1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 必修1 集 合 第一章 康托尔与集合论的建立康托尔(18451918)，德国数学家，集合论的创始人，生于俄国圣彼得堡康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教他早期在数学方面的兴趣是数论，1870 年开始研究三角级数并由此取得 19 世纪末、20 世纪初最伟大的数学成就集合论和超穷数理论的建立康托尔是在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究早在 1870 年和 1871 年，康托尔两次在数学杂志上发表论文，证明了函数 f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使函数 f
2、(x)在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立.1872 年康托尔在数学年鉴上发表了一篇题为三角级数中一个定理的推广的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷集合的情形为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开始，并为点集论奠定了理论基础以后，康托尔又在数学年鉴和数学杂志两刊上发表了许多文章他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体康托尔指出：如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，这个集合就是无穷的康托尔还给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并
3、定义了集合的并与交两种运算1 集合的含义与表示第一章 课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课时作业 4课前自主预习 1课前自主预习一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”问题1：数学家说的集合是指什么？问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？1.集合、元素(1)集合定义一般地，指定的_的全体称为集合(2)集合的记法集合通常用_标记(3)元素集合中的_叫作集合的元素某些对象大
4、写字母A，B，C，D，每个对象2元素与集合的关系3.常用数集及表示符号知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果_，就说a属于A_“a属于A”不属于 如果_，就说a不属于A_“a不属于A”定义自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法_a在集合A中aAa不在集合A中aANNZQR4.集合的表示方法(1)列举法把集合中的元素_写在_内的方法(2)描述法用确定的条件表示某些对象_，并写在_内的方法5集合的分类集合空集：不含任何元素，记作 非空集合：按含有元素的个数分为 ：含有有限个元素 ：含有无限个元素一一列举出来大括号属于一个集合大括号有限集无限集1.下列各组对象中不能构成集合的是()A成才之
5、路教育集团的全体员工B2014年全国经济百强县C2015年考入北京大学的全体学生D美国NBA的篮球明星答案 D解析 根据集合元素的确定性来判断是否构成集合因为选项A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA球员是否为篮球明星，所以不能构成集合导学号181600002已知集合A表示不等式33x0的解集，则有()A3A B1A C0A D1A答案 C解析 33x0可化为x1,01，10，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是_思路分析 由题意可知，2不具备集合中元素的共同特征，因此建立不等式即可求出a的取值范围规范解答 因为2x
6、|xa0，所以2不满足不等式xa0，即满足不等式xa0，所以2a0，即a2.所以实数a的取值范围是a|a2答案 a|a2导学号18160007规律总结 1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数学的表示方法，应当熟练掌握2判断一个元素是不是某个集合的元素，主要判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征所给下列关系正确的个数是()12R；2Q；0N；|3|N.A1B2C3D4答案 B解析 12是实数，2是无理数，正确N表示正整数和不正确.导学号18160008集合的表示方法用适当的方法表示下列集
7、合(1)一次函数yx与y2x1图像的交点组成的集合；(2)方程x(x21)0的所有实数根组成的集合；(3)被5除余1的正整数组成的集合；(4)坐标平面内坐标轴上的点集思路分析 当集合中元素较少且容易一一列举出来可用列举法；用描述法表示集合，关键是理解题目中元素是什么，满足什么条件解答(1)可联立方程求解解答(2)可先解方程，再按要求改写(3)、(4)可根据集合中元素性质改写导学号18160009规范解答(1)由yxy2x1，解得x1y1.故一次函数 yx 与 y2x1 图像的交点组成的集合为(1,1)(2)方程 x(x21)0 的实数根为 0,1，1，故其实数根组成的集合为1,0,1(3)根据
8、被除数商除数余数，故此集合可表示为x|x5n1，nN(4)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标其中之一为 0，故可表示为(x，y)|xy0，xR，yR规律总结 1.用列举法写集合应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素另外还要弄清元素的个数做到不重不漏，一一列举出来，写在大括号内2用描述法表示集合，常用模式是x|p(x)，其中x是集合的代表元素，p(x)为集合中元素所具有的共同特征要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确3用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围用适当的方法表示下列集合：(1)15的正因数；(2)三角形的全体构成的集合；(
9、3)A(x，y)|xy4，xN，yN；(4)满足不等式3x10的所有实数的集合解析(1)15135.故集合可表示为1,3,5,15(2)x|x是三角形或三角形(3)(1,3)，(2,2)，(3,1)(4)x|3x10.导学号18160010集合中元素的特性及应用已知集合A含有两个元素x3和2x1，若3A，试求实数x的值思路分析 分别令3x3或32x1 解方程求x 检验得x的值规范解答 3A，3x3 或32x1，若3x3，则 x0.导学号18160011此时集合A含有两个元素3，1，符合题意若32x1，则x1，此时集合A含有两个元素4，3，符合题意，综上所述，满足题意的实数x的值为0或1.规律总
10、结 1.根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验2利用集合中元素的特性解题要注意分类讨论思想的应用由实数 x、x、|x|、x2、3 x3所组成的集合，最多含有元素的个数为()A2B3C4D5答案 A解析 因为 x2|x|，3 x3x，当 x0 时，它们依次为：x，x，x，x，x，有两个不同的元素；当 x0 时，它们依次为 x，x，x，x，x，也只有两个不同的元素；当 x0 时，只有一个元素 0.所以选 A.导学号18160012易错疑难辨析集合x，y2x3y83x2y7_.错解 由2x3y83x2y7 解得 x1，y2，集合应等于1,2辨析 本例主要考查集合的描述法，集合中的元素为数对(1,2)，不是数 1,2.正解 方程组2x3y83x2y7 的解为x1，y2，集合为(1,2)导学号18160013规律总结 以数或点为元素的集合分别叫作数集或点集，这是我们研究的主要对象，因而研究集合必须搞清集合的元素是什么本例做错的原因是不明白集合的代表元素(x，y)是一个点的坐标，二元一次方程组的解只能用(x，y)或x1y2 表示，而 1,2是两个整数，所以不能表示点的坐标，也不能表示方程组的解课时作业（点此链接）