由a2b10，ab20解得 A(3,1)由ab20，b0解得 B(2,0)由a2b10b0解得 C(1,0)
8、在如图所示的 aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为ABC(不包括边界)ABC 的面积为SABC12|BC|h12(h 为 A 到 Oa 轴的距离)(2)b2a1的几何意义是点(a，b)和点 D(1,2)连线的斜率kAD211314，kCD20111，由图可知 kADb2a1kCD，14b2a11，即b2a1(14，1)(3)(a1)2(b2)2 表示区域内的点(a，b)与定点(1,2)之间距离的平方，(a1)2(b2)2(8,17)归纳拓展 bnam型表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率，(am)2(bn)2表示这两点间的距离，解决此类问题时，一定要注意
9、观察，联想数与形的对应类型，就能自然地运用数形结合的思想方法变式训练 2 已知实数 x，y 满足 x2y23(y0)，my1x3，b2xy.(1)求 m 的取值范围；(2)求证：b2 3，15(1)解 m 可看作过半圆 x2y23(y0)上的点 M(x，y)和定点A(3，1)的直线的斜率由图可知 k1mk2(k1，k2 分别为直线 AM1，AM2 的斜率)，k113 33 36，圆心到切线 k2xy3k210 的距离为d|3k21|k221 3，k23 216(舍去负值)，3 36m3 216.(2)证明 b 可看作斜率为2，过半圆 x2y23(y0)上一点P(x，y)的直线在 y 轴上的截距
10、由图可知 n2bn1，P2C 有方程为y2(x 3)，令 x0，yn22 3，圆心到切线 P1B：2xyc0的距离 d|c|5 3，c 15，n1 15，2 3b 15.三、数形结合思想在解析几何中的应用例 3 已知 P 是直线 3x4y80 上的动点，PA、PB 是圆x2y22x2y10 的两条切线，A、B 是切点，C 是圆心，求四边形 PACB 面积的最小值 解题导引 在同一坐标系中画出直线与圆作出圆的切线PA、PB，则四边形 PACB 的面积 S四边形 PACBSPACSPBC2SPAC，把 S 四边形 PACB 转化为 2 倍的 SPAC 可以有多种数形结合的思路解 方法一 从运动的观
11、点看问题，当动点 P 沿直线 3x4y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形 PAC的面积 SRtPAC12|PA|AC|12|PA|越来越大，从而 S 四边形 PACB也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形 PACB 变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线时，S四边形 PACB 应有唯一的最小值，此时|PC|31418|32423，从而|PA|PC|2|AC|22 2.(S 四边形 PACB)min 212|PA|AC|2 2.方法二 利用等价转化的思想，设点 P 坐标为(x，y)，则|PC|(x1)2(y1)2，由勾股定理及|AC|
12、1，得|PA|PC|2|AC|2(x1)2(y1)21，从而 S四边形 PACB2SPAC212|PA|AC|PA|(x1)2(y1)21，从而欲求 S 四边形 PACB 的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2(x1)2(y1)2 的最小值，即定点 C(1,1)与直线上动点 P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点 C(1,1)到直线 3x4y80 的距离的平方，这个最小值 d2|31418|324229，(S 四边形 PACB)min 912 2.方法三 利用函数思想，将方法二中 S 四边形 PACB(x1)2(y1)21 中的 y 由 3x4y80 中解出，代入化为关于x 的
13、一元函数，进而用配方法求最值，也可得(S 四边形 PACB)min 2 2.归纳拓展 本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决变式训练 3 已知点 P 在抛物线 y24x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为()A(14，1)B(14，1)C(1,2)D(1，2)解析 定点 Q(2，1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点 P 到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点 P到点 Q 和到抛物线的准线距离之和最小时，求点 P 的
14、坐标，显然点 P 是直线 y1 和抛物线 y24x 的交点，解得这个点的坐标是(14，1)A 规范演练 1(2011大纲全国)已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B2 C.2D.22解析 如图，设OAa，OBb，OCc，则CAac，CBbc.由题意知CACB，O、A、C、B 四点共圆当 OC 为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC|2.选 C.C 2(2011课标全国)函数 y 11x的图象与函数 y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2 B4 C6 D8解析 令 1xt，则 x1t.由2x4，知2
15、1t4，所以3t3.又 y2sin x2sin(1t)2sin t.在同一坐标系下作出 y1t和 y2sin t 的图象由图可知两函数图象在3,3上共有 8 个交点，且这 8 个交点两两关于原点对称因此这 8 个交点的横坐标的和为 0，即 t1t2t80.也就是 1x11x21x80，因此 x1x2x88.D 3yf(x)3x6，x263x，x2，若不等式 f(x)2xm恒成立，则实数 m 的取值范围是_解析 在平面直角坐标系中作出函数y2xm 及 yf(x)的图象(如图)，由于不等式 f(x)2xm 恒成立，所以函数 y2xm 的图象应总在函数 yf(x)的图象的下方，因此，当 x2 时，y
16、4m0，所以 m4，所以m 的取值范围是4，)4，)4.已知 f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0 x3 时，f(x)的图象如图所示，那么不等式 f(x)cos x0 的解集是_解析 不等式 f(x)cos x0，cos x0，或f(x)0.画出 f(x)在(3,3)上的图象，cos x 的图象又熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在 x 轴上、下部分的对应“数”的区间为(2，1)(0,1)(2，3).(2，1)(0,1)(2，3)5不等式 x2|2x4|p 对所有 x 都成立，求实数 p 的最大值解 构造函数 f(x)x2|2x4|(x1)25(x2)，(x1)23(x
17、2).作出函数 yf(x)的图象如图由图象知 f(x)的最小值为 3，p3，即 p 的最大值为 3.6已知函数 f(x)x3ax2bx.(1)若函数 yf(x)在 x2 处有极值6，求 yf(x)的单调递减区间；(2)若 yf(x)的导数 f(x)对 x1,1都有 f(x)2，求ba1的范围解(1)f(x)3x22axb，依题意有f(2)0，f(2)6.即124ab0，84a2b6，解得a52，b2.f(x)3x25x2.由 f(x)0，得13x2.yf(x)的单调递减区间是13，2.(2)由f(1)32ab2，f(1)32ab2，得2ab10，2ab10.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由2ab10，2ab10，得a0，b1.Q 点的坐标为(0，1)设 z ba1，则 z 表示平面区域内的点(a，b)与点 P(1,0)连线斜率kPQ1，由图可知 z1 或 z2，即 ba1(，2)1，)返回